¿Una demostración fácil del último teorema de Fermat?

Ya he hablado alguna vez sobre el último teorema de Fermat. Pero lo de hoy será algo distinto.

Estamos ante uno de los grandes misterios de las matemáticas modernas; volvió locos a los mejores, y también peores, matemáticos de los últimos 400 años. Chaitín, por ejemplo, reconoció haber considerado que la imposibilidad de demostrar tal teorema demostraba, precisamente, el nihilismo intrínseco de las matemáticas pronosticado por los teoremas de incompletitud y sucesores. 

Historia

Fermat, a quien le gustaba mucho cartearse con los matemáticos franceses de la época planteándoles enigmas y soluciones sin muchas demostraciones, dejó escrito en el margen de una página del libro de Diofanto de Alejandría que leía algo así:

"Para las ecuaciones diofánticas x^n+y^n=z^n es imposible hallar soluciones naturales en n>2. He hallado una demostración maravillosa, pero este margen es demasiado corto para escribirla."

Fermat murió y con él se esfumaron muchos de sus papeles y conocimientos; entre ellos esta supuesta demostración maravillosa. Sólo nos quedó una demostración aislada para n=4.

Con los siglos los matemáticos intentaron de todo para demostrar el teorema expuesto. Incluso Euler, 100 años después de la muerte del francés, pagó una pasta para que rebuscasen en la vieja casa del difunto cualquier papel, apunte o indicio que le permitiesen vislumbrar cómo era esa supuesta demostración.

No fue hasta 1995 que el matemático Andrew Wiles, después de varios intentos, lo logró. Para ello tuvo que emplear 100 páginas de matemáticas altamente avanzadas y repleta de operaciones complejas. Sin embargo, el misterio continua en parte: ¿acaso existe una demostración "sencilla" y maravillosa como la que supuestamente habría hallado Fermat?

He conocido a varias personas que me confesaron sentirse desde muy jóvenes atraídas por semejante misterio. De hecho, una amiga me confió ya hace un tiempo este libro que le regalaron siendo ella adolescente y que guardaba en alta estima: 

Aún lo guardo e incluso le he dado una ojeada.

Sin embargo, lo confieso: no ha sido este un tema que me haya despertado especial curiosidad ¡Hay tantos que no me dejan dormir! Eh aquí mi dilema filosófico fundamental...

Sin embargo, hace unos meses me sobrevinieron una serie de ideas que me han llevado a plantear una posible demostración "sencilla" del teorema. Digo sencilla, porque en matemáticas sólo soy capaz de hacer cosas sencillas y que, además, no me cansen mucho.  

Sea esta demostración correcta o refutada, hay algo que me ha sorprendido al trillar un poco este histórico dilema matemático: comprobar como las ternas pitagóricas se pueden usar como máquinas de factorizar. 

De hecho, lo que me parece magnífico es haber alertado como a partir de los factores de cualquier número natural se deriva, en un par de operaciones, todas sus posibles "relaciones pitagóricas" ¡Y viceversa! Esto, al menos, sí creo que es algo nuevo, dado que no he encontrado literatura al respecto... aunque tampoco haya buscado mucho. 

En fin, aquí dejo mi propuesta de demostración, mientras proseguiré con mis otras muchas curiosidades filosóficas: (ver aquí)

Edito (26/06/22): Después de unos días haciendo otras cosas, me he vuelto a mirar este post. No voy a extenderme mucho, pero me he dado cuenta que lo que presenté resulta incompleto. 

En fin, continuo fascinado por haber "descubierto" que las ternas pitagóricas son máquinas de factorizar. Es decir, conociendo una terna pitagórica (a,b,c) podemos conocer los factores de a y b. Lo que ocurre es que, tal y como he demostrado (esto sí lo he demostrado) para conocer una terna se precisa, a su vez, de sus factores. 

Por tanto, usar las ternas como mecanismo de descomposición de factores tampoco nos lleva muy lejos, dado que termina siendo un comido por lo servido. Si hubiera otra forma "fácil" de, dado un a, hallar sus ternas pitagóricas sin emplear sus factores, entonces la factorización podría hacerse en tiempo polinomial y se resolvería el dilema P vs Np. ¿Es posible desarrollar una forma tal? Ni idea...

En fin, sorprendido de haber descubierto por mí mismo que el teorema de Pitágoras, con sus ternas pitagóricas, se sustenta sobre la factorización y por ello, sobre la distribución de números primos con lo cual, al entrar en ello por esta vía observamos que vamos directos a tener que tratar la complejidad y por tanto, el azar.  

EDITO 06/08/22

Presento una posible demostración para exponente 3 aquí 

EDITO 30/08/2022

Presento 2 cosas:

a) posible demostración del teorema de Fermat  

b) Forma de obtener una terna pitagórica primitiva a partir de otra y polinomio para obtener ternas pitagóricas

Aquí