El valor de las cosas. El dogmatismo en la aritmética

No sólo creemos que existen entidades y cosas medio escondidas en el devenir, sino que éstas poseen un valor u otro. En tal sentido, consideramos con gran inocencia que existen cosas buenas y siempre deseables, mientras otras las tachamos de malas, tóxicas y perjudiciales; juzgamos ciertas cosas de caras o difíciles de obtener, mientras otras de fáciles y poco valor; o que algunas son útiles e imprescindibles, mientras otras completamente caprichosas y fútiles; incluso que algunas son grandes y evidentes como el sol, mientras otras imperceptibles como una mota de polvo perdida en medio del inhóspito vacío sideral; o bien, que algunas son firmes, ciertas e inquebrantables, mientras otras frágiles, confusas e inciertas. 

El ser humano es incapaz de escapar del extraño y fascinante mundo de las valoraciones, los juicios, las consideraciones, las ponderaciones, las evaluaciones. Con motivo ha creído, durante milenios, que las cosas, de por sí, tienen un valor propio y objetivo, el cual puede o no coincidir con el valor que nosotros les otorgamos según nuestras consideraciones y circunstancias. Según nuestro gusto y punto de vista. A esta creencia se la ha llamado "dogmatismo". Y está muy apegada como prejuicio ancestral nuestro.

Kant fue el primero en intentar luchar contra "el dogmatismo". Al menos es el primer pensador moderno en reconocer que las cosas, en realidad, no tienen valor y si lo tuviesen sería incognoscible e inaccesible para nosotros. Para el alemán toda valoración y juicio humano sobre las cosas es subjetivo, y como tal aparente e hipotético. Por ello critica que se use nuestro juicio sobre las cosas como criterio de moralidad, dado que la ética se limitaría a meros imperativos hipotéticos, mientras promueve que nuestras decisiones, y acciones, se aparten de todo valor y juicio humano sobre las cosas. Pero preferir y desear eso ya es una valoración del propio Kant, a despecho de lo que que pretendía Kant. Una valoración, a mi juicio, bastante desafortunada además.

En cualquier caso, después de Kant los idealistas alemanes intentaron defender la existencia de un método o un criterio a partir del cual podamos hacer valoraciones y juicios objetivos y esenciales de las cosas. Esta forma de idealismo tuvo una especial influencia sobre Marx, por ejemplo, según el cual "el valor del trabajo" sería completamente objetivo e intrínseco del propio trabajo, y éste no siempre terminaría coincidiendo con el precio que al final obtiene el trabajador según lo pautado por el mercado de trabajo. 

Sobre esta idea de "valor trabajo" Marx formuló su crucial concepto de "plusvalua", y sobre él la tesis de que el capitalismo siempre intenta "robar" a los trabajadores parte del valor de su trabajo a fin de reinvertir y hacer crecer el propio capital. En efecto, Marx construyó toda su cosmovisión comunista sobre la creencia en valores objetivos, intrínsecos e "inhumano" de las cosas. Un motivo más para identificar su pensamiento como metafísico. 

Pero más allá de la economía y la política, donde los espejismos y las fantasmagorías de las valoraciones  y los juicios humanos campan a sus anchas, me gustaría señalar como éstas también afectan a las matemáticas; las supuestas ciencias más objetivas e imparciales. De hecho, me gustaría esparcir un poco de nihilismo y desconfianza para con ciertos juicios y valores matemáticos.

De las matemáticas

Toda la matemática se fundamenta en una cuestión de valorar y poco más. La matemática es un constante ejercicio de juzgar, valorar y medir las cosas. La noción de número, sobre la cual se erige todo el edificio, surge de la necesidad de contar. Y contar es un medir y evaluar. Un jucio. 

Para valorar algo es necesario partir de alguna referencia, una base sobre la cual comparar. En matemáticas a tal referencia se le llama "unidad". Contar, pues, es la operación de poner las cosas en relación a esta unidad o referencia. 

Por otro lado cabe señalar como el concepto de unidad no es empírico o sensible. Es decir, no hay nada empírico que determine qué es una unidad, o qué debe ser la unidad de algo. La noción de unidad tiene sentido por sí misma. Ya luego podemos identificarla arbitrariamente con cuanto queramos a nivel empírico.

En el mundo de los números la unidad fundamental es el 1. Y, como se ha dicho, a nivel empírico 1 no tiene ningún sentido, con lo cual le podemos atribuir el que queramos según qué queramos contar, valorar o medir. Por ejemplo, si queremos contar o medir lo que cuesta un coche, entonces la unidad de dinero la establecemos nosotros, acaso dando el precio del coche en euros, dolares, pesos argentinos, etc. Y en caso de darlo en euros, entonces establecemos cosas así: "1€= x barras de pan en tal tienda que siempre voy" o bien "1€=x minutos de mi trabajo actual", etc.  A partir de estas equivalencias va tomando peso y valor un coche, es decir, toma sentido para nosotros lo que vale un coche. 

Por tanto, la unidad, como concepto abstracto y artificial nuestro, no toma sentido realmente por sus aplicaciones empíricas. Es el, en cambio, el artífice de dar sentido y valor al mundo. Pero no le da sentido porque tenga, supuestamente, un valor y un sentido propio y metafísico, cómo fantaseaban Pitágoras o Platón por ejemplo, sino porque la unidad es "el resultado" de una serie de operaciones mentales fundamentales para que nosotros podamos pensar y comprender las cosas.

Estas operaciones fundamentales son la adición (sumar) y la substracción (restar). Pero sobre ellas se pueden desarrollar muchas otras de más complejas, como multiplicar y dividir, la potenciación (y hacer raíces), el logaritmo, la diferenciación e integración, etc. De hecho, todo el cálculo se puede reducir, básicamente, a sumas y restas.   

Por tanto, la unidad toma sentido a partir de estas operaciones. Hecho es que los axiomas de la aritmética, como los de Peano por ejemplo, se fundamentan en la existencia de la adición como premisa. La otra premisa es que existe la unidad, que se puede definir como la entidad necesaria sobre la cual se puede aplicar una adición o substracción.

Cabe señalar que estas 2 premisas (la existencia de adición/substracción es un solo axioma) no son ni ciertas ni falsas, simplemente son las mínimas exigencias necesarias para que tome cuerpo y sentido la aritmética habitual que usamos como constructo cognitivo. Nada más. De hecho, se pueden aplicar o introducir otros axiomas diferentes para generar aritméticas especiales, como la modular o la lunar. 

Visto esto cabe entender que de ordinario contar es una operación que a partir de la unidad y la adición nos permite obtener otros valores:

1+1=2

2+1=3

etc.

Cada uno de estos valores que obtenemos en las diferentes operaciones se llaman "números". Insisto, estos valores o números no hacen referencia a nada empírico ni físico, simplemente expresan una operación definida, principalmente, mediante dos axiomas. Nada más.

El problema es cuando tenemos una operación aritmética que no tiene solución por ser irresoluble. Por ejemplo, dividimos 1 entre 7 (tomando base decimal). Esta operación irá iterando, dando restos de forma indefinida. ¿Tiene realmente un valor y una solución esta operación? ¿Es 1/7 un número en base decimal?

Otro de los ejemplos de este dilema es la operación x^2-2=0, que nos lleva a raíz de 2. ¿Raíz de 2 tiene solución, tiene un valor, es un número?

Hoy en día, después de los trabajos de Cauchy y Dedekind, tenemos sumamente asumido que raíz de 2, o Pi, son números que están más allá de los racionales: al límite en el infinito entre dos tendencias de racionales. De modo que afirmar que no son números sino operaciones sin solución o sin un valor chocará.

Una de las argumentaciones que se puede esgrimir contra lo que se plantea aquí es que si dibujamos un cuadrado de lado unidad (1), entonces, la diagonal mide, exactamente, raíz de 2. O si dibujamos una circunferencia de diámetro una unidad (1), entonces el perímetro mide, exactamente, Pi. O si tomamos una pizza perfecta y la dividimos en 7 partes entonces, cada parte mide 1/7 de la pizza. 

Vemos claramente como aquí habla de nuevo nuestro viejo dogmatismo; esa vieja y ñoña fe en que las cosas tienen un valor y una medida intrínseca y objetiva. En vez de entender que el valor dado es un reflejo de las operaciones que aplicamos en base a ciertos axiomas asumidos, de modo que ello no implica, necesariamente, afirmar que, por ejemplo, la diagonal de un cuadrado de lado la unidad tenga valor alguno. De hecho, a la diagonal de tal cuadrado podríamos atribuirle el valor de unidad, con lo cual el valor de los lados pasa a ser, entonces, 1/2. 

En otras palabras, el hecho de que se pueda dibujar una figura no significa que esa figura tenga unas medidas propias. Las medidas y los valores de la figura son un atuendo moldeable y sólo siguen la lógica de las propias operaciones que las definen.

Una de las importantes características de las operaciones aritméticas es que una operación se puede transformar en otra. Operaciones con solución pueden transformarse en operaciones sin solución, y viceversa. O una operación se puede transformar en otra de equivalente. Por ejemplo: 3+5=1+7 son dos operaciones resolubles equivalentes. Su solución es 8. 

Conlusión

Por tanto, si entendemos que los números y valores, como creaciones nuestras, sólo son los resultados o las resoluciones de ciertas operaciones definidas mediante ciertos axiomas, entonces cabe entender que hay operaciones irresolubles, es decir, operaciones incapaces de dar un valor o un número. Pi y raíz de 2 serían, por consiguiente, parte de este tipo de operaciones sin un valor propio.   

Y vale añadir que la consideración de que los números son la resolución de operaciones, y que si una operación es irresoluble entonces no da ningún número o valor, tiene ciertas implicaciones curiosas.