sábado, 1 de noviembre de 2008

La conjetura de Poincaré

Acabo de venir de ver el Barça. No he cenado pq aún no he recuperado demasiado el apetito. He quedado con algunos amigos dentro de un par de horas para ir a ferias en Girona un rato. Mientras tanto he navegado un poco por internet, no sé, curiosenando sobre Poincaré.

En seguida me he topado con 'la conjetura de Poincaré', la cual dice "Si una variedad tridimensional tiene un grupo fundamental trivial entonces es homoemorfa a una esfera". En otras palabras la conjetura dice que la -esfera o hiperesfera, es la única variedad compacta tridimensional en la que todo lazo o círculo cerrado (1-esfera) se puede deformar (transformar) en un punto. Este último enunciado es equivalente a decir que sólo hay una variedad cerrada y simplemente conexa de dimensión 3, la esfera tridimensional. De hecho, cabe observar que se define la esfera como aquel cuerpo de 2 dimensiones en que todos sus puntos son equivalentes ¡Esto hace que nos encontremos ante una figura excepcional! En términos filosóficos diríamos que tal figura representa una continuidad ontológica racionalmente perfecta.

Durante muchos años se doto a esta conjetura de 1 millón de dólares para quién consiguiera demostrarla y por tanto, convertirla en teorema.

¿Se entiende cual es el problema? A partir de figuras comunes que podemos visualizar con facilidad (puntos, círculos o esferas), debemos encontrar un mecanismo para generalizar esta capacidad de visualización y, así, poder clasificar y entender mejor cuanto estemos estudiando en dimensiones inimaginables. Para ello, Poincaré empezó empleando una propiedad muy simple de las figuras que es la homología: un objeto y la imagen reflejada por un espejo de este objeto son homólogas; entonces, estudiando la imagen del espejo suponía conocer, por analogía, el objeto reflejado ¡Eh aquí una generalización! Sin embargo el propio Poincaré encontró que para ciertas figuras esta generalización no funcionaba. Así que acabó por postular su conjetura por intuición, sin más. Pero la comunidad científica quiere una demostración de que esta conjetura inductiva es realmente general y por tanto, que el hecho de que una figura en dimensión superior a 3 tenga un grupo fundamental trivial es condición suficiente para tratarla análogamente como si fuera una esfera n=2 o un círculo o un punto.

Eh aquí la raíz del problema, a mi entender: ¿Cómo saber si esta conjetura no sólo es necesaria, sino suficiente para establecerla como mecanismo apto para aplicar analogías entre figuras de diferentes dimensiones? Para ello cabría conocer las propiedades 'comunes' que todas las esferas de las distintas dimensiones comparten como algo único y propio, eso es, como aquello que las distingue de las demás figuras, se encuentren en las dimensiones que se encuentren.
¿Cuales son según Poincaré estas propiedades únicas y propias? Parece ser que Poincaré establece que una esfera es la única variedad topológica (el único objeto) que no puede estar vacía por ningun punto, esto es, que todo lazo o círculo cerrado debe transformarse en un punto ¡Debe ser una variedad que no presente ningún tipo de arista! Para el francés esta condición de identificación, aunque fatigosa de demostrar a su entender, le supo a suficiente.

Se dice que esta conjetura ya ha sido demostrada por un excéntrico ruso llamado Perelman, quien colgó algunos apuntes e indicaciones sobre su trabajo en internet, y nada más. Pero a mí me parece que esto ya fue demostrado en gran medida hace 2500 años por Parménides de Elea ¡Parménides fue el primero en demostrar que la esfera era la única forma en que todos los infinitos puntos del ser estaban determinados por el propio ser!

De ahí su condición de todo contínuo, ya que el Ser toca el Ser.
Inmóvil, por otra parte, en los límites de sus grandes vínculos,
carece de principio y de fin, puesto que nacimiento y destrucción
aparecen muy alejados, rechazados ya por la auténtica fe.
como lo mismo que permanece en lo mismo, en sí mismo descansa
y así prosigue inmutable en el mismo lugar, porque la poderosa Necesidad
lo mantiene en los lazos del límite que lo aprisiona su contorno.
No queda, pues, permitido al ser el puro inacabamiento
ya que está claro que no carece de nada,
porque de carecer de algo carecería de todo.
Además, y dado que posee un último límite, el ser está terminado
por todas partes, semejante a la masa de una esfera bien redondeada,
igual en todas direcciones a partir del centro.
Ni mayor ni menor podría ser en cualquiera de sus partes.
No hay en efecto un No-Ser que le impida alcanzar la homogeneidad,
ni ser alguno que pueda aumentarlo o disminuirlo, ya que por entero se mantiene inviolable.
Así, pues, idéntico por todas partes a sí mismo, alcanza igualmente sus límites.


A mí me parece que la demostración es sencilla si se entiende que la esfera debe representar, sea en la dimensión que sea, el paradigma del contínuo matemático, el cual está forjado, como es bien sabido, sobre los principios de identidad y no contradicción.

La ventaja de esta propiedad de la esfera es que, por el principio de identidad, sólo existe un único contínuo matemático posible en cada dimensión. En cambio, existen múltiples discontinuos posibles, claro está, según sean las dimensiones (en la dimensión 0, pe. no existe ninguna discontinuidad: sólo está el punto en cuanto a figura esférica). En fin, todo esto viene resumido cuando se presenta la idea de grupo fundamental trivial.
En este sentido, pues, con la idea de que
Si una variedad tridimensional tiene un grupo fundamental trivial entonces es homoemorfa a una esfera Poincaré quiere decir, a mi entender, que toda esfera, sea en la dimensión que sea, es idéntica en todas sus partes y por tanto ha de representar el paradigma de la continuidad racional.

De todas formas, señores, si bien dicen que dan 1 millón de $ para quién demuestre esta conjetura y por tanto la convierta en un teorema yo digo, que no es cierto que los teoremas matemáticos contemporáneos estén demostrados. Por ejemplo, el teorema del valor medio, supuestamente demostrado por Lagrange, y pilar fundamental de todo el cálculo contemporáneo, resulta ser, a mi parecer, indemostrable. Y así lo he desarrollado (ver). En otras palabras, da mucho que decir lo que los matemáticos entienden por demostrar.



Quien quiera atender que atienda... me voy a dar una vuelta por ahí.



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