Infinito actual y la caprichosa esencia aleatoria de la aritmética

Estos últimos años he escrito bastante sobre la idea de infinito. No es una idea fácil, dado que admite diferentes interpretaciones, tal y como he intentado mostrar. 

En general, mi tendencia ha sido centrarme en lo que desde Platón se llama infinito en potencia. Se trata de la idea de un "crecer tanto como se quiera" o "empequeñecerse tanto como se quiera". Es una idea de iteración o movimiento sin fin. Y con razón Platón consideró que era una representación intuitiva del tiempo, en tanto que "una imagen movida de la eternidad", mediante la cual se genera la noción de número (ver el Timeo). 

También Kant se limitó a admitir, sólo, el infinito en potencia presentándolo como una estricta representación temporal (una intuición pura del tiempo) sobre la cual, por ejemplo, se construye la aritmética. El infinito en acto era algo, a su entender, propio de "la cosa en sí" y por ello inaccesible para nosotros. 

Con el idealismo germánico, pero, esto cambió. Del mismo modo que se empezó a creer que hacer metafísica era, no sólo posible sino exigible, se consideró que se podía y debía emplear el infinito en acto. Basta con recordar a Hegel, que lo usa ya sin miedo y a despecho de Schopenhauer, y los más kantianos, cuando presenta su concepto de Absoluto, o de Totalidad, como el desplegamiento de TODAS las infinitas posibilidades. 

Dedekind, entre los matemáticos, fue el primero que tanteó la posibilidad de aplicar la idea de "infinito en acto" en el tratamiento de los irracionales. Pero Cantor se tiró a ello de cabeza al construir la teoría de conjuntos.

El primer uso sólido del infinito en acto fue, pues, con la creación de conjuntos infinitos. Por ejemplo, al definir la existencia "del conjunto de TODOS los números naturales". 

La idea de Cantor fue tratar la secuencia de números naturales, que no termina nunca y por tanto resulta indefinida, no como una iteración sin límite, sino como un objeto bien definido sobre el cual establecer relaciones lógicas con otros objetos, así la comparación por ejemplo, y las cuales nos permiten determinar la identidad de ese conjunto como objeto respecto a otro.

La comparación nos permite identificar un conjunto como mayor, menor o igual a otro. 

Esto permitió considerar el infinito como una cantidad y no una iteración sin fin; una magnitud que define a cierta propiedad de un objeto o entidad. Así, por ejemplo, el  tamaño del conjunto de todos los naturales quedaba definido como "infinito" al carecer de número último. Ello significaba que era de un tamaño mayor a cualquier valor natural posible. Una idea que me negaba a admitir por contradictoria:

 -¿Cómo lo infinito puede ser una "magnitud definida" cuando literalmente significa "iterar indefinidamente"?- Me chocaba. 

En efecto, reconozco que me costó entender esta "redefinición" porque, en concreto, parece llevarnos a la siguiente paradoja, precursora a la famosa paradoja de Russell: dado que el conjunto de los naturales está formado, exclusivamente, por números naturales y cada uno de ellos, precisamente, sirve para contar los elementos del conjunto, si bien es cierto que no hay ningún número natural último y definitivo que determine el tamaño del conjunto de los naturales, tampoco podemos afirmar, sin más, que el conjunto de los naturales sea mayor que todos los naturales, puesto que sólo puede contener naturales. Por consiguiente, tal conjunto no puede ser mayor que cuanto contiene.  

Así pues, si decimos "el tamaño del conjunto de los naturales es infinito" y el infinito lo consideramos como de un tamaño mayor a cualquier natural posible, eso nos lleva a dicha paradoja y, por consiguiente, a no poder defender la existencia del conjunto de TODOS los naturales. 

Y así mismo lo criticó duramente Kronecker, un feroz kantiano: las secuencias de infinitos elementos no pueden considerarse objetos o entidades matemáticas (conjuntos) porque no están definidas. De hecho, llegó incluso a impedir que Cantor publicara sus primeros trabajos al respecto.  Pero décadas más tarde Hilbert salió al paso, y zanjó definitivamente toda crítica con estas palabras: "Nadie será capaz de expulsarnos del paraíso que ha creado Cantor para nosotros".

¿Cómo Cantor resolvió la primera paradoja de la teoría de conjuntos?

El razonamiento que generó estas primeras y duras controversias durante la formación de la teoría de conjuntos deja de ser absurdo si pensamos que el tamaño del conjunto de TODOS los naturales ya no sea infinito, sin más, sino, precisamente, "el de todos los naturales". Este matiz es harto sutil y difícil de discernir, pero importante, pues sortea esta primera paradoja.

Por tanto, no es que el tamaño del conjunto de todos los naturales sea infinito, sino que en teoría de conjuntos el tamaño de todos los naturales pasa a ser "el de todos los números naturales". ¡Se está empleando la idea de infinito en acto para definir el conjunto de los naturales y su tamaño! 

Con tan delicada sutileza intelectual, a Cantor le resultó factible definir la secuencia de "todos los números naturales" como una entidad propia bien definida y, por tanto, con un tamaño o valor. A tal valor Cantor lo llamó Aleph 0.

Tenemos, por tanto, que Aleph 0 es, por pura definición, un número que nos indica "el tamaño de todos los naturales" ¡No hay que darle más vueltas! Y cualquier conjunto cuyos elementos puedan emparejarse, o compararse, "uno a uno" con todos los naturales, enumerándose secuencialmente en una lista indefinida, tendrá por tamaño Aleph 0. ¿Y qué tamaño es ese? Pues, por pura definición, el "de todos los naturales" 

¡Ese conjunto de elementos será tan grande como el de los naturales!

En efecto, aquí no podemos decir mucho más. Pero tal simpleza en la definición nos permita crear un nuevo tipo de números, o valores, con que determinar magnitudes sumamente abstractas, quizás impensables por carecer de contenido empírico alguno -como decía Kant por ejemplo. No era de extrañar, de hecho, que Cantor tuviera durante décadas a todos los matemáticos intuicionistas (seguidores del kantismo) en contra. 

No obstante, con Cantor el infinito se convierte, bajo la magia del "poder de definir cosas",  en algo lógico, determinado y en tal sentido contable: como una magnitud que nos permite medir, comparar objetos (conjuntos), establecer relaciones, etc ¡Y esto es completamente nuevo!: 

El infinito se vuelve algo terrenal, mundano, estructurado ¡Algo de lo que podemos hablar!  

Por tanto, gracias a este artilugio lingúístico-matemático de Cantor se hizo posible contar los elementos de conjuntos infinitos mediante listas interminables. Con ello se determinó, por ejemplo, que el conjunto de los primos tiene el mismo tamaño que el de los naturales, Aleph 0, al igual que el conjunto de los pares o los impares ¡O el conjunto de los números algebraicos! 

Sin embargo, esto no termina aquí. Ya más tarde, el mismo Cantor, mediante su famoso argumento de la diagonalización, probó que resulta imposible hacer una lista con todos los números reales. Es decir, que no es posible emparejar uno a uno todos los naturales con todos los reales, enumerándolos: 

nos resulta imposible hacer una lista ordenada y secuencial donde tomemos un primer número real, luego un segundo número real, un tercer número real y así indefinidamente hasta listar todos los números reales posibles. Conclusión, Aleph 0 queda "pequeño" para contar los reales. 

Visto esto cabe empezar a sospechar que al hablar de Aleph 0 como el tamaño de un conjunto quizás no sea del todo correcto. Es decir, cabe interpretar que, en el fondo, aquí no estamos tratando realmente con tamaños, sino más bien con "tipos de orden" que expresan, por así decirlo, los elementos de un conjunto infinito, pues, no es tanto que el conjunto de los reales sea más grande que el de los naturales, sino más bien que el conjunto de los reales es de un orden más complejo que el de los naturales, con lo cual resulta imposible ordenar en una lista numérica a todos los reales, pues, siempre habrá reales que se nos escaparán de una lista tal. 

Dicho de otra manera, del mismo modo que en física el calor y el frío no existen, ni tampoco existe la temperatura, dado que ésta no és más que la energía cinética de las partes de un sistema físico, quizás en matemáticas (al menos bajo los axiomas ZFC), no exista tampoco "el tamaño" al ser, simplemente, una manifestación del tipo de ordenamiento que muestran los elementos de un conjunto. 

En efecto, demostrar la imposibilidad de enumerar en una lista Aleph 0 a todos los números reales sabe impactante, sobre todo cuando pensamos en términos de tamaño por las inocentes connotaciones empíricas que éste tiene, de ordinario, para nosotros: ¿Cómo puede haber algo más grande que Aleph 0, si Alpeh 0 indica una número ilimitado e interminable de elementos? ¿Cómo puede haber algo más grande que lo que no tiene fin?

Sin embargo, esta paradoja se resuelve cuando interpretamos Alehp 0, ya no como un tamaño propiamente dicho, y por tanto mediante nuestros prejuicios empíricos más rudimentarios, sino como un "tipo de ordenamiento de los elementos de un conjunto", y por consiguiente, como una medida de la complejidad interna de un conjunto. 

Y si, entonces, lo interpretamos así podemos entender que el nivel de complejidad interna de un conjunto marca su grado de aleatoriedad, según la definición de complejidad de Kolmogorov-Chaitin: a mayor complejidad interna mayor será su comportamiento aleatorio y por tanto, la imposibilidad de ordenarlo de forma natural.  

Entonces, podemos aventurarnos a sospechar que cuanto mayor sea la complejidad que presenta el ordenamiento de los elementos de un conjunto más "aleatoria e impredeciblemente" se comporta dicha distribución para con respecto a un ordenamiento natural (Aleph 0): resulta imposible preestablecer un algoritmo, una función o una acción (una operación) que relacione de forma concreta todo natural con todo elemento de ese conjunto. ¿Acaso no fue eso lo que descubrió Chaitín?

Azar como fundamento de la aritmética

El hecho de que sea imposible hacer una lista ordenada de todos los números reales implica que resulta imposible poder definir o identificar de forma concreta, precisa y secuencial a todos y cada uno de los reales. Hecho que nos lleva a una conclusión algo inquietante:

Veamos, en el post del otro día ya comenté (Ver el post) que a mi entender cabría interpretar que todo número no es más que el resultado de una operación bien definida, y que hay operaciones bien definidas que son irresolubles o irracionales, con lo cual nunca nos darán ningún número o valor, aunque de ordinario identifiquemos esa operación con un número por nuestros prejuicios metafísicos. Por ejemplo, raíz de 2 es una operación bien definida pero irresoluble: no nos da ningún valor, de modo que sólo podemos emplear otras operaciones resolubles que nos den valores "aproximados" a raíz de 2. 

La cuestión es, por consiguiente, que el conjunto de todas las operaciones bien definidas se puede enumerar en una lista de tamaño Aleph 0, sean éstas resolubles o no lo sean; con lo cual estamos ante un conjunto que tiene la misma complejidad, o grado de orden, que los naturales. Entonces, visto así, aparece de inmediato algo impactante cuando recordamos que el conjunto de los reales no es listable:

Es necesario que hayan otras operaciones distintas a las bien definidas, sean o no sean resolubles, y deben de ser operaciones mucho más complejas; tan complejas que no se pueden definir matemáticamente. ¿De qué tipo de operación estamos hablando? 

Parece ser que hablamos de operaciones empíricamente aleatorias (incomputables), acaso como la que usó Chaitin para definir su propio número, el número de Chaitín, el cual sería una operación capaz de darnos por resultado "la probabilidad de que un programa informático elegido al azar detenga correctamente una máquina de Turing". Y en efecto, no es posible definir matemáticamente tal operación. 

Un mundo hecho sólo de dígitos

Otra forma de visualizar lo dicho es mediante la construcción de números usando dígitos, ya sean en base decimal o binaria. 

1/2 lo podemos expresar en base decimal como 0,5

1/4 lo podemos expresar en base decimal como 0,25

5/2 lo podemos expresar en base decimal como 2,5

De modo que podemos representar la solución de cualquier operación de partición mediante cadenas de números, con una parte entera y otra decimal. 

Ello llevó a apreciar como las operaciones resolubles dan cadenas de un número finito de decimales, en cambio las operaciones irresolubles daban cadenas con Aleph 0 dígitos. Por ejemplo:

Pi = 3,14159265....

1/3=0,333333....

Esto nos llevó a tratar las operaciones empleando cadenas de dígitos, es decir, a entender que cada operación nos da una cadena de dígitos. Si esta operación está bien definida la cadena será finita, y si no está bien definida la cadena será infinita y su tamaño, por tanto, será Aleph 0.  

Pero como, a su vez, podemos traducir mediante diferentes procedimientos toda operación (llamada algoritmo) a una cadena de dígitos, entonces podemos comparar la cadena de dígitos que representa el algoritmo con la cadena de dígitos que genera ese algoritmo. Y en base a esta idea podemos establecer la medida de la complejidad (irracionalidad) de una operación:

Una operación es más compleja en la medida que su cadena de dígitos sea de un tamaño similar a la cadena de dígitos que genera. Y el colmo de la complejidad, pues, se alcanzaría cuando la cadena de dígitos que representa una operación es igual de larga que la cadena de dígitos que genera esa operación. En tal caso podemos decir que estamos ante un algoritmo que no está definido y es aleatorio. 

Esto nos lleva a entender que hay cadenas de dígitos generadas por operaciones indefinidas, es decir, son generadas por por el puro azar. Son cadenas que no siguen ningún razón o estructura lógica. Se dan sin razón alguna que se pueda comprender. Y lo más curioso, es que la inmensa mayoría de cadenas numéricas posibles carecen de fundamento racional ¡No hay operación alguna bien definida para generarlas! 

Ciertamente, esto nos abre al dilema fundamental de la filosofía de los últimos 500 años, que dejaré para otro día. Por el momento, sólo añadir que el poder representar las operaciones mediante cadenas de dígitos dio alas a crear nuestro fascinante mundo digital actual.

Digital vs analógico: calcular no es más que energía y tiempo.

Todas estas definiciones y "juegos matemáticos" han sido la base de la computación contemporánea, la cual, poco a poco, se fue centrando exclusivamente en un mundo digital, abandonando lo analógico, hasta el punto que son muchos los que consideran que la existencia misma es, en esencia, puramente digital.

El mundo digital se basa en reducirlo todo a listas numerables. En otras palabras, lo digital sólo puede operar con lo que, valga la redundanción, implique una operación bien definida y, además, tenga solución. Con motivo no se puede trabajar con números irracionales, sino que para tratarlos debe emplear operaciones resolubles "aproximadas". 

Cabe destacar que el mundo digital es la forma más precisa de tratar el mundo de los números, por eso durante décadas se apostó por la digitalización de toda la información, a fin de tener un gran control sobre ella. Sin embargo, esta gran precisión implica un gran gasto de tiempo y energía para resolver las operaciones en la medida que aumenta su complejidad, es decir, su tamaño. Mientras que las operaciones irresolubles son substituidas por aproximaciones mucho más simples, y lo imposible de definir mediante una operación por su aleatoriedad deviene intratable (un ordenador es incapaz de dar listas de valores aleatorios).

Sin embargo, a raíz del bum de las AI renace de nuevo la necesidad, en ciertos campos computacionales, de volver a lo analógico por su gran capacidad de aproximarse de forma sumamente eficiente y rápida hacia operaciones irresolubles. Lo analógico pierde precisión, pero gasta mucha menos energía y tiempo para realizar operaciones en la medida que su tamaño aumenta.