Índice: post sobre el azar (aquí)
Prometí hablar del trabajo de Gregory Chaitín después de leer su libro. A mi parecer marca un antes y un después en la historia de las matemáticas; por varias razones.
Tradicionalmente las matemáticas se toman como ciencias "puras", o "exactas", no sólo por considerarse el paradigma del orden, la perfección y la regularidad, sino en especial por comandar el pensamiento deductivo y, con él, las demostraciones:
a partir de unas verdades deduciendo somos capaces de obtener otras verdades sin precisar de constatación empírica alguna.
Esta definición se la debemos a Pitágoras cuando nos habla de esos conocimientos que sólo pueden ser aprendidos por comprensión y no mediante una vulgar memorización. Pero para vislumbrar el genio matemático griego nos podríamos remontar tranquilamente hasta Tales de Mileto:
Nota: Tales viajó a Egipto y fue capaz de deducir la altura de las pirámides usando, sólo, la potencia demostrativa de su teorema.
El genio deductivo griego se fue trabajando a escarpa y martillo generación tras generación, dando por fruto multitud de conceptos maravillosos y cruciales para el devenir del pensamiento occidental. Por ejemplo, ahí vemos esa idea capital de los presocráticos, el arkjé, surgir como Afrodita del espumoso océano espiritual griego a través de una reflexión atrevida, peligrosa y audaz:
-"Todo es agua"- nos señala el mismo Tales por ejemplo, dando alas al arkjé para que sobrevuela la Élade y prenda chispa el pensamiento occidental. Sin embargo, ¿qué pretende transmitirnos semejante idea, a bote pronto, quizás extravagante y lacónica? Pienso que en esencia dos cosas.
La primera: de algún modo con el arkjé se reconoce implícitamente que cuanto experimentamos corporalmente parece ser una fascinante multiplicidad de distintos fenómenos sin ninguna relación entre sí, que aparecen para luego desaparecer de forma turbulenta, oscura y devorados por el Tiempo. Es decir, que a primera vista la vida -physei- nos parece un tejido fenoménico sumamente complejo: una maraña de eventos harto liosa, entremezclada e irresoluble ¡Un complejo mundo tejido a ciegas por las Moiras!
La segunda: que más allá de esta bulliciosa hibridación de formas, fluctuaciones, fenómenos y eventos que vemos a primera vista la inteligencia nos muestra otra cosa distinta, incluso antagónica a la primera; a saber: que en el fondo Todo es Uno y lo mismo -acaso "agua" dice Tales.
Si lo pensamos un poco apreciamos como es por deducción que llegamos a comprender que algo puede transformarse en otra cosa aparentemente distinta sí y sólo sí en el fondo siempre es la misma cosa ¡O si al menos ambas "ocultan" algo en común!
El fuego se transforma en todas las cosas y éstas en fuego como las mercaderías se intercambian en oro y el oro en mercaderías. Heráclito de Éfeso.
4 + 12 = 16 se puede transformar en 15+1 = 16 = 25 - 9 ¡La forma cambioa mientras el significado permanece igual! Se pueden establecer infinitas igualdades equivalentes y simétricas entre sí.
La sensación de poder intelectual que debió inundar los corazones de esos pensadores al concebir el arkjé, lo que es común a Todo, debió ser gigantesco y abrumador: ¡Un triunfo del espíritu y la inteligencia humana sobre la vida!
De repente, la vida se aparecía ante sus ojos como una espléndida y divina estructura de simetrías; lo que Heráclito llamó: el logos divino.
Visto así no me extraña apreciar como más tarde algunos griegos, así Parménides, Platón o Aristóteles, se embriagasen locos por el poder simplificador de la deducción y terminasen por buscar un denominador común a todo cuanto vivimos, o podemos jamás vivir, muy especial: uno que sólo pudiera ser deducido y comprendido a partir de sí mismo.
Sí, un tiránico deseo empezó a dominar a los griegos más ilustres: llegar a reducir de golpe la vida hasta convertirla en una exangüe, pura y disecada tautologia; una idea hueca e inanimada, muerta o que sólo vive de sí misma como una fantasma; bautizada luego como la "Verdad". Y de mientras juzgaban y valoraban todo lo vivo y metabólico, así el cambio, la aleatoriedad y la multiplicidad (el agua, el fuego, etc) como simple apariencia, accidentalidad y engaño ¡Como manifestaciones irreales, secundarias o redundantes de esa hipotética verdad hiperdestilada y autofágica suya!
Dos milenios más tarde los pensadores modernos, al menos en este aspecto, no parece que hicieran mucho más: acaso cambiaron el nombre de ese denominador común con el que simplificar la vida hasta convertirla en una cáscara vacía ¡Un inmenso y etéreo A=A! Ahí tenemos a Galileo, Descartes, Newton, Leibniz, Pascal, Spinoza, Kant, Einstein, etc hablándonos de Dios para decirnos, sencillamente, que en el fondo todo cuanto existe y puede jamás existir es divino ¡Mientras Dios es incausado -causa sui!
Para un genio moderno la mente de Dios es equivalente al "Kosmós noethos" de Platón
No es de extrañar, también aquí, que todos ellos, conocidos precisamente como racionalistas por semejante deseo de simplificación tiránico y antivital -al que llaman "filosofar"-, andaban convencidos de que conociendo a Dios -la verdad suprema, comuna y única-, entonces por pura concatenación deductiva podían descubrir sin esfuerzo alguno todas las infinitas verdades posibles, por más aparentemente antagónicas, mezcladas y distintas pareciesen a simple vista
¡Por más complicado pareciese ser el nudo de la existencia mediante la omnisciencia divina se creía posible poder desanudarlo en un plis-plas!
¿Por qué cuento este rollo? Porqué éste es uno de los puntos que trata a fondo el libro de Chaitín:
¿Hasta qué medida se puede reducir y simplificar una compleja multiplicidad de eventos matemáticos en uno sólo, único y además autodemostrable, a través del cual deducir fácilmente entonces todos los primeros?
Chaitin demuestra con su número Omega que el viejo sueño racionalista no es posible, sino en casos muy simples, es decir, en sistemas lógicos poco explicativos. Pero tal singularidad ya había sido descubierta, o al menos alertada, décadas atrás por Poincaré, Gödel o Turing en el campo de la lógica-matemática; y por Kant, Schopenhauer, Nietzsche o Wittgenstein en el de la filosofía. De modo que no estamos ante nada nuevo para quien tenga la inteligencia suficiente como para percibirlo y darse cuenta.
Lo que sucede es que Chaitin hace algo más: lo demuestra poniendo al descubierto la existencia de eventos matemáticos irreductibles, es decir, sin denominadores comunes, sin que estén atados a condiciones iniciales, y por consiguiente, indeducibles a partir de eventos anteriores o primarios. ¿Qué significa eso? Que estamos ante eventos matemáticos aleatorios.
En definitiva, Chaitín demuestra que no se pueden reducir a lo bruto todas las "verdades" matemáticas a una simple y vacía tautología primordial, tipo A=A, simplemente porqué muchas de ellas obedecen al azar. Mientras destaca como el azar es sinónimo de riqueza explicativa, de potencia intuitiva, es decir, de complejidad e irreductibilidad.
Llegados aquí empezamos, pues, a comprender el azar como la imposibilidad de ir deduciendo de forma inmediata verdades a partir de otras de anteriores, puesto que en un sistema aleatorio "sus" verdades tienen que ir comprobándose una a una ¡Cálculo a cálculo! Y a la vez entendemos que calcular es, siempre, probar empíricamente: implica medir, contrastar y constatar. Sí, las ciencias puras son también empíricas en la medida que son dominadas por el azar.
¿Cómo la contribución de Chaitín a las matemáticas no va a marcar un antes y después en ellas? Es capital abrir miras para verlo... y a poder ser, aprovecharlo.
¿Qué son los números?
Hay algo más que comenta Chaitin en su libro que me ha despertado sumo interés, quizás porqué ya le había dado vueltas al encontrarlo un tema fascinante, por dudoso.
Como matemático entiende la matemática como un lenguaje numérico, es decir, un lenguaje estructurado sobre números; que trata con números ¡Qué vive de los números! Y como matemático Chaitin define los números como cantidades.
Personalmente, me parece una visión superficial del concepto número y que, bien analizada, no nos dice mucho: un número es una cantidad, una cantidad es algo que se puede contar y algo que se puede contar es por definición un número ¡Ahí tenemos una circularidad vacía y redundante! Sin embargo, es la definición tradicional y, como tal, se da en todos sitios de forma abusiva, a mi parecer claro está.
Si aprendemos a comprender lo que nos cuentan los griegos, acaso Pitágoras mismo cuando nos dice que el arkjé son los números, quizás ampliemos un poco nuestra visión e interpretación de los números.
Es cierto que una de las funciones de los números es identificar cantidades, dado que, como hemos visto, una cantidad y un número saben a dos nombres distintos para una misma idea. Pero, ¿qué significa la idea de número, de contar, de cantidad? Significa medir... y, ¿qué es medir?
Con los griegos se aprecia de forma clarísima: medir es establecer relaciones de proporcionalidad. En otras palabras, estipular un ordenamiento que sigue algún tipo de simetría y por tanto, de denominador común -acaso la unidad.
Visto así, se entiende que medir es poner en relación dos o más cosas, una de las cuales se toma arbitrariamente por "la unidad" ¡Lo común! Por ello una medida nos dice "cuánto se asemeja una cosa con la unidad", "cuánto tiene en común con la unidad", "cuánto se puede simplificar y reducir en base a la unidad".
Cuando decimos: -Pepe mide 1,80 metros- Sólo mostramos cierta relación de proporcionalidad que mantiene la altura de Pepe con el metro, el cual actúa aquí arbitrariamente como unidad. Nada más ¡No hay nada de metafísico ni trascendental! ¿O sí?
Si nos fijamos, las medidas nos muestran las férreas relaciones que mantienen, aunque sea de forma aparente, superficial y arbitraria, las distintas cosas entre sí. Ante semejante panorama es fácil presuponer, no sin cierta inocencia vale reconocer, que el mundo igual esconde una sólida y maravillosa harmonía interna: un orden preestablecido, bello, justo y majestuoso, digno de estudio y comprensión. Un orden oculto y misterioso que actuaría, precisamente, como denominador común de todas las cosas. Y así lo creyó felizmente Pitágoras por ejemplo; con motivo a la vida la llamó "Kosmós".
Pero siendo rigurosos, no sólo Pitágoras pensaba así en Grecia; ya desde los antiguos 7 sabios griegos se veneró "la medida" como máxima moral y elemento distintivo del sabio respecto al ignorante.
Con motivo, además, la sabiduría griega consideraba que sólo a través de la medición la belleza emerge de su letargo y ocultación. ¿Me explico?
En efecto, parece ser que para los griegos toda forma artística es, en esencia, un saber medir:
La música (tocar un instrumento) es medir el sonido hasta hallar la melodía.
La poesía es un medir las palabras hasta hallar la verdad. (Todos los poetas griegos se presentaban como heraldos de la verdad por inspiración de las musas)
La escultura y arquitectura es un medir las partes de las figuras hasta hallar lo harmonioso y equilibrado.
La política es un medir los caracteres, deseos y opiniones de la gente hasta hallar lo justo.
La medicina es un medir los tóxicos hasta hallar la dosis
La física es un medir el comportamiento de los cuerpos hasta hallar una regularidad (la ley).
La ética es un medir las decisiones e inclinaciones, los juicios y acciones propias hasta hallar lo bueno y correcto.
Y el arte, para ellos, era curiosamente el camino hacia el perfeccionamiento personal; al que definieron con el termino: felicidad -una vida que vale la pena ser vivida.
Sin embargo, ¿es el mundo puro orden, harmonía, proporción, justicia y belleza?
Los propios pitagóricos no tardaron mucho en darse cuenta estupefactos que no; que la hybris también forma parte fundamental de la vida; que la desmesura y la complexidad, lo entremezclado, bestial y horrible, lo convulso, aleatorio, inconexo, irreductible e inconmensurable también hace presencia por doquier. Sí, que el factor trágico, o dionisíaco, forma parte insobornable y esencial de la vida.
Los pitagóricos descubrieron los números inconmensurables, como raíz de 2 por ejemplo, que al intentar ponerse en relación con la unidad entra de lleno en contradicción, la cual sólo se disuelve llevando la raíz al infinito. Pues como ya he dicho varias veces en otros post, la noción de infinito puede disolver fácilmente las contradicciones al no ser una noción ontológica.
El mundo dionisíaco de los números
Hoy en día llamamos números inconmensurables a los números reales irracionales. Y en realidad son un problema gordo, gordo, tal y como nos cuenta el propio Chaitin: "hay muchas razones para considerar que estos números no existen en realidad, más bien deberían llamarse irreales".
Es decir, Chaitín abre la puerta a considerar que el número Pi, raíz de cualquier número primo, el número áureo, el número e, etc ni son números ¡Ni existen en realidad! Atrevimiento que aplaudo porque así no lo tengo que hacer yo; y él sabe más, mucho más.
Sin embargo, tal afirmación no es nada nuevo. De hecho, ¿no será un volver a los griegos, a Pitágoras? Pero, ¡un segundo! ¿Acaso nos hemos marchado alguna vez mucho de los griegos? A fin de cuentas dijeron tantas cosas que sabe fácil encontrar siempre entre de ellos el eco de nuestras propias ideas.
Por ejemplo, la visón moderna/actual de los inconmensurables es, como no podía ser de otra forma, muy platónica ¡Harto idealista! Y precisamente fue Platón quien intentó solucionar el dilema de los números inconmensurables destapado por sus amigos pitagóricos ¡Intentó extirpar el factor trágico del alma de la vida! Porqué de eso va el idealismo, como bien puso de manifiesto ya Nietzsche.
La solución platónica consistía en convencernos de que, en el fondo, ¡muy en el fondo!, la vida sigue escondiendo de forma silenciosa y velada una harmonía preestablecida: -¡Los irracionales sólo son aparentemente irracionales!- Propone el fundador de la Academia, para luego aclarar, en el caso de raíz de 2 por ejemplo, que: -Este número no existe en el mundo físico, sino de forma aparente, parcial e incompleta como un sinfín de meras copias imperfectas de su hipotético modelo ideal, el cual sólo podríamos visualizar, o llevando la operación al infinito o haciendo un salto mortal intelectual -trascendiendo lo finito.
Sin embargo, Platón se engaña con la noción de infinito y aprovecha que el infinito puede no ser propiamente nada para introducirle lo que le da la gana -sus ideas vacías. Y por herencia suya los occidentales llevamos 2.500 años haciendo semejantes trampas sin ya darnos ni cuenta ¡Y a muchas de estas trampas se las ha llamado, precisamente, filosofía! Con motivo nos resulta tan interesante y atractiva como contemplar un truco de magia.
¿Existen los números irracionales?
Hablar de números irracionales es, a fin de cuentas, hablar de números que no pueden ser nunca números; de medidas que no se pueden medir; de proporciones desproporcionadas; de exactitudes inexactas; de un orden desordenado e imprevisible ¡Se nos exige lo imposible: hablar de algo que no se puede hablar! ¿No será eso cruel?
En efecto, al intentar tratar los irracionales como números chocamos de frente ante una flagrante contradicción. Y para resolverla y clarificarla, de momento, sólo se nos ocurre disolverla mediante el infinito.
Pero como ya vimos en el post anterior (ver) una contradicción puede tener suma utilidad; es decir, que algo nunca pueda ser cierto no implica, necesariamente, que no pueda usarse como hipótesis y suposición para contar un montón de cosas interesantes. Y obviamente, los números irracionales tienen un enorme interés. De hecho, aunque decidiéramos que ya no existen más aún los seguiríamos usando y pensando en ellos a diario
¡Usar medidas inmedibles resulta fructífero y fecundo para las matemáticas y el pensamiento humano!
En todo caso, sí me parece clave comprender dónde fallan los irracionales, hasta dónde los puedes llevar sin que todo explote por los aires al chocar contra una inmensa absurdidad -como le sucedió a Cantor ¡Es crucial comprender sus límites! En caso contrario terminamos disparando ideas a lo loco.
En fin, que cuando pienso en Pi ya no veo a ningún número, ninguna cantidad, sino un tipo de relación imposible, por absurda.
Y sin embargo, me hace gracia escuchar a cualquier estudiante de la ESO afirmar con autoridad que tal relación es muy fácil, que no esconde ningún problema: -Sólo basta aplicar un número aproximado, acaso el 3,141592 ¡O el 3 si hay prisas!, para resolver la operación imposible que le han puesto en la pizarra-.
Sí, en qué mundo más superficial y engañoso aprendemos a vivir para felicidad y despreocupación nuestra -Pensando que sabemos, adquirimos confianza con la vida. No es, pues, ninguna paradoja pensar que el saber te hace tonto, como suelen corroborar los expertos.
En resumen, cuando Chaitin nos cuenta en su libro uno de los hallazgos matemático-filosóficos más importantes de Leibniz, la cuadratura del círculo a través de una operación infinita, uno aprecia sin ya mucha sorpresa qua cualquier relación absurda, como lo es Pi, y por ello la cuadratura del círculo, puede tratarse sin problemas disolviéndola mediante el infinito:
De hecho, dado que el infinito puede y no puede ser tratado como un ente, también vemos, gracias a Riemman, cómo esta misma serie infinita de Leibniz puede dar cualquier relación que queramos, ya sea coherente y precisa ya absurda e imposible. Sólo nos basta con reorganizar los interminables términos de la serie ¡Y vualá! Así nos lo cuenta Burkard Polster (ver vídeo)
Las sumas infinitas son, ya no fascinantes, sino lo siguiente; basta con ver las filigranas que genios como Euler, Riemman o Ramanujan hacían con esos monstruos. E intuyo que el número Omega hace buenas migas con ellas.
Demostración de la irracionalidad de Pi
Añado este breve apartado porque tratando el tema he advertido como las demostraciones sobre la irracionalidad del número Pi fueron tardías (La primera nos la dio el gran amigo de Kant, Lambert, en el s.XVIII). Y sobre todo, suelen ser complicadas. Así nos lo cuenta Eduardo Saenz de Cabezón en Derivando (ver aquí)
Con la elegante demostración de Euclides sobre la irracionalidad de raíz de 2, que parte de la factorización, se me ha ocurrido una posible demostración sencilla y fácil sobre la irracionalidad de Pi. La he escrito vuelapluma y por eso la cuelgo aquí por si apetece trastearla (hoja 1 y hoja 2)
EDITO: dado que lo compartí edito para apuntar que, después de repasarlo de nuevo, veo que el procedimiento escogido, si bien es irrefutable, resulta trivial (da vueltas al hecho que Pi=Pi) y por tanto, no nos dice nada de Pi (ver la trivialidad aquí). Otro día será, pues.
¿Por qué se tomaron en serio los número irracionales?
Las famosas cortaduras de Dedekind justifican tratar las relaciones imposibles, como pi o raíz de 2, como si fueran números: relaciones coherentes, precisas y perfectamente definidas ¡Cómo si fueran entidades! ¿Va a ser esto posible?
Estas cortaduras abrigan a tan gran absurdidades de cierta estructura comprensible y con ello las dotan de cierta capacidad para relacionarse con otros objetos matemáticos. Y en efecto, una vez vestidas de cierta lógica y coherencia, guapas y radiantes, parecen ya estar listas para ser admitidas dentro del noble palacio de los números, aunque no lo sean; hecho que no deja de ser fascinante y un cuento de hadas para goce de las inteligencias más perspicaces.
Aquí se puede ver una explicación sobre las cortaduras de Dedekind
Por eso, cuando nos fijamos un poco con el trabajo de Dedekind apreciamos, con una sonrisa, que el muy listillo nos hace ciertas trampas, o al menos se apega a ciertas arbitrariedades, quizás justificables si se desea considerar a los irracionales como números; pero aquí ya entramos a discutir una cuestión de deseos, nada desdeñable por cierto.
Y, ¿de qué consideraciones hablamos? De las que Dedekind seguramente sacó de Cantor.
La idea de fondo me parece brillante: consiste en revestir estos monstruos, absurdos e irracionales, con conjuntos de infinitos números racionales bien ordenados. En concreto, consiste en hallar el punto de encuentro, al infinito, donde coinciden el conjunto de racionales que son mayores que el absurdo que deseemos y el conjunto de racionales que son menores que él.
Pongo un ejemplo tomado un poco a mi conveniencia; se presupone que Pi ha de ser el punto de encuentro al límite entre el conjunto de los números racionales que a partir de 4 va hasta Pi, acaso pasando por el 32/10, el 315/100, el 3142/1000, el 31416/10000 etc, y el conjunto de todos los racionales que a partir del 2 va hasta Pi , pasando acaso por el 30/10, el (313/100), el 3140/1000, el 31414/10000 etc.
En resumen: Pi es el punto de encuentro entre {4, 32/10, 315/100, 3142/1000, 31416/10000,...} y {2, 30/10, 313/100, 3140/1000, 31414/10000...}
Ciertamente hacer esto con un número racional, por ejemplo el 5, no es ningún problema:
5 = {6, 51/10, 501/100, 5001/1000, 50001/10000,...} y {4, 49/10, 499/100, 4999/1000, 49999/10000...}
Y, ¿por qué no es ningún problema hacer eso con un número racional? Porqué un número racional es , a todos los efecto, un número ¡Una diana clara donde apuntar! Con lo cual te puedes aproximar tanto como quieras al 5 por la derecha, o la izquierda, y si bien nunca llegarás a impactar con él, puesto que siempre habrá un racional más pequeño marcando distancias, el límite de este interminable proceso de búsqueda siempre estará muy bien definido; pues será el propio número -el 5 en este caso.
Pero, ¿qué ocurre con Pi? ¿Acaso sucede lo mismo? Pues no. Al no ser Pi ningún número, sino una relación absurda, entonces el límite no está definido ¡No hay ningún punto de encuentro! Y así tenemos el límite: perdido y sin saber hacia donde dirigirse ¡Parece una veleta en medio de la tempestad! De modo que no converge hacia ningún valor fijo definitivo. De aquí la convicción de que cada decimal de Pi será aleatorio.
En efecto, resulta imprevisible deducir cual será el siguiente decimal de Pi a partir de los decimales obtenidos ¡Hay que ir calculando! Con el 5 eso no pasa.
De hecho, ahora que lo pienso, hace tiempo que me da por cuestionar: ¿por qué resulta tan difícil elaborar mecanismos para obtener de forma fácil un número arbitrariamente grande de decimales de Pi? Y en efecto: se debe a que, para hallar decimales de Pi hay que calcular, con lo que ello significa. En otras palabras, quizás el grado de aleatoriedad de los decimales de Pi paute un cierto límite en la capacidad para calcularlos.
En fin, no hay duda de que soy muy amateur en estos temas y son multitud los aspectos y sutilezas que quizás se me escapan, pero después de observar la situación entiendo que Dedekind, Cantor y compañía presupusieron algo completamente arbitrario, por no decir directamente falso y chocante; a saber:
Que todos los puntos de una recta no se pueden definir al completo usando, sólo, números racionales.
Se aprovecharon que en el s.XIX corría el rumor por el mundo matemático que usando sólo racionales se forman huecos en una recta de infinitos puntos, puesto que quedarían muchos de ellos sin definir mediante su número correspondiente.
-Pero, ¿qué puntos de la recta quedarán sin ser definidos por un número?- Podemos preguntar algo confusos. Y esas inteligencias del s.XIX nos responderán sin inmutarse a cara de perro: -Sí, hombre, el punto Pi, el punto raíz de 2, el punto e.... quedan sin definir si solo usamos racionales, dado que ellos no pueden ser jamás racionales- Concluyen mientras nos enseñan un dibujito tal que así:
Insólito, increíble, inaudito. Perdonad, pero me sale de dentro y, cierto, quizás esté equivocado, pero esta gente nos suelta a la cara que aquello que jamás puede ser un punto definido, puesto que resulta absurdo que lo sea, debe ser un punto definido cuando describimos una recta ¡Y se nos exige que lo busquemos para identificarlo!
Visto así no doy crédito, el razonamiento empleado me parece, sinceramente, esperpéntico: al ser completamente absurdo tomar Pi por un número, entonces los números no bastan para definir todos los números que hay en una recta. Y de esta "feliz" idea concluyen: por tanto, usando sólo números se generan huecos, vacíos, puntos sin definir en la recta de los números, de modo que ésta en vez de un continuum parece un queso gruyere.
Sí, este es el plan de Dedekind, Cantor y tantos otros: ¡Hay que introducir en la recta de los números lo que nunca podrá ser número alguno para que la recta tenga ya todos los números!...
¿Qué podría fallar? ¿Nos extrañamos, luego, que al final tan espectacular juego trilero lleve a trivialidades, como la hipótesis del continuo?
Confieso pero, y para que no se malinterprete, que me seduce analizar, discernir y estudiar cómo razonaban los idealistas de hace 150 años y sacar a la luz cuánto hay de humano, demasiado humano en sus ideas aparentemente más objetivas y realistas. ¿Estaban equivocados? ¿Lo estaré yo? Difícil erigirse aquí en un juez imparcial, pero para mí este razonar es interesantísimo por esperpéntico; por constatar cómo lo más absurdo puede generar ideas de lo más interesantes y cruciales ¿Acaso el propio trabajo de Chaitin no se basa en gran medida en ello para, de algún modo, terminar negándolo o poniéndolo en duda?
Dicho esto, entonces, ¿cómo tratar a los irracionales?
Aunque los llamemos por la cara "números", el hecho es que nunca los podemos usar como tales dado que, por su propia definición, no representan nada medible, contable, puntuable. Pero sí los podemos usar para otras cosas y, con motivo, los podemos concebir de manera distinta.
A bote pronto, me parecen más bien operaciones, conjuntos infinitos, o mejor dicho: recorridos de funciones. De hecho, hablar de Pi me suena a si hablásemos del conjunto de los naturales. ¿Acaso no resulta absurdo tratar el conjunto de los naturales como si fuera, él mismo, un número? Pues Pi me sabe a un subconjunto infinito de números racionales muy peculiar donde es preciso "calcular y evaluar" para hallar cada uno de sus elementos de entre los racionales posibles. Por eso no está muy ordenado.
En realidad, lo mismo que nos pasa con Pi nos pasaría si creyéramos en la existencia de un número natural de infinitas cifras: ¿acaso no estaríamos hablando más bien de un subconjunto infinito muy concreto de los naturales como recorrido de alguna función en vez de un número?
En el fondo esta fue la idea que me vino en mente cuando se me ocurrió desarrollar el método del espejo como alternativa al método de diagonalización de Cantor. Y empecé a visualizar los irracionales como subconjuntos infinitos muy peculiares de los racionales. Por ejemplo, Pi = {3, 31/10, 314/100, 3141/1000, 31415/10000,...}
Obviamente esto me llevó al teorema de Cantor sobre la cardinalidad de los conjuntos potencia. Y advertí como el teorema, si bien funciona para los infinitos conjuntos finitos posibles, no tiene porqué funcionar para conjuntos infinitos, dada la naturaleza no ontológica del infinito. (se puede ver la revisión del teorema aquí).
De hecho, lo que quería decir con esta revisión tampoco no es nada nuevo, sino lo mismo que ocurre con muchas de las demostraciones matemáticas de irracionalidad; como la ya vista sobre raíz de 2: que al alcanzar un resultado con un número finito de decimales para raíz de 2 siempre chocamos con una contradicción, la cual nos lleva a buscar otro decimal más, y éste nuevo decimal, a su vez, nos lleva a tener que buscar otro más... y tal paradoja sólo desaparece llevando la búsqueda al infinito. Pues así mismo el teorema de Cantor te dice que para cualquier conjunto finito de elementos que tomemos siempre se produce una contradicción al intentar constatar si el propio conjunto, y su conjunto potencia, tienen los mismos elementos. Entonces, esta contradicción te lleva a introducir un elemento más en el conjunto escogido; pero luego, con el nuevo elemento, la contradicción vuelve aparecer exigiendo no poder parar de añadir nuevos elementos al conjunto. Y al final se aprecia como esta contradicción sólo se desvanece al llevar el conjunto al infinito, demostrando con ello que esta relación de igualdad entre un conjunto y su conjunto potencia sólo puede darse sin generar una contradicción en el infinito.
Universo discreto vs universo continuo ¿El mundo de los racionales?
A raíz de la problemática de los reales, que Chaitin pone radicalmente en duda en su libro dando pie a que me haya puesto a comentar este tema a fondo, aunque quizás él no comparta para nada mi punto de vista, nos abre debate con un tema tradicionalmente filosófico, y muy antiguo:
¿será la realidad continua o discreta?
Defiende que la realidad debe ser discreta; argumentos y evidencias no le faltan, muy interesantes algunas de ellas. Y éste es uno de los motivos por los cuales tacha a los irracionales de irreales, de no existir.
Desde mi punto de vista, pero, la crítica de Chaitin arrastra aún los vicios idealistas. Presupone, siguiéndoles el juego a los idealistas, que son los irracionales los que dan continuidad a la recta de todos los números y por tanto que sin ellos habría saltos, discreción y vacíos ¡Sin ellos habrían puntos de la recta sin definir! Por tanto, al defender él un universo discreto, con razones muy potentes eso sí, considera que quitando los irracionales ya tiene un modelo factible ¡Piensa que usando sólo racionales podemos ya palpar la estructura discreta del universo!
Como ya he dicho, entiendo este tema de los irracionales con otro aire:
-No son números por tanto no hacen nada en la recta de los números ¡Ni quitan ni ponen puntos! De hecho, cada uno de ellos me sabe, sencillamente, un subconjunto infinito muy peculiar de los racionales. A fin de cuentas, observo fascinado como, si bien es cierto que ningún irracional nunca podrá llegar a ser un racional concreto, un punto preciso, una medida, al mismo tiempo tampoco podrá jamás abandonar el "mundo de los racionales", por donde siempre se "moverá" como un relámpago, de forma errática y prisionera... ¡Hasta volver a alcanzarse a sí mismo en el infinito!
Sí, por esto mismo me tienen fascinando estas relaciones dionisíacas capaces de mantener en una preciosa harmonía su propia contradicción interna a través de un devenir eterno. Me fascinan porque, además, me recuerdan al "logos" de Heráclito.
En cualquier caso, ahí tenemos a todo el mundo mirando boba y fijamente a los racionales, uno por uno, y destacando sus limitaciones y finitud sin darse cuenta que, en global, forman un continuo infinito y compactado: entre dos racionales cualquiera hay, siempre, infinitos racionales ¿Dónde va a estar el vacío en un mundo infinitamente denso como este? Con los naturales y los enteros, en cambio, esto jamás sucede; entre ellos siempre hay saltos: del 1 pasas al 2 y de este al 3. ¡Y entre ellos no hay ningún otro natural, sólo un continuum de racionales!
Por tanto, la recta de los números es siempre un continuum, por pura definición, dado que sólo hay números. ¿Significa eso que la vida será también un continuum? Ni por asomo. Sólo significa que un modelo puramente medible y numerable, cuantificable y preciso será siempre un continuum. Nada más. Es sólo una definición, que en todo caso nos permite generar un modelo.
Y sobre la dicotomía filosófica ya discutida en tiempos de Zenón y Demócrito sobre si la vida es un continuum o bien, algo discreto, bueno, a mí se me antoja una tercera opción, que dejaré en el tintero.
Irracionalidad y aleatoriedad
Hablando de irracionales Chaitín expone los trabajos de Borel, y su teorema, según el cual los decimales de la gran mayoría de irracionales seguirían una distribución aleatoria. En tal caso sería una distribución que los matemáticos llaman "normal". En Gaussianos (aquí) lo explican la mar de bien.
Yo sólo diría, en cualquier caso, que los decimales de estos irracionales se distribuyen a través de una forma fractal aleatoria; de modo que al infinito se alcanzan a sí mismos (ver forma fractal aleatoria aquí). Eh ahí su potente razón de ser: devienen constantemente en verdades en sí por puro azar, por puro devenir, por no ser puntos ni entes fijos con un valor determinado. ¿Estamos aún haciendo metafísica??? Esto se vale una propia reflexión, pues nos abre las puertas a una nueva filosofía; acaso una filosofía dionisíaca como decía Nietzsche.
En cualquier caso, como se puede apreciar en el artículo de Gaussianos, repasemos por ahora algunos números normales muy curiosos:
-El propio número de Chaitín (el 0,00787499699...)
-El número de Champernowne (el 0,123456789101112131415...), peculiar por ser normal en base 10 y por ello tener por decimales la concatenación de todos los números naturales
-La constante de Copeland-Erdos (el 0,2357111317192329... ) En efecto, esta constante tiene por decimales la concatenación de todos los números primos.
En efecto, al observar el número de Champernowne y la constante de Copland-Erdos nos da por preguntar: ¿será, entonces, la propia distribución de números naturales, y la de primos, normal y por ello de algún modo aleatoria?
En cualquier caso, sí hemos visto cómo los decimales de un irracional como Pi se desarrollan como una veleta, a lo loco, sin una diana fija donde dirigirse. ¿Por qué? ¿Se puede sacar provecho e ir más al fondo de la cuestión?
Contradicción y azar
Sí, una idea misteriosa sobrevuela todo este tema. ¿Estaremos equivocados? A decir verdad, nos es ningún problema errar, extraviarse y perderse; muchas veces todo lo contrario ¡Sin Aristóteles no habríamos tenido a Galileo! Y cuanto sigue a continuación son reflexiones bastante preliminares.
De algún modo extraño se aprecia como la noción de azar, la de infinito y la contradicción están íntimamente emparentadas. Y, ¿si el azar, al igual que el infinito, también fuera una forma de disolver contradicciones? Aquí (ver) ya vimos como mediante el azar se puede sortear sin problemas una violación del principio de transitividad, y por tanto una flagrante contradicción.
Nos cuesta vernos a nosotros mismos, ¡nos faltan espejos! Y no alertamos que estamos acostumbrados a pensar que si algo se puede calcular y nos da un resultado preciso, entonces es un resultado determinado, y si es determinado para nada será aleatorio. Pero que este pensar sea fruto de un hábito no significa que sea razonable, o bien, que no podamos pensar de otra manera. Eh aquí otro de los temas claves del libro de Chaitin. Y fue, además, uno de los motivos para comprármelo.
Empezamos a entender que cuanto más hay que calcular, tantear y probar para resolver un dilema más aleatorio y complejo resulta, dado que es menos fácil de deducir directamente ¡Resulta más difícil de simplificar! Un mundo claro y diáfano no regido por el azar sería deducible de inmediato a partir de una primera verdad, una primera causa incausada; por supuesto Dios ¡Spinoza lo explica de maravilla! Obviamente, pero, éste no es el caso de nuestra embrollada vida.
De forma muy rápida, comentar que el tema nos lleva directos hacia las ecuaciones diofánticas. Esto nos escribe Chaitin al respecto:
" Y esto es todo lo que hay:¡las ecuaciones diofánticas son en realidad computadoras! Increible, ¿no? ¡Lo que habría dado yo por poder contarle a Diofanto o a Hilbert! ¡Apostaría a que lo entenderían sin problemas! [...] ¡Y esto demuestra que la teoría de números es difícil! ¡Esto demuestra que la incomputabilidad y la incompletitud residen en el núcleo, en los problemas diofánticos de hace 2000 años! Más adelante les mostraré que la aleatoriedad también se oculta en ese mismo lugar..." [pg. 65]
Estas últimas semanas he estado estudiando un poco las ecuaciones diofánticas, en especial las más sencillas, y tengo la sensación de empezar a sacar cierto provecho de esta afinidad entre contradicción, azar, infinito y determinismo que ocultan. Además, me han llevado a Fermat, con el cual me siento algo identificado. Para reyes ya me he pedido su:
El nihilismo, posverdad matemática y pesimismo epistemológico
Aprovechando las ecuaciones diofánticas, y Fermat, termino el post hablando de un tema que queda medio oculto entre todos los demás y que, en efecto, es el más filosófico ¡Y de largo! Chaitin lo comenta en una página en el anexo del libro donde agrupa notas, poemas y otros escritos [pg 219] .
Los teorema de Gödel, de Turing y el suyo, en un principio nos llevan directos al nihilismo y a la posverdad matemática. Pero en seguida, en este breve apunte, Chaitin reconoce que tan gran pesimismo epistemológico, curiosamente y por algún motivo quizás misterioso, parece no funcionar a efectos prácticos. Porque si fueran definitivos el día a día de las matemáticas sería muy, pero que muy negro, dado que los teoremas parecen pronosticar las imposibilidad de demostrar verdades matemáticas. Es más, exigen directamente la muerte de las matemáticas ¡El fin de las demostraciones! Y resulta evidente que las matemáticas están más vivas que nunca, con nuevos resultados y nuevas creaciones año tras año.
Chaitin pone un ejemplo de este pesimismo matemático que, seguramente, le turbó durante algún tiempo:
"La gente suele decirme: -vale, todo esto está muy bien. La teoría algorítmica de la información es estupenda, pero póngame un ejemplo de un resultado concreto que usted crea que escapa al poder de razonamiento matemático?- Una de mis respuestas favoritas durante años fue: -Tal vez el último teorema de Fermat-. Pero luego sucedió algo gracioso, Andrew Wiles se presentó con una demostración."
Ciertamente el último teorema de Fermat desquició durante 350 años a los mejores, y peores, matemáticos de cada generación, simplemente porque el francés apuntó en el borde del libro de Diofantes, mientras lo leía:
Y luego, añadió: "hallé una demostración maravillosa, pero este borde es demasiado pequeño para anotarla".
A ojos de la comunidad científica parecía irresoluble e imposible hasta que Andrew Wiles lo demostró, eso sí, mediante un tocho de casi 100 páginas de instrumentos matemáticos complicadísimos. Por contra, la demostración de Fermat no ocupaba ni 2 páginas con matemáticas asequibles para un estudiante de instituto. Lo curioso es que los matemáticos no la supiesen recrear. Pero, ¿se puede recrear? Y en tal caso, ¿será una demostración que seríamos capaces de aceptar?
Sea como sea, volvamos al dilema filosófico: ¿Por qué este pesimismo?
La muerte de Dios en matemáticas
Los matemáticos del s.XX han matado a Dios. Esa vieja ilusión idealista que les hacía soñar con la existencia de una A=A con la cual poder deducir todas las verdades matemáticas posibles les ha llevado a pensar todo lo contrario: ¡Que ya no se va a poder demostrar casi nada y por tanto las opiniones se vuelven banales! Ciertamente, estamos ante un dilema filosófico, y psicológico, de primer orden:
“No se abandona una posición extrema por una posición moderada sino por otra igualmente extrema, pero contraria. Y así es como la creencia en la inmoralidad absoluta de la naturaleza, en la falta de sentido y de fin, se apodera de nosotros como un afecto psicológicamente necesario cuando ya no puede mantenerse la creencia en Dios, en un orden esencialmente bueno del mundo y por ello, en la moral. El pesimismo aparece entonces ligado a tal inmoralidad, pero no porque el displacer ante la existencia sea mayor que antes, sino porque se había creído que el orden, el fin y el sentido es lo que otorgaba bondad a la vida. Una interpretación entre otras ha naufragado, pero como se creyó que era la única interpretación posible, parece que la existencia ya no tenga sentido, que nada valga la pena, que la vida, al convertirse en inmoral, parezca el peor de los mundos posibles, una especie de lugar malvado, cruel e insoportable. Pero este pesimismo no es más que otra interpretación .” F. Nietzsche
Resulta evidente, si nos fijamos un poco tal y cómo reconoce el propio Chaitin, que la posverdad y este nihilismo post idealista no llevan a nada; saben absurdos al contradecir de lleno cuanto vivimos. Pero reconocerlo ya es un primer paso para poder superarlo.
¿Habrá un nuevo mundo por descubrir, una nueva forma de interpretar, sentir y vivir la realidad, por así decirlo? Y, ¿acaso trabajar a fondo en la idea de azar, tal y como nos ha regalado Chaitin con su fabuloso trabajo, será un primer paso?
Quizás uno debería empezar a ser capaz de percibir por sí mismo como las matemáticas no son un mundo aparte ni de la vida ni de lo humano ni del lenguaje ni de nuestro aparato emotivo ¡Cuánta psicología ocultan en sus profundidades: oscuros océanos de expectativas, prejuicios y deseos la bañan por dentro! De hecho, las demostraciones matemáticas, y lógicas, hablan más de poder que de la verdad pura y dura ¡Ideal! Dado que ésta es una eterna y vacía suposición inverificable, como ya os comentaba en el post anterior. ¿Tendremos aquí, precisamente y para sorpresa grata de todos, la salida al pesimismo epistemológico?
Me parece a mí que Chaitin, al final, se ve plenamente capaz de tomar con sumo desparpajo esta misma salida; una salida que, curiosamente, ya fue tomada a su manera por otros pensadores, como Poincaré, Tarski (curioso, Chaitin parece no conocer su trabajo), Wittgenstein, y en especial, Nietzsche. Ahí tenemos a mentes con lenguajes, metáforas, razonamientos, experiencias y evidencias aparentemente muy distintas, incluso antagónicas a primer vistazo, encauzarse de forma errante hacía un mismo río de ideas, nuevas y exuberantes. Hecho que da por pensar y sospechar con serenidad y largamente: cuánto futuro tiene el filosofar por delante, y sin embargo, la gente sin darse cuenta.
En efecto, quiero recomendar encarecidamente el extenso prólogo que nos regala Chaitin; ahí apreciamos un alegre olvidarse, o apartarse, de la metafísica y la posmodernidad por igual, mientras expone de forma genial lo que significa demostrar más allá de la "verdad". Delicioso leer, por ejemplo, cómo se sobrepone a la dictadura de las mentes puras , así la de Erdos por ejemplo, quienes aún creían, o creen, en esa vieja superstición metafísica que nos dicta: -A las mentes privilegiadas (los genios) les caen del cielo las demostraciones como regalos de Dios.-
Dejo pendiente reelerme de nuevo el libro de Chaitin porque me sabe capital en muchos sentidos, y algunos conceptos, honestamente, aún me cuestan por ser muy específicos del campo de su trabajo. Problemas de idioma.
Y por hoy lo dejo aquí que también tengo otros quehaceres.
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