lunes, 10 de noviembre de 2008

Números primers II

Ahir vaig comentar alguna cosa sobre els nº primers. Avui aclariré algun punt més i, fins i tot, proposaré algun postulat per senyalar fins a quin punt es pot complicar el tema.

Ahir vaig mostrar el grau caòtic característic del sistema dels nº primers. És cert que a fi d'imprimir un bri de llum enmig de tanta confusió tenim el teorema dels números primers, que diu: per un número x que tendeix a l'infinit l'aparició de números primers concorda més o menys amb la funció 1/ln x. Així, per exemple, quan x és 10.000.000 s'han comptat 664579 nº primers, mentre el teorema ens en prediu 620.420; el teorema s'ha menjat uns 24.000 nº primers ¡Que no són pas pocs! Si ho multipliquem tot plegat per 10 tenim, llavors, quan x = 100.000.000 s'han comptat 5.761.455 nº primers, mentre el teorema en prediu 5.428.681; el teorema s'ha 'menjat' (332.774) nº primers. Els matemàtics ho consideren, tot plegat, com una petita desviació que val la pena menysprear a canvi d'una xic d'orientació.

D'altra banda un dels punts que normalment es comenta és que la sèrie dels números primers està constituïda o bé per nº primers o bé per nº compostos, és a dir, no primers. Jo crec que la cosa es pot enfocar de forma diferent: podem classificar tots els nº de la sèrie com a números primers car de diferent grau. Per exemple, el 2 és un nº primer de grau 1, així com el 3 i el 5, ja que només són divisibles per sí mateixos, i per 1, òbviament. El 4, el 6, el 10 són nº primers de grau 2 ja que són fruit del producte de dos números primers de grau 1 (4=2x2). El 8 o el 12 són nº primers de grau 3 en la mesura que són fruit del producte d'un nº primer de grau 1 i un nº primer de grau 2 (8=2x4). El 16 o el 27 són números primers de grau 4 ja que són fruit del producte de dos nº primers de grau 2 cadascú (4x4). I així anar fent. En aquest sentit, advertim que la periodicitat en què van apareixen diferents graus de números primers també resulta ser inquietant i curiosa.

Dins d'aquesta nova classificació de la sèrie de nº primers també podem distingir, dins de cada grau de primericitat, els números purs dels impurs. Per exemple, el 6 (2x3) i el 9 (3x3) tot i ser del mateix grau de primericitat poden distingir-se en la mesura que el 9 és fruit del quadrat d'un número primer de grau 1 i el 6 no. El 9 és un número primer pur de grau 2.

En qualsevol cas, la utilitat de les classificacions resideix en el seu poder d'identificació a l'hora de discernir valors que d'altra manera ens semblen confusos. La classificació és un primer pas per poder implantar patrons i regularitats. I si bé és cert que tota classificació és fictícia i en cert sentit arbitrària, això no implica que no ens sigui útil.






No hay comentarios: