Bertrand Russell es considerado uno de los grandes filósofos del s.XX, al menos uno de los paradigmas de la filosofía analítica y que tantos adeptos tiene aún entre académicos. A mí me parece un pensador, si bien harto inteligente, algo soso.
Una de sus grandes obras, "principia mathematica", escrita junto a Whitehead a principios del s.XX, creó una revoltosa expectación entre los lógicomatemáticos de la época, con Hilbert en cabeza. Mientras tanto Poincaré, una inteligencia mil veces más interesante y creativa, alucinaba en colores cuando escuchaba a esos lógicomatemáticos entusiasmarse y tomar en serio tamaño libro.
Con el "principia mathematica", entre otras cosas, se pretendía demostrar los fundamentos lógicos de la matemática, es decir, como lenguaje, como relato... como forma de pensar. Y para ello resultaba imprescindible demostrar antes de nada que 1+1 = 2
360 páginas precisaron Russell y Whitehead, junto con 52 teoremas y todos sus axiomas, para demostrar que 1+1 = 2 es una afirmación cierta.
Hoy, qué cosas, se me ha ocurrida una demostración sencilla y para pasar el rato:
Axioma 1 (principio identidad):
a) Siendo x un número natural cualquiera, entonces la definición x = x debe aceptarse siempre, dado que lo contrario, x =/ x, resulta contradictorio y por ello inaceptable.
b) Dado el número natural xa y el número natural xb, la relación entre ambos sólo puede ser una, y sólo una, de los siguientes 3 tipos:
2. xa<xb , entonces xa es un número menor que xb. De modo que se puede definir la siguiente relación xb - xa > 0
3. xa>xb , entonces xa es un número mayor que xb. De modo que se puede definir la siguiente relación xa- xb > 0
c) Dado el número natural xa y el número natural xb, llamamos suma a la relación xa + xb = xc, siendo xc un número natural. Esta relación cumple que:
1. xc > xa, xb , excepto cuando xa y/o xb = 0 =xc - xc
2. xc - xa = xb
3. xc - xb = xa
d) Dado el número natural xa, entonces por el principio de no contradicción tenemos que:
xa + Xa = xa = 0 = xa - xa
Premisa: 1+1 = 2 (que 1+1 como número natural no es ni mayor ni menor que 2).
Entonces tenemos que:
siendo xa =1 y xb = 1, obtenemos que 1=1 y por ello 1-1 = 0 [axioma 1.b1]
1+1 > 1 [Axioma 1.c1]
1+1= xc [Axioma 1.c1]
xc -1 = 1
(xc -1) + (xc -1) = 1+1
(xc + 1) = 1+1+1 [Axioma 1.c1]
Existe un número natural xd tal que:
xd =1+1+1
xc+1 = xd
1 = xd - xc y por tanto xd >xc >1, es decir: xd =1+ xc =1+1+1
A xd lo podemos llamar 3 y a xc 2, entonces:
1+1 = 2 = 2 =1+1. [Axioma 1.a]
1+1=1+1 = 2=2
Entonces, tomamos 2=2 y deducimos que 2-2=0 por el axioma 1.b1, y con éste mismo derivamos que:
2 - 2 =(1+1) - (1+1) = 0 = xn- xm, siendo xn y xm un mismo número natural cualquiera. [axioma 1.b1]
Conclusión:
a partir de 1+1=2 se constata que (1+1) - 2 = xn-xm = 0 siendo xn y xm un mismo número natural cualquiera. Con ello se construye sin más toda la aritmética de sumas y restas de los números naturales.
