Poincaré, Kant, Hilbert, Gödel y los juicios sintéticos a priori: el pensamiento emergente y especulativo

Reconozco tenerle una estima especial a Poincaré. 

Bien, siendo honesto, le tengo envidia sana por como discurre sobre los más áridos y difíciles temas sólo aptos para una minoría intelectual -los fundamentos de las ciencias. Y no sólo lo hace con suma rigurosidad y diligencia, sino también con claridad, elegancia, estilo; con una profundidad superficial sólo al alcance de una mente privilegiada como fue la suya. 

Constantemente nos lanza ideas inteligentes, sugerentes, una invitación a reflexionar ¡Tenía que ser francés! Se nota que es un conversador nato; y quizás por ello fuera tan buen matemático. ¿Acaso las matemáticas no son un conversar con las supuestas relaciones que manifiestan las cosas?  Ramanujan no dudaba en tener a los números por amigos y charlar a diario con ellos.

En su famoso "ciencia e hipótesis" Poincaré nos defiende que las ciencias puras, con las matemáticas en cabeza, no viven sólo de abrazarse a la prístina razón, de la pura deducción quiero decir, sino que precisan, ante todo, de inventiva para crecer: siempre tienen que alimentarse a base de hipótesis. 

En palabras más llanas: para conocer no basta con deducir una verdad de otra más básica y primigenia, como Descartes había soñado que llegaría a ser algún día el babélico edificio de las ciencias modernas, sino que es preciso y necesario suponer, imaginar y por ello, crear.

Esta idea me sedujo fuertemente dado que se acomoda la mar de bien a mi gusto y temperamento: ver las ciencias más puras como invención humana, como una expresión artística nuestra, es decir, imaginativa y artificial, pero tan bien elaborada, pintarrajeada y disfrazada que fácilmente nos la creemos ¡Nos la tomamos en serio! Y bajo tan hipnótica ilusión nos predisponemos sin darnos cuenta a considerarla bobamente como natural, como real... ¡Como verdadera! 

Nuestra loca mente entra tanto en la "historia" que nos hemos montado que cree que se trata de la propia realidad. Sí, nunca dejamos de ser niños a quienes les fascinan los cuentos que nos cuentan y acabamos creyéndonos ser sus personajes. 

Excepto quienes escriben con cierta ligereza, acaso Descartes mismo, en general me agobian un poco aquellos pensadores dogmáticos e idealistas que abogan por la idea de que la ciencia hable de la realidad misma, en sí, mientras tratan la inventiva, la imaginación y el suponer como mera literatura, como anticiencia, incluso la rebajan a mitología o superstición. 

Aunque me río más de los periodistas, esos payasos metafísicos, cuando sueltan a las gentes, siempre tan aleladas y cortas de luces: -Así son las cosas y así se las hemos contado. El periodismo ha sido durante décadas una fábrica de idiotizados. 

Y sí, ya he comentado más de una vez lo sosos que me parecen los pensadores analíticos, por ejemplo Russell o Wittgenstein. Seguramente sea injusto con ellos, pero me cuesta entrar en las películas que se montan y que bobamente llaman "realidad"; al menos cuando son jóvenes -Al crecer empiezan a darse ya cuenta de la farsa que alimentó su juventud y dudan ya de todo.

Sin embargo, aquí también prefiero escuchar a Poincaré cuando suelta: "creérselo todo o desconfiar de todo son dos posturas igual de cómodas, puesto que nos eximen de reflexionar."

Juicios sintéticos a priori y el pensamiento emergente. 

Los juicios sintéticos a priori son una de las grandes creaciones kantianas. La lectura de Hume había dejado al alemán muy preocupado: 

¿Van a ser nuestras queridas ciencias modernas un voluble e imaginativo castillo de hipótesis colgado en las nubes? -No, no puede ser- Se inquietó Kant -La ciencias deben construirse a partir de verdades firmes y sólidas como el granito, no de veleidades intelectuales hipotéticas, ya que las muy puras aspiran a mostrarnos la realidad desnuda y tal cual-

Para calmar sus inquietudes Kant supuso la existencia de un tipo de afirmaciones, o definiciones, sobre nuestras experiencias que nunca podían ser consideradas como hipótesis, dado que tenían que tomarse siempre, siempre, por verdades. ¿Por qué?  Porque al juzgarlas falsas entonces chocamos con una contradicción. Por consiguiente, tales definiciones tenían que tomarse siempre y necesariamente por ciertas al resultar absurdo tomarlas por falsas cuando las analizamos. 

Además, estas afirmaciones tendrían, para Kant, otra peculiaridad más: serían afirmaciones que nos hablarían de propiedades "emergentes" de las cosas. 

Me explico, estas afirmaciones no definen las cosas por sí mismas, ni por sus propiedades intrínsecas, esenciales y propias, como sí lo harían las definiciones analíticas, aceptadas incluso por el propio Hume, sino que nos cuentan las propiedades que las cosas muestran ante distintas situaciones, o  ante distintas operaciones, o distintas relaciones con otras cosas ¡Eh aquí, precisamente, la definición de propiedad emergente! 

Definiciones analíticas y definiciones emergentes:

Pongamos un ejemplo de afirmación analítica:  "2 es el numero 2". Con ella sabemos que 2 es el número 2 , dado que "ser un numero 2" es una propiedad intrínseca y esencial de 2 ¡Y viceversa! Bueno, más que saber, verificamos que el número 2 es 2. Pues, en el fondo, un razonamiento analítico no es más que una  forma de verificar. Así nos lo recuerda Poincaré.

En cualquier caso salta a la vista: estos juicios analíticos son harto redundantes y muy poco explicativos ¡Son puras tautologías! Y por eso mismo simplemente verifican; hecho que, sin embargo, conlleva una ventaja a nivel lógico: somos incapaces de juzgarlos falsos -y para una mente lógica ello significa que, entonces, son necesarios y en base a eso los tacha de verdaderos ¿Cómo no los va usar para verificar entonces? Pero en este razonar hay un montón de prejuicios implícitos. 

Sin embargo hay más; ya Kant parte de la idea básica de que si bien siempre podemos definir una cosa, o un sistema cualquiera de "cosas" , analíticamente, es decir por sí mismo y como una pura tautología o verificación para que nos entendamos, esta definición será muy poco explicativa. Sí, este tipo de definiciones siempre nos aportarán información muy limitada al contarnos muy poco del sistema ¿Por qué? 

Porqué sólo nos hablará del propio sistema exclusivamente ¿Y eso no es suficiente? Ya Kant se da cuenta de que un cosa es "mucho más" que ella misma por sí sola ¡También es todas las relaciones que puede mantener con otras cosas y que por tanto no dependen de ella misma! 

Por consiguiente, dado que resultaba imposible conocer estas propiedades emergentes mediante un proceso puramente analítico había que emplear un proceso que él llamó "sintético": consistía en estudiarlas in situ, dentro de cada contexto por así decirlo, a fin de sacar una afirmación capaz de explicar, no cómo son las cosas por sí mismas, sino cómo se mezclan, interaccionan y se comportan según las circunstancias.

Y llegado hasta aquí Kant hace algo más. Distingue las definiciones emergentes en dos tipos: 

a) Los juicios sintéticos a priori: afirmaciones que hablan de las propiedades emergentes que son necesarias que se den en una cosa o en un sistema de cosas ¿Por qué? Por que la afirmación contraria nos lleva a una contradicción impensable; con lo cual son ciertas por reducción al absurdo. . Un ejemplo sería la afirmación "2+3 = 5" o bien "en todo cambio físico la energía siempre se mantiene igual". Estas afirmaciones estructurarían propiamente las ciencias como principios regulativos al juzgarse verdades necesarias y universales ¡Al no poder ser jamás refutadas sin que nuestra mente implosione! 

b) Los juicios sintéticos a posteriori: afirmaciones que explican las propiedades emergentes que no son necesarias que se den en un sistema, o cosa, dado que éstas simplemente pueden o no darse ¡Sus afirmaciones contrarias no nos llevan a ninguna contradicción! De modo que también son posibles. Y en efecto, estamos ante afirmaciones típicamente inductivas; un ejemplo sería "las manzanas son verdes". Además, vale añadir, son la base a partir de la cual imaginamos y suponemos hipótesis. Por consiguiente, estas afirmaciones  puramente contingentes nunca pueden actuar como principios científicos al no ser jamás necesario que sean ciertas. 

Visto todo esto pienso que no son muchos quienes se han leído a Kant comprendiendo lo que nos preludiaba al inventarse el pensamiento emergente. Aunque fuera de forma rudimentaria y escolástica. Y Poincaré fue uno de ellos. 

Por un lado Kant se avanza 150 años a los trabajos de incompletitud de Gödel al poner de manifiesto que el hecho de definir un sistema de forma puramente analítica y verificativa siempre nos aportará una explicación muy pobre y escamoteada del propio sistema. 

Y luego, obviamente en base a eso, Kant se aventura con 200 años de antelación a señalar la existencia de propiedades emergentes en los sistemas, o en las cosas, o en los objetos... ponedle el nombre que queráis. Estamos, en cualquier caso, ante propiedades imposibles de ser explicadas mediante el puro análisis y como tales, inverificables. 

¿Cómo!¿Qué!!!! ¿Algo inverificable puede llegar a ser cierto? 

Kant dijo que sí sin despeinarse; hecho que hizo sonreír a Nietzsche con estas palabras en "Más allá del bien y el mal":  "que nosotros necesitemos tomar estas definiciones como ciertas para comprender no significa, para nada, que lo sean. Más bien con ello se demuestra todo lo contrario." Poincaré, sin haber conocido a Nietzsche, pensaba igual en el ámbito de la física, más no en el matemático. Al igual que Einstein.

Por consiguiente, el creador de la crítica de la razón pura se puso a defender el hecho que el conocimiento no sólo emplea definiciones redundantes y tautológicas, estrictamente verificativas, puesto que con ellas la ciencia no puede ir nada lejos al no ser capaces, éstas, de explicar las propiedades emergentes de las cosas. ¡La ciencia precisa de juicios sintéticos!

  -Estos juicios expanden nuestro conocimiento sobre las cosas- Apunta el mismo Kant al definir los juicios sintéticos. 

Nota: de hecho "fenómeno", término usado por Kant para hablar de las cosas, los sistemas u objetos percibidos, podría traducirse tranquilamente como "propiedad emergente" -ver etimologia de fenómeno. Kant rejuvenecería para nuestros oídos y no nos sonaría tan complicado e inaccesible; gran parte de la dificultad de su obra radica en su terminología, que da miedo a cualquier que se atreve a leerla.  

En resumen

Kant consideraba que las cosas tienen propiedades propias, esenciales e inherentes, que podemos definir analíticamente a través de una simple verificación, así "un soltero es un hombre que no esta casado" por ejemplo, o bien " "un triángulo es una figura con tres lados rectos", o en definitiva, "el número 2 es 2".

Pero las cosas también pueden tener propiedades emergentes, es decir según los contextos o su comportamiento: según las distintas interrelaciones y circunstancias que las afectan. Y estas propiedades deben, siempre, comprenderse de alguna manera para poder ser conocidas; por ejemplo imaginando, midiendo, reflexionando, operando u observando ¡Hay que especular! Pues resulta imposible deducirlas sin más de las propias cosas. 

¡Hay verdades que no son fruto de la verificación sino de la comprensión! 

 

¿Por qué suelto todo este rollo? 

Hume había logrado poner en serias dudas la inducción y con ella, se atrevió pegarle a las ciencias modernas a la cara ¡Fue uno de sus triunfos filosóficos! 

El británico pone al descubierto que observar un resultado repetidas veces para nada garantiza aventurar que siempre, siempre, se repetirá tal resultado: 

Veo una manzana verde, luego otra y otra y otra... y toda mi vida he visto las manzanas sólo verdes: ¿Implica eso que es necesario que todas las manzanas sean siempre verdes?

Su respuesta fue que no, que la inducción no es demostrativa de un orden, una ley y una necesidad en el mundo. 

Pero es que además Hume pensó que la ciencia moderna se basaba, básicamente, en afirmaciones inductivas de este tipo. Por ejemplo, que para saber si el movimiento de caída libre de un cuerpo depende de la masa había que realizar muchos experimentos y luego, según fueran los resultados, estos se generalizaban en uno de universal que se daba por cierto siempre ¡Hume se creyó el cuento de la manzana y Newton!

 

A partir de esta interpretación de como surgen las verdades científicas Hume puso sobre la mesa la idea que tanto inquietó a Kant, un  científico más que notable por cierto: que la ciencia se fundamenta sobre la inducción y por tal motivo podemos decir que no se construye sobre verdades, sino hipótesis y creencias.

Kant aceptó sin problemas la idea de que la inducción no demuestra la existencia de ningún orden necesario en el mundo, con lo cual jamás podría fundamentar las ciencias. Sin embargo, sorteó el dilema de Hume señalando que sólo los juicios sintéticos a posteriori obedecerían la inducción y por tanto, se emplearían para generar hipótesis y creencias preliminares que las ciencias SOLO usarían a modo de orientación, pero que jamás los tomarían como principios regulativos. 

"Los manzanas son verdes", como hemos visto sería un juicio sintético a posteriori que "tomaríamos" por cierto sólo si hubiéramos visto manzanas verdes a lo largo de nuestra vida ¡Lo juzgaríamos cierto por pura costumbre! Sin embargo, jamás  sabremos por la propia afirmación si ella es realmente cierta o no. Por tanto, argumenta Kant en favor de Hume: "las manzanas son verdes" jamás puede ser una verdad científica; en todo caso puede ser una hipótesis científica cuya finalidad será llevarnos a investigar si realmente las manzanas deben ser o no verdes.

Por tanto, enfatiza el alemán, estos juicios inductivos jamás dan cuerpo ni sentido a la ciencia, sino de forma muy preliminar, superficial y aparente ¡Sólo sirven para orientarnos! Y luego añadió: el error de Hume fue confundir los juicios sintéticos a priori (JSA) con estos juicios inductivos, cuando los JSA nunca son verdad por inducción, sino porque el defender lo contrario de lo que afirma el juicio resulta contradictorio y por tanto, imposible.

No decimos que 2+3=5 es siempre cierto porque siempre que hemos sumado 2+3 nos ha dado 5, sino porque afirmar otro resultado es absurdo y por tanto al sumar 2+3 siempre nos dará 5, dado que sólo es lógico que dé 5. 

Otro ejemplo, como ya expuse aquí: Galileo Galilei no demostró la caída libre de los cuerpos por inducción, tal y como te cuentan en cualquier canal de youtube diciendo: -El florentino se fue a la torre de Pisa y empezó a lanzar bolas de hierro de distinto peso y al observar que todas caían al unísono, fuera cual fuera su peso, demostró que Aristóteles estaba equivocado al respecto-. 

No, Galileo no demostró la caída libre por inducción, porque ya asumía que la inducción demostraba poco, por no decir nada, sino que empleó la pura especulación lógica: generó un escenario mental imaginario y comprobó con él que la postura de Aristóteles al respecto era contradictoria, pues nos lleva al absurdo, con lo cual entendió en seguida que esa postura no podía ser jamás cierta. De modo que lo coherente, factible y lógico es pensar lo contrario que defendía Aristóteles; a saber: que la caída libre jamás depende del peso (masa) de los cuerpos. Si ya luego Galileo realizó, en efecto, algún que otro experimento en su casa con planos inclinados y bolitas de hierro fue sólo para orientar su especulación al intentar comprender si el peso puede determinar o no la velocidad de caída libre de los cuerpos. 

Por tanto, "el peso no determina la velocidad de caída libre de un cuerpo" es una afirmación necesariamente cierta y se demuestra por especulación mental, no por inducción empírica. El experimento empírico sólo orienta, estructura y corrobora, pero jamás demuestra nada. 

Otro ejemplo más: Newton se sacó de la manga los principios de la dinámica clásica, e incluso la ley de gravitación universal al unir la ley de caída libre, el principio de fuerza y la ley de Kepler de los planetas en una misma ley mediante pura especulación mental y no por inducción, ni mucho menos por análisis o razón pura. Einstein, de hecho, siempre reconoció trabajar así: empleando la pura especulación mental. 

Los juicios sintéticos a priori son por tanto juicios especulativos. (ver etimologia de especular), con la peculiaridad de que siempre, siempre, debería ser posible contrastarlos.

Y otro tanto sucede con la ya vieja idea mecanicista de que "todo cambio tiene una causa", especialmente perjudicada por el ataque inductivista de Hume. Aquí permitidme extenderme un poquito por la importancia filosófica que se extrae de ello:  

"Todo cambio tiene una causa" Dice Kant mirando por el hombro a Hume, mientras nos explica que se trata de un juicio sintético a priori (JSA).  Por un lado no es una afirmación analítica porque al analizar la noción de "cambio", como ya hizo el propio Hume por ejemplo, allí no aparece de forma espontánea la noción de causa como una propiedad inherente y esencial del cambio ¡Podemos imaginar, como hizo  Hume, el cambio sin causa alguna, pero no podemos imaginarnos un soltero que esté casado ni tampoco un triángulo sin tres lados! Por consiguiente, estamos ante una afirmación que no es analítica: el concepto de cambio, por sí mismo, no implica el de causalidad, dado que se puede pensar sin él. Entonces, la causalidad es una propiedad emergente del cambio y no inherente. 

Entonces pasemos a distinguir: ¿Será la afirmación "todo cambio tiene una causa" inductiva y por tanto a posteriori?¿O será una afirmación necesariamente cierta y por ello a priori y especulativa? 

Como ya se ha dicho un JSA no puede analizarse por sí mismo, sino que hay que ponerlo en contexto y evaluar si al ponerlo en contexto, y negarlo, genera una contradicción y nos lleva al absurdo. Si al negar la afirmación nos vamos directos al absurdo, entonces es necesario que la afirmación nunca sea falsa ¡Hay que tomarla siempre como cierta pues! Pero si al negar la afirmación no llegamos a ningún absurdo, entonces estamos ante un juicio inductivo (sintético a posteriori) porque tanto la afirmación como su negación pueden ser ciertas o falsas según vete a saber qué circunstancias. 

Así pues, entendido todo esto, ¿qué ocurre cuando negamos la afirmación "todo cambio tiene una causa"? ¿Nos vamos acaso al absurdo? 

El primero en plantear esta posibilidad, insisto, fue Hume: demostró que podíamos imaginarnos un mundo sin causas, solo de cambios puros y nada más. ¿Pero cómo era este mundo? Era un mundo completamente contradictorio, irracional y por tanto: ¡Absurdo! 

CONCLUSIÓN: "ningún cambio tiene una causa" se demuestra una afirmación falsa por reducción al absurdo, con lo cual "todo cambio tiene una causa" debe ser, siempre, verdadera. 

Abro aquí un paréntesis: ya he comentado en otros post esta situación crucial para la filosofía desde sus orígenes; ella sola ha alimentado todas las metafísicas y antimetafísicas desde entonces. Pero por el momento no voy a comentar nada más.  

En resumidas cuentas: Kant vio que tenía barra libre para justificar la idea de que la ciencia no se eleva por encima de la humanidad a través de hipótesis e invenciones creíbles fruto de nuestras inducciones, sino a través de principios firmes, seguros y necesarios por pura especulación lógica: los juicios sintéticos a priori. 

Lo que luego se propuso hacer el alemán, durante las 800 páginas siguientes de su Critica de la razón pura, fue explicar con sumo detalle el cómo son posibles estos juicios sintéticos a priori. Es decir, intentó explicar cómo es posible que el mundo que vivimos y conocemos sea siempre lógicamente coherente, ordenado y comprensible 

¡Intentó explicar cómo la vida jamás podrá ser algo absurdo!

Poincaré y el principio especulativo:

A Poincaré se le atribuye una gran influencia de Kant. No sólo usa a veces su terminología, sino que también nos habla de razonamientos analíticos, o verificativos, de pensamientos inductivos (juicios sintéticos a posteriori) y de juicios especulativos (sintéticos a priori). Sin embargo encontramos diferencias, algunas pequeñas pero otras capitales.

Una de las diferencias importantes la encontramos al distinguir lo que entiende cada uno por afirmaciones analíticas, como "2 es un el número 2" o "un triángulo tiene 3 lados". 

Para Kant, hemos visto, se trata de afirmaciones que hablan del propio objeto, acaso de  2 o del triángulo. Y de algún modo Kant creía que estas definiciones ontológicas o constitutivas, por así decirlo, tenían valor de verdad por sí mismas al ser tautológicas y redundantes, autodemostrables por verificables. Son las famosas verdades formales. Con lo cual semejantes objetos realmente existirían por sí mismos.   

Poincaré concibe lo analítico de forma distinta, muy distinta: comprende que los objectos matemáticos se crean o constituyen a través de definiciones analíticas, como el "triángulo tiene 3 lados". Pero, ¿cómo surgen estas definiciones? ¿Son realmente necesarias, a priori, universales y por ello estrictamente formales como defendía Kant? 

Para el francés se trata de metáforas o ficciones creadas e impuestas por nosotros de forma conveniente a fin de que nos permitan pensar. De hecho señala como las ciencias, desde la matemática a la física teórica, han crecido creando objetos a partir de definiciones constitutivas impuestas a conveniencia. 

Es más, para el francés los objetos definidos mediante afirmaciones constitutivas no son muy importantes. Lo importante son las relaciones que podemos establecer entre ellos y otros objetos definidos. La ciencia, defenderá Poincaré, es el estudio de las relaciones y no de los objetos propiamente -¡Qué importa como son realmente los objetos!- Llega a decir. 

Así pues, lo importante son las relaciones que podemos o no podemos establecer entre objetos ¡Lo importante para la ciencia es el pensamiento especulativo y emergente! Por ejemplo, la afirmación "un triángulo tiene 3 lados" no demuestra qué es un triángulo ¡Sólo lo define! Se trata, pues, de una exigencia conveniente que nos permite construir un objeto matemático muy concreto que podemos identificar, y a través del cual se podrá hacer ciencia cuando se estudien sus relaciones, tanto propias como con otros objectos creados. 

En este sentido un razonamiento puramente analítico consiste en relacionar definiciones de objetos mediante el principio de identidad: estableciendo relaciones tautológicas. 

Por este motivo, a su entender, "5+1=6" se puede establecer tranquilamente como una definición constitutiva, al igual que "3+3=6" como otra definición; y a partir de ambas se verifica que 6=6 y 5+1=3+3 ha de ser cierto. Obtenemos, pues, dos verdades analíticas mediante relaciones tautológicas. Resumamoslo:

Axioma 1: "5+1=6"

Axioma 2: "3+3=6"

Entonces,

a) Se verifica que "6=6" y "5+1=3+3" por los axiomas 1 y 2.

-¿Es esto una demostración?- Se pregunta el francés. 

Su contestación es que no, que "6=6" y "5+1= 3+3" no son prueba de nada, simplemente se ha verificado que dos definiciones dadas son equivalentes entre sí, sinónimas, con lo cual se pueden intercambiar generando otras definiciones también equivalentes, puesto que a fin de cuentas todas están definiendo un mismo objeto. Poco más.

En efecto, verificar es relacionar definiciones equivalentes, iguales, tautológicas ¡Deducibles! Y sí, podemos definir un mismo objeto de formas distintas, y al relacionarlas entre si obtenemos otras definiciones que también hablan del propio objeto. ¿Hemos aprendido algo nuevo del objeto haciendo este juego? No mucho, dado que nuestro razonamiento sólo da vueltas alrededor de las definiciones de partida; es un "lo comido por lo servido".

Con motivo a semejante forma de demostrar Poincaré la considera un razonamiento típicamente analítico, que como en Kant, nunca marchará más allá de lo definido previamente, mientras se dedicará a dar vueltas siempre sobre lo mismo de una forma u otra. De modo que el francés añade: una demostración es algo más que una mera verificación. Por eso defiende que para demostrar hay que tirar de "juicios sintéticos a priori", hay que expandir nuestras definiciones iniciales, es decir nuestro conocimiento previo:

 ¡Nos urge especular para demostrar!  

Una de las cosas fascinantes del libro "ciencia e hipótesis", y recuerdo que se escribió en 1905 aproximadamente, radica en el hecho que después de algunas definiciones constructivas iniciales y un razonamiento analítico preliminar Poincaré termina aplicando un razonamiento especulativo, llamado "por recurrencia", para demostrar todas las verdades de la aritmética. No se gasta más de tres páginas.

A bote pronto choca leer semejante demostración, dado que en 1931 Gödel puso de manifiesto con sus archiconocidos teoremas de incompletitud que ha había verdades aritméticas que no se podían demostrar. Pero sólo choca a primera vista lo demostrado por Poincaré, porque esta demostración de Gödel surge al partir de un razonamiento esencialmente analítico, llamado "finitista". Veamos brevemente de qué iba:

Hilbert, precisamente en 1931, propuso desarrollar un sistema de demostración finitista capaz de poder demostrar todas las verdades de la aritmética, curiosamente para solucionar una ya larga discusión entre matemáticos surgida a raíz de los infinitos de Cantor. Sí, mi amigo Cantor. 

Pero, ¿qué es un sistema de demostración finitista? Bueno, según Hilbert consiste en elaborar un conjunto de definiciones constitutivas, llamadas axiomas, capaces de ser relacionadas tautológicamente con definiciones aritméticas tipo "6=1+5". Lo crucial de este sistema de verificación, pero, residía en una exigencia capital: tenía que respetar 5 principios, el primero del cual dictaba que el sistema de demostración se fundamentara sobre axiomas consistentes entre sí, es decir que no entraran en contradicción. Sin embargo vamos a destacar el segundo:

2. La validez de cualquier demostración basada en esos axiomas debía ser verificable algorítmicamente en una cantidad finita de pasos.

¿Y qué significa una exigencia tan rara como esa? 

Quizás se merecería un post propio, sin embargo vamos a comentarlo rápido: este principio exige no emplear ningún tipo de razonamiento especulativo para "demostrar" verdades matemáticas, como sí hizo Poincaré por ejemplo ¿Por qué? Porqué el pensamiento especulativo empleado en demostraciones había generado profundas y agrias controversias entre distintos matemáticos desde los trabajos de Cantor, pues con él se termina intentando demostrar verdades sobre objetos incontrastables, es decir, sobre lo infinito. Y sí, volvemos de nuevo a Kant. 

Porque, si recordamos, es Kant quien reconoce por primera vez tamaña controversia: los juicios sintéticos a priori, irremediablemente, nos llevan a afirmar cosas sobre lo absoluto y lo infinito ¡Y esto es hacer metafísica! 

Por tanto, vemos como el pensamiento especulativo nos lleva hacia afirmaciones incontrastables, porque inevitablemente a nuestra experiencia le resulta imposible volar hasta llegar tan lejos. 

Hilbert, no obstante, creía que, si bien las verdades al infinito no serían contrastables, al menos podrían ser verificables. Obviamente, menospreció lo que Kant había afirmado en la dialéctica transcendental con sus antinomias y paralogismos; a saber: que en el infinito no sólo no habría nada contrastable, sino tampoco verificable.  

¿Por qué Hilbert creía eso? Porque pensaba que si se podía verificar todo lo finito o contrastable, entonces, se verificaba de inmediato lo infinito e incontrastable. En consecuencia, andaba convencido de que el razonamiento analítico era capaz de demostrarlo todo y alcanzar lo que los idealistas llamaron: lo absoluto -En realidad hay mucho Hegel tras todo esto.

Fue Gödel quien le rompió el sueño idealista a Hilbert en 1931; en el mismo simposio donde expuso su programa. Pero tardó un tiempo en darse cuenta que tenía que despertar. 

¿Qué hizo Gödel?

Con sumo ingenio Gödel diseñó un sistema axiomático a partir de la lógica proposicional de primer grado con el que, a través de una compleja función "tautológica" (numeración de Gödel), se pretendía poder verificar automáticamente todas las verdades de la aritmética ¡Y el sistema petó! 

Con ello se constató que hay definiciones aritméticas que no se pueden relacionar tautológicamente con definiciones de la lógica proposicional de primer grado ¡No son equivalentes! De aquí la famosa observación que se sacó de ello: hay verdades de la aritmética que no se pueden verificar.  

En realidad, ¿qué sucedió allí? Gödel descubrió que hay afirmaciones de la aritmética que no se pueden traducir de ningún modo a la lógica proposicional. De alguna manera es como tomar dos idiomas, un diccionario, junto con las reglas sintácticas y gramaticales, y darse cuenta que hay expresiones en un idioma que al traducirlas al otro se generan graves malentendidos ¡O que hay expresiones simplemente intraducibles porque el idioma que traduce es más pobre en ese aspecto! Y vale decir que Wittgenstein fue de los que mejor entendió todo esto después de renunciar a su Tractatus (un tratado radicalmente finitista) y reflexionar un poco en sus "investigaciones". 

No hay que darle muchas más vueltas al enorme ingenio de Gödel y a la inquietud metafísica de Hilbert; ese complicado sistema de demostraciones matemáticas que se buscaba no era más que un sistema de traducción automático capaz de verificar si lo que era verdad en un lenguaje (la aritmética) se correspondía biyectivamente con otra verdad en otro lenguaje (la lógica proposicional), con lo cual el sistema fuera capaz de traducir todas las verdades de la aritmética a todas las verdades de la lógica proposicional, porque después de los trabajos de Frege, Russell, Wittgenstein y muchos otros se sabía que la lógica proposicional es un sistema de definiciones completo, coherente y como tal, tautológico ¡Un lenguaje completamente analítico! Por consiguiente, si esta traducción hubiera sido posible entonces se hubiera verificado que la aritmética también lo era; pero al no poderse verificar, entonces... ¿En realidad se demostró algo sobre la aritmética propiamente dicha con el trabajo de Gödel?

Entendido todo esto no es de extrañar que uno de los primeros en sacarle jugo al hecho de que el peculiar sistema de verificación de Gödel petara fuera Alan Turing para atacar con éxito el problema de la parada en las computadoras. A fin de cuentas, se trata de un problema estrictamente finitista, estrictamente analítico, de aplicar e igualar definiciones, puesto que el pensamiento máquina no puede dejar de ser eso mismo: un complejo sistema algorítmico atado a la mera verificación y a la nula comprensión. Pero, ¿y el pensamiento humano?   

Revisión al pensamiento especulativo de Poincaré

Poincaré defiende que el pensamiento especulativo, que llama "por recurrencia", es el razonamiento fundamental del matemático. Lo llama el auténtico juicio sintético a priori porque, siendo breves, nos permite generalizar: pasar de lo finito a la infinito, de lo particular a lo universal ¡Nos permite establecer una ley y un orden generales válidos para todos los infinitos casos posibles! 

Ciertamente el pensamiento analítico no nos permite pasar de lo particular a lo general ¡No nos permite generalizar! Toda verificación es, siempre, particular ¡Se realiza sobre lo concreto! "Esto es igual a esto", eh aquí una verificación ¡No hay más! Aunque luego esta simplicidad se pueda hacer harto compleja, nunca marcha de ahí. 

Por tanto, Poincaré llama "afirmaciones por recurrencia" a aquellas definiciones que son tan generales que contienen infinitos casos posibles. De hecho contienen todos los casos posibles sintetizados en una única definición. Veamos un ejemplo con la aritmética:

Poincaré escribe que tomando la siguiente definición "a+1=1+a" hay que demostrar que es cierta para cualquier valor natural de "a" . Para ello, dice el francés, podemos empezar verificando la definición a demostrar mediante otra definición más, a saber,  "a=1", dado que entonces se puede verificar que "1+1=1+1". Al verificarla mediante esta segunda definición, entonces se pasa a verificar con otra tercera, a saber, "a=1+1", dado que con ella se verifica que: "1+1+1=1+1+1". Y luego con una cuarta "a=1+1+1", dado que con ella se verifica que "1+1+1+1=1+1+1+1". Y así se seguiría de forma indefinida. 

En resumen, tenemos que para verificar que "a+1=1+a" es cierta para todos los valores naturales de "a" se precisan infinitas definiciones de "a", es decir, se precisan infinitos axiomas; puesto que cada una de estas definiciones actúan, de hecho, como axiomas. Veámoslo:

Axioma 1:  "a+1=1+a"

Axioma 2: "a=1"

Axioma 3: "a=1+1"

...

Entonces:

1) Se verifica que 1+1=1+1 por los axiomas 1 y 2

2) Se verifica que 1+1+1=1+1+1 por los axiomas 1 y 3

etc.

Obsérvese, pues, como cada una de estas verificaciones es un proceso estrictamente analítico, con lo cual resulta imposible demostrar la primera definición para todo "a" como valor natural y con ello, convertirla en un teorema por este método; se requeriría verificarla a través de todas las definiciones de "a" posibles ¡Y son infinitas! Tarea analíticamente imposible.

Ante esta imposibilidad Poincaré adopta sin manías el razonamiento por recurrencia: Se coge el primer caso, es decir la que fue la segunda definición, "a=1", y con ella se verifica que 1+1=1+1 ¡Y luego se especula sin miedo! ¿Cómo? Nos imaginamos un caso hipotético cualquiera, es decir, definimos un caso general: "a = n", siendo "n= 1+1...+1 (n veces 1)". Y entonces sólo tenemos que verificar que si la definición "a+1=1+a" se verifica para "a=n", entonces también se verificará para a=n+1. 

Evidentemente se verifica que "n+1=1+n", y que con ello entre manos, junto con la primera verificación ya realizada antes, también se verifica que "n+1+1=1+n+1. 

Bajo este resultado de inmediato se ha demostrado que "a+1=1+a" es siempre cierto para cualquier caso posible, con lo cual la definición pasa a considerarse un teorema aritmético muy famoso: el principio conmutativo de la suma. 

Vemos, pues, que para generar un razonamiento por recurrencia es preciso imaginarse un caso hipotético general,  es decir, un caso que si bien no existe propiamente representa a nivel imaginativo cualquier caso concreto que, en efecto, sí puede existir.  Con razón estamos ante un razonamiento especulativo: "n" no es ningún valor concreto para "a"; de hecho, no existe propiamente como valor natural, pero representa imaginariamente cualquier de los valores naturales concretos que puede adquirir "a". Es más, incluso podemos pensar que "n" representa a cada uno de todo los valores naturales posibles de "a".

En efecto, la magia de la recurrencia es que en un valor concreto abstracto e imaginario se sintetizan los infinitos valores concretos posibles ¡No hace falta ir verificando valor a valor! Tarea imposible de todos modos. Con motivo, insisto de nuevo, Poincaré lo llama juicio sintético a priori, y afirma que nos permite ir de lo particular a lo general, de lo finito a lo infinito. Hecho que lo tiene prohibido el razonamiento analítico. 

Pero Hilbert pensó que esta prohibición sería, no un handicap como habían intuido ya Kant o el mismo Poincaré, sino una ventaja para las matemáticas, porque los saltos de la razón especulativa dieron pie a multitud de disputas entre los matemáticos y Hilbert pensó que se podrían superar prohibiéndolos, es decir, limitando las demostraciones a procedimientos verificativos.   

Y en efecto, la razón especulativa nos permite volar tan alto que nos vemos capaces de tratar lo infinito: aquello que no podemos ni verificar ni contrastar. Y no podemos verificarlo porque no se regula a través de los principios de la lógica, como el de identidad y el de no contradicción. Y no podemos contrastarlo porque sólo podemos contrastar aspectos concretos, medibles, operables, etc. 

Entonces, eh aquí el dilema matemático que turbaba a Hilbert y a tantos otros: la especulación nos permite tratar con lo infinito e incontrastable y conversar con él; Leibniz, Euler, Riemmann, Ramanujan lo hicieron constantemente. De hecho, el trato personal que tenía Ramanujan con el infinito era de escándalo público: ¡Va y te muestra sin casi despeinarse como 1+2+3+4+... = -1/12! Y encima funciona dadas ciertas circunstancias. 

Eh aquí el dilema: ¿cómo demostramos lo que decimos sobre lo infinito si no podemos ni verificarlo ni contrastarlo? Todo queda colgado ahí, en las nubes etéreas del pensamiento especulativo como eternas hipótesis inverificables, incontrastables... Es una locura.

De hecho, cuando nos vamos al infinito nos encontramos que, como si de un milagro se tratara, surge sin más pura magia. -¿Será eso posible?- Nos preguntamos atónitos ante tamaño espectáculo. 

Por ejemplo, la noción de velocidad. A efectos finitistas sólo debería de existir la velocidad promedio: recorro una distancia precisa durante un tiempo concreto y la velocidad que obtengo es el promedio ¡Siempre! Por más pequeño que haga el recorrido y más corto el tiempo de medida siempre, siempre, estaré tratando con un recorrido y un tiempo concretos y por ende, con un promedio. No obstante, un promedio igual será una verdad empírica, pero ni mucho menos nos cuenta la realidad, sino más bien nos muestra una ilusión contable; como la vieja historia del pollo: una persona se come un pollo y otra se no come nada; conclusión: cada una se ha comido medio pollo en promedio. Así mismo es, pues, la velocidad empírica: una ilusión estadística. Sin embargo cuando llevamos el tiempo al límite de pequeño, a lo infinitamente pequeño por decirlo de forma ruda y casi bárbara, surge la mágia: desaparece la ilusión de promedio y aparece la ilusión de instantáneo ¡Podemos ya calcular velocidades instantáneas! 

Al infinito las matemáticas suelen cambiar al completo. De aquí las grandes controversias entre los matemáticos: a unos les fascinan estos cambios radicales e inesperados y lo ven como "un aventurarse hacia nuevos mundos"; Euler fue un gran ejemplo de ello. Otros lo ven como una violación intolerable a las matemáticas, mientras quieren permanecer amarrados a esas ilusiones que se pueden contrastar y verificar, mientras la llaman, con toda la ilusión del mundo : -lo real-  

Un ejemplo de este cambio mágico lo encontramos con la misma aritmética a partir del principio de identidad:

Axioma 1: 0 = 0

Axioma 2: 0 = 1-1

Axioma 3: 0 = (1-1)+(1-1)

Axioma 4: 0 = (1-1)+(1-1)+(1-1)

... hasta el Axioma infinito

Entonces:

1) Se verifica que: 1-1= (1-1)+(1-1)=0  por los axiomas 2 y 3 

2) Se verifica que: (1-1)+(1-1) = (1-1)+(1-1)+(1-1)=0 por los axiomas 3 y 4 

Y si seguimos así hasta el infinito obtenemos un resultado completamente sorprendente:

(1-1) + (1-1) + ... = / (1-1)+ (1-1) + ... 

En efecto, al infinito no podemos establecer esta relación de identidad tan alegremente. Los rígidos  y duros principios de la lógica se vuelven resbaladizos y volubles como el aceite al contactar con el poder de lo infinito. 

 Hace tiempo que se sabe como esta serie, llamada de Grandi, puede dar por resultado 0 o 1 según empecemos a contar.

Pero es que, además, si operamos un poco algebraicamente con esta serie de Grandi obtenemos un resultado aún más misterioso:

Axioma 1.1: S = (1-1)+(1-1)+... , siendo S el supuesto resultado de la serie infinita de Grandi.

Axioma 1.2: 1-S = 1-[(1-1)+(1-1)+...] 

Axioma 1.3: (1-1)+(1-1)+... = 1-[(1-1)+(1-1)+...] 

Entonces:

a) S = S    por el axioma 1.1 

b) 1-S = S por los axiomas 1.1, 1.2 y 1.3

Luego se aplica las normas del algebra y obtenemos que:

1= S+S

1=2S

1/2 = S

Por tanto 1-1+1-1+1-1+....=1/2

Magia: para cualquier número natural "n" tenemos que "n=n" y con ello "(n - n) =0". Es decir, todos los infinitos números naturales cuando se restan a sí mismos dan cero. Jamás hay variación en este resultado. Siempre que lo probemos lo comprobaremos sin errar ¡Por más inimaginablemente grande que sea el número natural a comprobar! Porque otra cosa es violar salvajemente el principio de identidad. Y sin embargo, cuando "dejemos atrás" la finitud de los infinitos naturales encontramos que, de repente, el principio de identidad se desmorona y que "lo infinitamente grande" no tiene porque ser idéntico a sí mismo, dado que puede, tranquilamente, no cancelarse a sí mismo. 

Ciertamente, ante semejante resultado lo primero es desconfiar de él. Pero sorprende descubrir como funciona la mar de bien para resolver energías de punto cero del vacío cuántico por ejemplo. ¿Hay que desecharlo y tacharlo de pura locura humana entonces? 

Conclusión

Se descubre la posibilidad de que las demostraciones especulativas por recurrencia, que intentan verificar los infinitos casos finitos posibles, se desmoronen al llevarlas al infinito. Y de tal desmoronamiento aparezcan resultados insospechados imposibles de verificar ni de contrastar, al menos tal y como se conciben las matemáticas y las ciencias hasta el momento. 

Ello ha llevado a no pocos matemáticos a colocarse en distintas posiciones al respecto:

a) Algunos, sin miedo alguno, se adentraron hacia este mundo de lo infinito e inverificable fascinados por sus espejismos, sus verdades intuitivas e ilógicas, por su salvajismo comprensivo. 

b) Otros, de talante radicalmente positivista, renegaron completamente de él, por metafísico, mientras consideraban con toda la ilusión de mundo que sólo podía ser real lo medido, promediado, testado y verificado.

c) Otros, como Hilbert y Cantor por ejemplo, intentaron buscar un punto medio, por así decirlo ¡Buscaron mediar entre posturas matemáticas tan radicales! Su intención era, por un lado, mantener el pensamiento especulativo de lo infinito, pero después considerar que allí no podía suceder mucha magia, sino que lo infinito tenía que mantener, siempre, la coherencia con el plano finito: lo que sucedía para cada uno de los infinitos casos finitos posibles tenía que suceder igual también para lo infinito, que sólo era un caso ideal. Estamos, pues, ante un regreso al razonamiento de Zenón de Elea, seguidor acérrimo de Parménides, el primer analítico radical: se negaba el movimiento porque sólo se permitía concebir la velocidad como un promedio entre distancia y tiempo ¡Se prohibía que nos marcháramos de ahí a vuelo de la especulación! Por tanto, se entendía que al infinito la velocidad seguía siendo un promedio, un promedio ideal, pero promedio ¡Y con ello se negaba que jamás pudiera surgir el milagro de lo instantáneo! De modo que se zanjaba el tema diciendo: -Veis, el movimiento es una ilusión porqué no es más que promedio.   

Sin embargo, pienso, si Cantor tiene razón, ¿acaso todas las matemáticas basadas en los límites no estarían equivocadas? ¿La noción de límite matemático no va contra la idea de múltiplos infinitos de Cantor?  

Evidentemente sí, pero quizás no estemos ante una cuestión de tener o no razón, sino de inclinaciones. Y vale reconocer que apostar por una inclinación u otra te lleva hacia un mundo matemático u otro. Cada cual decide; aunque las decisiones conllevan consecuencias capitales, es decir, unos desarrollos u otros, unos destinos matemáticos u otros.

En fin, las matemáticas están muy lejos de ser ciencias objetivas, impersonales y realistas.