sábado, 8 de noviembre de 2008

Números Primers


Ja Leibniz es preocupà per la idea de si l'aritmètica estava constituïda per judicis sintètics o judicis analítics. L'alemany es decantà per la segona opció quan digué -Una proposició aritmètica de l'estil, per exemple, 2+2=4 no ens ensenya res de nou- I afegia -La seva validesa simplement es fonamenta en el principi de no contradicció-. Així doncs, segons Leibniz una operació matemàtica només reflecteix una forma lògica.

Kant criticà aquesta postura, considerant que l'aritmètica es construeix sobre judicis sintètics a priori. Per tant, la validesa o falsedat d'una proposició aritmètica venia determinada, no només per la seva forma lògica, sinó tb per la intuïció, ja que ens proporciona coneixement.

Frege intentà criticar la postura de Kant. Digué que Kant havia limitat la seva teoria de l'analicitat a oracions simples de subjecte-predicat. Emparant-se en aquesta crítica, un xic poca-solta val a dir, Frege intentà demostrar que tota l'aritmètica és analítica i per tant, es pot reduir a una forma lògica única.

Poincaré mostrà que, tal i com comentava Leibniz, un judici aritmètic pot considerar-se com analític a través de certes argumentacions, com les pròpies presentades pel mateix Leibniz. No obstant això, també remarcà que aquest tipus de raonaments no son demostratius, sinó que es tracten de simples verificacions. I una verificació, comenta Poincaré, difereix d'una demostració en la mesura que la primera és estèril mentre que la segona és fecunda: la conclusió de qualsevol demostració ha de tenir un sentit més qeneral que el de les seves premisses. En aquest sentit, Poincaré sembla adherir-se a la idea kantiana que l'aritmètica està formada per judicis sintètics a priori (generalitzacions intuïtives). I per defensar-ho argumenta que si l'aritmètica fos estrictament analítica llavors la podríem reduir a la tautología A=A ¡Podríem reduir tota la matemàtica a una única fórmula! I això resulta absurd, ja que una de les propietats evidents de l'aritmètica, i la matemàtica en general, és la seva capacitat d'innovació i creació ¡La matemàtica ens ensenya nous coneixements!

A diferència de Kant però, Poincaré reflexiona: si bé no només les matemàtiques es formulen sobre judicis sintètics a priori, sinó que tb ho fan les ciències, hi ha una gran diferència entre unes i altres: el JSA del món físic no són ni verificables ni segurs, mentre que els judicis matemàtics son completament certs ¿Per què? Perquè els JSA matemàtics depenen, només, de la força del nostre esperit. Els de la física, en canvi, depenen de la naturalesa i aquesta pot arribar a ser molt capritxosa. En aquest sentit, s'ha d'observar que en matemàtiques coneixem les lleis que regulen els fenòmens matemàtics, ja que nosaltres els hem implantat; en el món físic ens imaginem que les coneixem, però ho ignorem completament.
En d'altres paraules, Poincaré defensà que les lleis matemàtiques són els autèntics judicis sintètics a priori, autèntiques generalitzacions universals i a priori ¡Sempre funcionen! En aquest sentit, el francès senyalà que en matemàtiques no existeix el problema de la inducció: si sempre hem vist que 2+2 ens dóna 4 podem estar completament segurs que sempre que trobem 2+2 ens donarà 4 ¡Les lleis de la suma, establerts pers nosaltres mateixos, ens ho garanteix! Si ens trobem que 2+2 no dóna 4 és pq nosaltres hem canviat les lleis de la suma.

Podem estar segurs que el món matemàtic està completament determinat en la mesura que compleix, perfectament, les lleis que nosaltres imposem. Però no podem dir el mateix del món físic. En raó no ens resulta difícil discernir el món matemàtic, és a dir, el món idealitzat per nosaltres, de la realitat física.

Bé, doncs, això és el que ens comenta Poincaré. No obstant, quan mirem les matemàtiques plenament confiats en què aquesta resulta ser absolutament determinada i definida per principis i mecanismes que la regulen i la fan funcionar a la perfecció ens topem amb un dilema immens i curiós alhora: ens trobem amb sistemes matemàtics que semblen esquivar l'inducció ¡Vet aquí la sèrie dels números primers! Encara que, val a dir, això no treu que durant segles molts s'hagin trencat el coco intentant establir patrons, funcions i regularitats que determinin a priori la sèrie, presentant instruments molt útils pel solventar el problema, encara que sigui de forma superficial.

La sèrie de nº primers (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, etc) resulta ser summament curiosa ¡Presenta cert tarannà caòtic! Entenent que un Sistema Caòtic és aquell que si bé es considera completament determinat per uns principis de regularitat tanmateix no podem conèixer exactament la seva evolució en la mesura que ens és impossible conèixer les seves condicions inicials.

En la sèrie dels nº primers nosaltres coneixem certs principis imposats, precisament, per nosaltres mateixos: la definició i la identificació d'un nº primer està completament determinada (a és un nº primer si a/b no és igual a c, essent a>b>c -els tres números són nº naturals-)! A més, el procés de la sèrie de nº primers és una variant del procés de la sèrie de nº naturals.
És veritat que s'han descobert certs patrons de regularitat; tanmateix aquests ens porten a una paradoxa que per comptes d'aclarir el problema, encara l'enfosqueix més: la sèrie de nº primers presenta intervals d'infinits nº no primers 'compostos' però, alhora, es pot demostrar fàcilment que tb presenta infinits nº primers. Observem atònits com la primera condició implica la finitud dels nº primers -hi ha d'haver un nº primer últim a partir del qual comença un intèrval d'infinits nº no primers- i en canvi, la segona, exigeix la infinitud dels números primers ¡Com es menja això! La veritat, quan el nostre esperit comença a disputar en el camp de l'Infinit sòl acabar naufragant.

A més de tot això s'ha proposat alguna hipòtesis que, si bé no ha estat encara mai refutada a posteriori, no hi ha maneres de demostrar-la (validar-la a priori). Per exemple, tenim la conjectura de Goldbach que diu: qualsevol número parell és una suma de dos nº primers. O, en consonància amb aquesta tenim, llavors, una pseudo-demostració anomenada teorema dels números primers, que diu: quan es tendeix a l'infinit l'aparició dels nº primers sembla 'seguir' el logaritme natural. L'anomeno 'pseudo-demostració' per dos raons: aquesta es sosté sobre la encara no demostrada hipòtesis de Riemann i, llavors, pq la seva predicció no és completament exacta, encara que sembla mantenir, sempre, un marge d'error no superior al 0.2% (un 2 x 1000). En realitat, si la hipòtesis de Riemann fos falsa la sèrie de nº primers ens apareixeria de forma molt més complicada i caòtica. Però ara per ara, no tenim cap raó per confirmar-la a priori.

En definitiva, amb la sèrie dels nº primers ens trobem amb un sistema matemàtic que, si bé parteix de principis universalment fixes (ja que els hem imposat nosaltres), sembla mostrar-nos un cert grau d'aleatorietat e incertitud intrigant. És a dir, hem trobat un sistema matemàtic que no estem segurs que compleixi la inducció ¡No podem fiar-nos que segueixi una forma lògica! Potser l'abisme entre el món matemàtic i el món físic no és, en el fons, tant gran.

Si els antics deien que el món físic i el món formal o lògic eren el mateix en la mesura que el primer venia determinat pel segon, potser ara haurem de reformular aquesta visió afirmant que el món físic i el matemàtic són el mateix en la mesura que les matemàtiques son tb physis.










No hay comentarios: