Verdades objetivas y "el arte de tratar a la mujeres"

 Si Siddharta se creó su verdad, llamada Nirvana, a partir de su dolor y compasión hacia todo cuanto sufre  los pensadores modernos se crearon su verdad, llamada mundo físico-mecánico, a partir de un peculiar y salvaje deseo por someter sus experiencias corporales a través de la inteligencia más objetiva y racional. (post sobre Siddharta) 

La comprensión del mundo físico/sensual, del mundo del cambio, el movimiento y la transformación, es un reflejo de la voluntad de conquista intelectual del hombre.

El científico moderno lanza su telaraña de la razón especulativa sobre el salvaje torrente del devenir perceptivo y con ello lo atrapa, lo controla y termina exhibiéndolo como un trofeo y una victoria ¡Eh ahí el fenómeno en sí!  

Así nace el "hecho" como escenario mental mediante el cual comprender lo experimentado y vivido. Eh ahí por ejemplo, el fenómeno de caída libre, o la ley de los gases ideales, o los tratados sobre el funcionamiento fisiológico del cuerpo humano ¡O los trastornos psicológicos! O las dinámicas sociales.

Mi poco respeto por Wittgenstein, por ejemplo, responde en gran medida a que lo primero que leí de suyo fue el "Tractatus" y éste empieza con una afirmación que a mi saber, mil veces más sensual que el suyo, me suena a una mentira tan flagrante y evidente que no pude ya tomarme nada más en serio de ese libro. Fue una inmensa decepción. Y empieza afirmando más o menos lo siguiente: "El mundo es el conjunto de todos los hechos que se dan".

Nota: nada nos gusta más que hablar de aquello que no se puede hablar, y hacer aquello que no se puede hacer.  

Comprender el mundo, la vida, la realidad como un conjunto de hechos sólo es posible en un estado cognitivo relativamente desarrollado. De modo que esta forma de visualizar y vivir la vida resulta harto artificial: fruto de un metabolismo cognitivo bastante complejo y tardío. 

Sin embargo, aquí Wittgenstein nos presentaba los "hechos" como si fueran entidades metafísicas, con sentido intrínseco, que esperan ser descubiertos a través de la pura inteligencia (el análisis lógico-matemático) para mostrarnos cómo es la realidad. Sin embargo mis prejuicios son harto distintos:

Entiendo que los "hechos" son más bien una creación, una ilusión, una interpretación, en síntesis, una manipulación cognitiva. ¿Qué quiero decir?

Características de todo hecho: siempre se da en un momento (tiempo) y en algún lugar (espacio).

Las dos características fundamentales de los "hechos" (el espacio y el tiempo) jamás son reales, no son  propiedades inhumanas, ni preexisten, ni son esenciales de la vida y de cuanto sucede ¡No las "descubrimos" experimentando y viviendo! Más bien, las creamos al imaginar, figurar y representar lo experimentado. En efecto, quizás haya que atinar un poco nuestra mirada aquí para darse cuenta como dichos conceptos sólo existen entre humanos y viviendo en sociedad. ¿No se ve? En fin, cuando escucho a gente discutir sobre la supuesta esencia del espacio y el tiempo paso de página y voy a otra cosa.

El Tiempo: hemos impuesto estructuras completamente artificiales llamadas "calendarios" imaginando regularidades y repeticiones perfectas, por simples, que nos permiten, mediante contraste y comparación, pautar y ordenar lo experimentado de alguna manera. En este sentido cabe entender los calendarios, y por consiguiente la noción de tiempo, como una creación completamente inventada por "la sociedad humana" de forma absolutamente artificial, ilusoria y en tal sentido falsa a fin de establecer, mediante suposiciones, promedios y aproximaciones, ciertas regularidades y ciertos patrones cronológicos en lo experimentado.  

Inventamos un patrón temporal lo suficientemente simple como para comprenderlo, y lo más simple es lo regular, repetitivo y modular, capaz de ajustarse más o menos a cuanto experimentamos; lo llamamos "calendario" o "reloj" ¡Ahora ya podemos comprender lo experimentado como "algo que sigue" un orden temporal! Pues gracias a nuestro patron temporal imaginado nos vemos capaces de simular que lo vivido sigue un supuesto orden, unas medidas o proporciones, e inferir de ahí una hipotética ley o regularidad ¡Incluso un significado y un valor! Y si cambiamos el patrón bajo alguna necesidad o conveniencia, si cambiamos nuestra regla de medir, entonces cambiamos nuestra comprensión cronológica de lo experimentado ¡Nuestra idea del tiempo cambia! Porque comprender "el concepto de tiempo" sólo consiste en reconocer en lo experimentado nuestros propios patrones y esquemas inventados, y por tanto previamente asumidos. 

Crear nuevos conceptos, esquemas, patrones, simplificaciones, generalizaciones, metáforas, nos permite expandir nuestra capacidad de reconocer, y por tanto, de comprender lo experimentado. Las matemáticas y la poesía son herramientas especialmente útiles para ello.

Sí, menuda ilusión el tiempo... Quien haya vivido no sometido a calendarios, relojes, marcas en la pared, etc habrá experimentado en sus propias carnes una vida no temporal, alertando sin muchos problemas cuán artificial y sociabilizadora sabe en el fondo tamaña idea. Una mente sometida a las convenciones sociales, en cambio, le resultará harto complicado concebir la vida sin someterse a la noción de tiempo y sin tratarla como una realidad intrínseca del mundo. La noción de tiempo, es pues, como la noción de culpa: un artificio comprensivo. 

El espacio: ¡De qué forma más arbitraria y caprichosa determinamos las figuras, formas y las limitaciones de cuánto percibimos! Imaginamos, aquí también, figuras simples que nuestra mente puede controlar y manipular con relativa facilidad, acaso una línea recta, un círculo, un triángulo o un cuadrado; y lo imponemos a lo experimentado mediante aproximaciones lo suficientemente generosas. Luego va y con toda nuestra sinvergüenza afirmamos, sin sonrojarnos, que las cosas son, realmente, círculos o triángulos más o menos imperfectos en la medida que encajan en nuestras simplificaciones abstractas ¡Se semejan a nuestro antojo a nuestros modelos artificiales e imaginarios! Entonces, terminamos colgándole un nombre y ya lo hemos identificado como una "cosa" con identidad propia ¡Lo hemos bautizado y ya pasa a ser algo que existiría por sí mismo!  Menudo pastel nos hemos cocido ahí. 

En efecto, pensamos en líneas rectas, puntos, esferas, cuadrados y otras delimitaciones espaciales, no porque sean realidades en sí, puras y eternas, que preexisten como nos quería contar Platón, sino perqué son figuras lo suficientemente simples para poderlas gestionar mentalmente y a través de ellas, elaborar algún tipo de comprensión eficiente de lo experimentado ¡Siempre tan confuso! 

Comprender es imaginarnos las cosas de forma mucho más simple, superficial y fácil de lo que en realidad experimentamos. 

¡Cómo! ¿Acaso la ciencia consiste en convertir, mediante la inteligencia, lo selvático en un dorado jardín  por el cual pasear alegres y orgullosos reconociendo nuestros dominios?

Toda inteligencia superior se caracteriza, visto así, por ser capaz de convertir lo grotesco y complicado en algo mucho más simple y fácil, claro y evidente mediante su arte: sus instrumentos de simplificación, medida y comprensión; así Miguel Ángel logró sacar el David de un trozo de mármol que durante décadas había sido abandonado en la cantera por intratable ¿Acaso el David estaba durmiendo en la grotesca piedra desde que ésta se formó esperando ser descubierta? Hay que ser muy platónico para pregonar semejante idea. 

En efecto, si no puedo pensar, por ejemplo, en nada más simple que un "punto" es porque soy incapaz de inventarme nada más simple. Cuando alguien se "lo saque de la chistera" entonces lo usaremos y nuestra comprensión del mundo de seguro cambiará de raíz; y a lomos de tal invención diremos: ahora ya conocemos mucho mejor la realidad mientras los antiguos vivían en mitos y teorías muy rudimentarias de las cosas. 

Qué poco honestos somos y con qué avidez nos autoengañamos. Si fuéramos sinceros admitiríamos que no podemos marchar de nuestras simplonas ficciones, nuestras creaciones oníricas y nuestros esquemas imaginarios -ideales y perfectos por simples ¡Vivimos en medio de escenarios mentales! Eh aquí, precisamente, lo que convirtió al homo en sapiens-sapiens: su capacidad de invención, de imaginación, de engaño y manipulación, bajo el dominio de la cual empezó a ser capaz de figurarse una idea de lo vivido. Y la más grande y brutal mentira ha sido defender ciegamente que la realidad nos es accesible mediante nuestras invenciones y convenciones; nuestros esquemas geométricos y cronológicos; nuestra comprensión y sus formas perfectas y artificiales, por simples.

Comprendiendo sólo humanizamos "la realidad": la moldeamos, disfrazamos y simplificamos para hacerla apta para nuestras capacidades de reconocimiento y cognición.

Si durante milenios, por ejemplo, se ha creído en Dios imponiéndolo por doquier a hierro es porque nos ha resultado una ficción mental relativamente simple de entender, usar y emplear para comprender cuanto vivíamos: era relativamente fácil, seductora y cómoda hacerla funcionar al intentar desarrollar una visión de la vida. Y si somos ateos, no es porque hayamos descubierto que la idea de Dios sea falsa, una gran mentira y por amor a la pura verdad rehusemos tajantemente tratar con mentiras como esgrimía Russell por ejemplo, sino porque somos capaces de crear ideas o escenarios mucho más potentes, explicativos y complejos sobre los cuales elaborar una comprensión de cuanto vivimos. 

En fin, vemos cuan superficial, falso y manipulado, aunque sumamente efectivo, resulta ser el mundo que nos muestra la comprensión fáctica: el universo que nos enseñan nuestras ciencias en su escaparate de las ideas. 

Esa verdad objetiva vestida de hechos generales se nos aparece, vista así pues, como una mentira basada en el simplificar e interpretar, manipular, esquematizar y domesticar lo vivido a fin de tratarlo y gestionarlo de forma controlada y ordenada, con significado y valor, dado que por sí mismo nos sabe siempre muy salvaje y confuso ¡Demasiado crudo! 

Vemos la ciencia como una forma de civilizar la vida, del mismo modo que los romanos romanizaban a los bárbaros: no hay nada de verdad pura y dura ahí, sino de necesidad de controlar, ordenar, comprender, asimilar e integrar, de poner en común bajo una misma ley y por tanto, sólo vemos puras ansias de dominar.

Schopenhauer fue un devoto de las ciencias modernas; de sus verdades objetivas y sus razonamientos especulativos, hipotéticos y generalizadores. Consideraba que era la forma racional y comprensible a través de la cual la Nada, la pura Voluntad, la verdad inefable, eterna e inhumana, se podía manifestar, hacerse visible y tomar forma inteligible entre los seres humanos. En este sentido, destinó varias obras famosas a tractar ciertos temas de forma "objetiva": apelando a hechos generales. 

Una de estas obras curiosas y singulares es su famoso "el arte de tratar a las mujeres". Allí se habla de la mujer como una idea general. Es decir, no se habla de Ana o Sofía o de María, ni de ti, lectora, que me lees, sino de las "mujeres" como una abstracción ficticia inventada al generalizar ciertas experiencias y observaciones realizadas sobre un montón de situaciones ¡"las mujeres" es un muñeco de paja!

¿Hasta qué punto esta obra es o no efectiva a la hora de tratar a "las mujeres"? Aquí no estoy hablando de si es cierta o falsa, de si es machista o si es fruto del diablo y el pecado original que carcomía a Schopenhauer. Cuando el genio de Frankfurt nos dice: 

"Cuanto más noble y perfecta es una cosa, tanto más tarde y más lentamente llega su madurez. Difícilmente el varón alcanza la madurez de la razón y de sus fuerzas intelectuales antes de los veintiocho años; la mujer, por el contrario, ya la alcanza a los dieciocho; pero, justamente por ello, su razón es muy limitada. Por tal motivo se quedan niñas toda la vida, tan solo ven lo que les queda más cerca, viven apegadas al presente, confunden la apariencia de las cosas con la sustancia y prefieren las tonterías a los asuntos más importantes."

¿Hasta qué medida esta afirmación, completamente especulativa y general, cuadra con más y más observaciones y experiencias sobre multitud de mujeres distintas en circunstancias variadas? Es más, en caso de que cuadrara bastante bien con una infinidad de experiencias al respecto y por tanto tuviéramos un manual bastante eficaz, ¿acaso tal infinidad de experiencias se podrían hacer cuadrar, también, a través de otro tipo de especulaciones diferentes que nos dieran una visión de "las mujeres" distinta?

Parece ser que esto siempre es posible. Parece ser que raramente un conjunto de múltiples experiencias cuadran con una única afirmación especulativa: no hay una única interpretación de las cosas. Me explico, ante un montón de experiencias sobre las mujeres éstas siempre pueden ser simplificadas, ajustadas y aproximadas mediante distintas afirmaciones especulativas ¿Y cuál de las múltiples interpretaciones posibles escoger? Eh aquí otro de los grandes dilemas epistemológicos.

Podemos considerar que hombres y mujeres son iguales y por tanto hay que tratar a quienes se etiqueten como hombres y mujeres siempre por igual. Se escoge esta idea simplista, harto fácil de gestionar para cualquiera que tenga dos neuronas y se impone a mano de hierro, castigando y sometiendo a quien se salga de esta exigencia general. ¿Y por qué se ha escogido esta afirmación especulativa y no otra? Aquí, seguramente, por intereses políticos, ideológicos, económicos, etc. ¿Es efectiva? La efectividad de una generalización, si entramos un poco más al fondo de la cuestión, parece ser harto manipulable. De hecho, no pocas veces se da el caso que una generalización contradice descarada y constantemente muchísimos aspectos de lo vivido y sin embargo resultar sumamente efectiva para quienes la imponen sobre los demás, tal y como expone de forma brillante Orson Wells en "1984". 

La cuestión, en cualquier caso, es que  jamás estamos ante verdades, sino interpretaciones; que no hay una única interpretación para cuanto experimentamos y vivimos, sino que el proceso de selección e imposición de interpretaciones es, siempre, algo complejo, confuso, manipulado, interesado ¡Y muchas veces es un proceso velado para usar la unanimidad como ilusión de veracidad! 

¿Cuántas veces se usa el "consensum sapientum" como estrategia para dotar de veracidad a una elección arbitraria y hecha a dedo?

Otro ejemplo de la multiplicidad de interpretaciones la tenemos con Nietzsche cuando compara el hombre y la mujer de forma distinta a Schopenhauer en ese pasaje llamado "de las viejas y de las jóvenes"; cuando dice, en resumen, que el mejor de los hombres, en el fondo, nunca deja de ser un niño grande al que le gusta el juego y el peligro, y precisamente por eso desea a la mujer: el más peligroso de los juegos y a la vez, el más cálido de los reconfortes. 

En definitiva, ¿existe la verdad? ¿Acaso alcanzamos alguna verdad cuando nos ponemos a interpretar, esquematizar y a comprender cuanto vivimos, cuanto leemos y sufrimos, con nuestros prejuicios simplones y generalizadores? Sin duda nos creamos una, como se la crearon Buda o Schopenhauer mismo.

Llegados aquí volvemos a chistar irónicos y despreocupados: -La verdad no existe- Mientras ella se nos vuelve a enfadar y piensa -¿Por qué el muy sinvergüenza suelta esas tonterías delante de mí? ¿Por qué hace como si no me viera mientras anda todo el día de cháchara con mi mejor amiga, la Ciencia? Ah... ¡Le odio!

  

 

El síndrome de Buda y el peligro de la cultura.

 La compasión, que en griego llaman empatía, es esa capacidad humana de imaginarnos y recrearnos lo que supuestamente sienten los demás. En concreto, es un "compartir el sufrimiento". 

Este compartir nos despierta la ilusión de ser iguales y con ello de comprender lo que otros están viviendo. Pero insisto, no es más que una ilusión mental sobre la cual se ha estructurado una ética harto antigua, seductora y quizás, también, peligrosa: la de una liberación. 

Hablamos de una ética que, de raíz, criminaliza el sufrimiento y quisiera exterminarlo de la vida. Incluso llega a juzgar y valorar el sufrimiento como algo contrario a vivir.

Era joven, tenía unos 15 o 16 años, cuando me contaron la historia de Siddharta Gautama; pero me quedó marcada a fuego. Hablamos de un antiquísimo príncipe cuyo padre quiso que viviera una vida de mimos, privilegios y cuidados tales que, en un futuro, hicieran del niño un gobernante feliz y dichoso.

El rey, deseando la plena felicidad de su hijo heredero, dictaminó que el niño creciese en un palacio bellísimo, lleno de riquezas, música, jardines y juegos; que las gentes que le rodearan fueran siempre lozanas, bellas y jóvenes. Que no conociese jamás a nadie enfermo ni pobre ni triste o enfadado ni viejo. Que la palabra "muerte" fuera prohibida y las preocupaciones sancionadas. 

Creciendo entre algodones, perfumes y sonrisas perennes el chico empezó a plantearse cosas que no le encajaban, y sobre todo, sentía como el palacio se le quedaba pequeño; esos dorados muros se le estrechaban. Su perspicacia y curiosidad le llevó a preguntarse: -¿Qué habrá allí fuera?-

Un día, confesando tamañas inquietudes a su mentor, éste le razonó: -Siddharta, no te preocupes por lo que haya allí fuera. Eres especial y éste es tu mundo, entre canciones alegres y bailarinas, un mundo de risas perennes y agradables fragancias. Allí fuera sencillamente encontrarás fealdad, tristeza, preocupaciones y dolor- Con lo que le contestó el muchacho:

-¿fealdad, tristeza, preocupaciones y dolor? ¿Qué es eso maestro?-

-Nada, Siddharta, nada. Mejor cantemos y bailemos...-

Y así transcurrieron los días, y meses. Hasta que un día paseando por uno de los grandes jardines exteriores del palacio, al borde del muro, el joven príncipe encontró una pequeña portezuela. La tanteó con un suave golpe y se abrió. Introdujo su bien peinada cabeza y sólo vio oscuridad, silencio; olía a hueco. Adelantó su desnudo y delicado pie y una fría sensación húmeda le estremeció; lo había hundido en un charco de barro. 

Este primer escalofrío lo paralizó unos instantes, pero también despertó su curiosidad y atientas prosiguió caminando a través de ese resbaladizo lodo. Fueron sólo unos segundos, pues no tardó en vislumbrar una tenue luz al fondo. 

De repente el sol, cuyos rayos cayeron a plomo sobre sus ojos, le cegó. Se cubrió con el brazo al instante, y mientras daba un paso más para salir del muro... -¡Ay!- Exclamó lastimado.  

El filo de una piedra que sobresalía agreste en el suelo le había herido un dedo del pie. La sangre salpicó y empañó el barro que recubría sus pies. Nunca antes había sangrado ¿Cómo no iba a gozar de una piel suave y delicada? 

El joven empezó a cojear; extraña sensación la que le invadió: una presión interior zozobrándole la cabeza le llevó a emitir por instinto otro lamento más a fin de descargarla; pero los pinchazos persistían. Se sentó mientras sus manos acariciaban sus pies, y se tambaleaba aquejumbrado. 

-¿De qué te quejas como una niña?- Oyó de repente el chico. Una figura grotesca, cojitranca, encorvada se había detenido a unos metros mirándolo con expresión rara. El chico no supo qué contestarle, pero le señaló el pie. La figura se acercó y el príncipe se sobresaltó; se había asustado por primera vez en la vida.

-Va, esto es un cortecito de nada; no perderás el pie como yo perdí la mano- Soltó con cara de desprecio, mientras le mostraba el destrozo que tenía por brazo escondido entre harapos. Luego se giró para su carrito de madera de donde sacó un cuenco lleno de un líquido algo denso y mugriento. Lo escarchó sobre la herida del aquejado, mientras la sangre y el barro se disolvían oscureciendo todo el pie.  

Una extraña sensación removió el estómago del chico ante el fuerte hedor que desprendía el manco harapiento y el sucio baño al que le sometía. Sí, una desagradable e inédita sensación de "no querer ver a ese ser y marcharse de allí" le sobrepuso de golpe. Se levantó, le agradeció el cuidado por cortesía, mas no por convicción, y se dispuso a marcharse de allí.

Después de cojear durante unos minutos bordeando el largo muro de palacio encontró otras dos figuras, también grotescas, junto a un niño pequeño rodeado de moscas. Esas gentes ni reían ni bailaban, sino que murmuraban palabras ininteligibles en un tono grave y bajo; las dirigían al niño, que recostado en un montículo de troncos estaba como dormido ¡ Y le prendieron fuego!

Al príncipe se le heló el aliento -¡Qué hacéis!- Chilló horrorizado con toda el alma. 

Y esos dos se giraron hacia él como sorprendidos por sus gritos. Trabajo les costó explicarle que el niño no dormía y que la quema era el ritual funerario que todas las gentes recibían al dejar de respirar antes de que su cuerpo empezase a descomponerse pasto de gusanos y moscas.

Notó como sus ojos se humedecían, el corazón se le encogía y la respiración se volvía más lenta y pesada: un tenebroso agujero se abría dentro de su estómago, donde habita el alma, reduciendo todos sus sentimientos y sensaciones a nada. 

A pasos lentos y titubeantes, sin apenas chispa en su mirada ensombrecida, regresó a la puertezuela del muro dorado. Volvió a pisar el lodazal que cubría el suelo mientras tanteaba a ciegas el corto pasadizo que le llevó de regreso al jardín de palacio. 

Todo a su alrededor dejó de brillar y sus sirvientes, bailarinas y amigos enmudecieron al ver su pelo desaliñado peinando su taciturno rostro. Una de las doncellas más queridas se le acercó con delicadeza y parsimonia mientras le preguntaba a modo de calma: -Cariño, ¿qué te ha sucedido en el pelo, en los pies, en los ojos?-  

Él, aún sumido en el abismo que le resquebrajaba por dentro, la miró y con una lagrima por voz tartamudeó: -Hoy he descubierto un nuevo mundo, el mundo del dolor, el sufrimiento y la muerte- La chica en silencio le asió de la mano como si fuera una florecilla de pétalos púrpuras; el príncipe prosiguió -Y este mundo está aquí al lado- Giró lentamente la cabeza hacia el muro -Ahí, al lado de mi burbuja multicolor- Tragó saliva por la angustia que le recorría el pecho entero: -Mi burbuja ha explotado en el aire sin avisar. Ha desapareciendo ya para siempre-

Lloró en su alcoba durante un día o dos sin desear estar con nadie más que con su dolor y los pensamientos que éste encendía como locuras de medianoche en su mente trastornada. Al final se serenó, pues sufrir también cansa y agota, hasta quedarse dormido.

Al levantarse exigió volver a salir de su jaula de oro. Quería volver a zambullirse en ese lodazal llamado mundo. Y fue así como dejó atrás su arco iris, acompañado por su mentor. 

Durante semanas ambos recorrieron el mundo. Su mente por doquier sólo detectó pobreza, discusión, odios y riñas, estupidez, enfermedades, desgracias, muertes y vejez. Incluso las risas despertaban asco en esas bocas desdentadas de las gentes: -Todo está corrompido y podrido. El dolor y la carcoma campan a sus anchas en este mundo que alimentan a mis ojos ¡Y cuánto sufren los pobres al tener que tragarse semejantes calamidades! Ya ni lágrimas sueltan para apaciguar mi alma, dulce y sensible y habituada a canciones y lisonjas. Sí, quisiera cerrarlos para que descansaran en paz- Sollozó amargado -Ya nada me place de esta vida-. 

Ciertamente el dolor es un "no aguantar", un querer desquitarse, un no poder asimilar lo que se vive y experimenta. El dolor nos empuja a querer buscar una salida, una solución ¡Una salvación! Eh aquí la locura a la que nos lleva el sufrir. 

 

De como empezar el juego filosófico

Vivimos en una época nihilista, de relativismos y escepticismos. La verdad, a lo bestia, tal y como se ha venerado durante milenios, nos arranca un "bufffff" de desdén; la vemos como una especie de dictadura: un totalitarismo de la inteligencia; un tener que pasar por el tubo de las ideas; un renunciar a nuestros caprichos e inclinaciones espirituales. Hemos sido unos malcriados y mimados. Para qué engañarnos: tenemos un poco de tiranos también, ¿cómo vamos a ser capaces de obedecer? Y la verdad exige obediencia, siempre. Será muy guapa, pero mandona. 

 

Hay algo de paradójico y magnético en todo esto: cuando más nos separamos de ese encanto al vuelo de nuestras fantasías, más parece que se nos acerca a escondidas ¿Tendrá curiosidad la muy traviesa?  ¿O será que siente terribles celos de nuestras mentiras e invenciones?  

Sí, cuando más pasamos de ella más caso nos hace, más nos mira, incluso de vez en cuando parece que quisiera cruzar alguna palabra con nosotros, pero por orgullo calla y disimula. En esto somos completamente distintos a los filósofos idealistas; así esos grandes enamoradizos que fueron Platón y Kant: se pasaban el día persiguiéndola, con regalos, poemas y alabanzas, mientras ella les daba largas por pesados. Y sin embargo por eso mismo insistían -Eh, la verdad nos dice cosas- Se alegraban los pobrecillos.

Cada vez que soltamos un -La verdad no existe- ella se enfada y contrariada no puede evitar dejar de pensar en nosotros. Y mientras piensa en nosotros su deseo crece. Y mientras su deseo crece más se nos acerca a escondidas... y en silencio.  

A la verdad se la atrae contrariándola, negándola, pasando de ella... Pero, ¿y luego qué? 

Con la atracción sólo empieza el juego, ¿qué filósofo ha sabido llevar este juego más allá de esta primera seducción?

 

  

Poincaré, Kant, Hilbert, Gödel y los juicios sintéticos a priori: el pensamiento emergente y especulativo

Reconozco tenerle una estima especial a Poincaré. 

Bien, siendo honesto, le tengo envidia sana por como discurre sobre los más áridos y difíciles temas sólo aptos para una minoría intelectual -los fundamentos de las ciencias. Y no sólo lo hace con suma rigurosidad y diligencia, sino también con claridad, elegancia, estilo; con una profundidad superficial sólo al alcance de una mente privilegiada como fue la suya. 

Constantemente nos lanza ideas inteligentes, sugerentes, una invitación a reflexionar ¡Tenía que ser francés! Se nota que es un conversador nato; y quizás por ello fuera tan buen matemático. ¿Acaso las matemáticas no son un conversar con las supuestas relaciones que manifiestan las cosas?  Ramanujan no dudaba en tener a los números por amigos y charlar a diario con ellos.

En su famoso "ciencia e hipótesis" Poincaré nos defiende que las ciencias puras, con las matemáticas en cabeza, no viven sólo de abrazarse a la prístina razón, de la pura deducción quiero decir, sino que precisan, ante todo, de inventiva para crecer: siempre tienen que alimentarse a base de hipótesis. 

En palabras más llanas: para conocer no basta con deducir una verdad de otra más básica y primigenia, como Descartes había soñado que llegaría a ser algún día el babélico edificio de las ciencias modernas, sino que es preciso y necesario suponer, imaginar y por ello, crear.

Esta idea me sedujo fuertemente dado que se acomoda la mar de bien a mi gusto y temperamento: ver las ciencias más puras como invención humana, como una expresión artística nuestra, es decir, imaginativa y artificial, pero tan bien elaborada, pintarrajeada y disfrazada que fácilmente nos la creemos ¡Nos la tomamos en serio! Y bajo tan hipnótica ilusión nos predisponemos sin darnos cuenta a considerarla bobamente como natural, como real... ¡Como verdadera! 

Nuestra loca mente entra tanto en la "historia" que nos hemos montado que cree que se trata de la propia realidad. Sí, nunca dejamos de ser niños a quienes les fascinan los cuentos que nos cuentan y acabamos creyéndonos ser sus personajes. 

Excepto quienes escriben con cierta ligereza, acaso Descartes mismo, en general me agobian un poco aquellos pensadores dogmáticos e idealistas que abogan por la idea de que la ciencia hable de la realidad misma, en sí, mientras tratan la inventiva, la imaginación y el suponer como mera literatura, como anticiencia, incluso la rebajan a mitología o superstición. 

Aunque me río más de los periodistas, esos payasos metafísicos, cuando sueltan a las gentes, siempre tan aleladas y cortas de luces: -Así son las cosas y así se las hemos contado. El periodismo ha sido durante décadas una fábrica de idiotizados. 

Y sí, ya he comentado más de una vez lo sosos que me parecen los pensadores analíticos, por ejemplo Russell o Wittgenstein. Seguramente sea injusto con ellos, pero me cuesta entrar en las películas que se montan y que bobamente llaman "realidad"; al menos cuando son jóvenes -Al crecer empiezan a darse ya cuenta de la farsa que alimentó su juventud y dudan ya de todo.

Sin embargo, aquí también prefiero escuchar a Poincaré cuando suelta: "creérselo todo o desconfiar de todo son dos posturas igual de cómodas, puesto que nos eximen de reflexionar."

Juicios sintéticos a priori y el pensamiento emergente. 

Los juicios sintéticos a priori son una de las grandes creaciones kantianas. La lectura de Hume había dejado al alemán muy preocupado: 

¿Van a ser nuestras queridas ciencias modernas un voluble e imaginativo castillo de hipótesis colgado en las nubes? -No, no puede ser- Se inquietó Kant -La ciencias deben construirse a partir de verdades firmes y sólidas como el granito, no de veleidades intelectuales hipotéticas, ya que las muy puras aspiran a mostrarnos la realidad desnuda y tal cual-

Para calmar sus inquietudes Kant supuso la existencia de un tipo de afirmaciones, o definiciones, sobre nuestras experiencias que nunca podían ser consideradas como hipótesis, dado que tenían que tomarse siempre, siempre, por verdades. ¿Por qué?  Porque al juzgarlas falsas entonces chocamos con una contradicción. Por consiguiente, tales definiciones tenían que tomarse siempre y necesariamente por ciertas al resultar absurdo tomarlas por falsas cuando las analizamos. 

Además, estas afirmaciones tendrían, para Kant, otra peculiaridad más: serían afirmaciones que nos hablarían de propiedades "emergentes" de las cosas. 

Me explico, estas afirmaciones no definen las cosas por sí mismas, ni por sus propiedades intrínsecas, esenciales y propias, como sí lo harían las definiciones analíticas, aceptadas incluso por el propio Hume, sino que nos cuentan las propiedades que las cosas muestran ante distintas situaciones, o  ante distintas operaciones, o distintas relaciones con otras cosas ¡Eh aquí, precisamente, la definición de propiedad emergente! 

Definiciones analíticas y definiciones emergentes:

Pongamos un ejemplo de afirmación analítica:  "2 es el numero 2". Con ella sabemos que 2 es el número 2 , dado que "ser un numero 2" es una propiedad intrínseca y esencial de 2 ¡Y viceversa! Bueno, más que saber, verificamos que el número 2 es 2. Pues, en el fondo, un razonamiento analítico no es más que una  forma de verificar. Así nos lo recuerda Poincaré.

En cualquier caso salta a la vista: estos juicios analíticos son harto redundantes y muy poco explicativos ¡Son puras tautologías! Y por eso mismo simplemente verifican; hecho que, sin embargo, conlleva una ventaja a nivel lógico: somos incapaces de juzgarlos falsos -y para una mente lógica ello significa que, entonces, son necesarios y en base a eso los tacha de verdaderos ¿Cómo no los va usar para verificar entonces? Pero en este razonar hay un montón de prejuicios implícitos. 

Sin embargo hay más; ya Kant parte de la idea básica de que si bien siempre podemos definir una cosa, o un sistema cualquiera de "cosas" , analíticamente, es decir por sí mismo y como una pura tautología o verificación para que nos entendamos, esta definición será muy poco explicativa. Sí, este tipo de definiciones siempre nos aportarán información muy limitada al contarnos muy poco del sistema ¿Por qué? 

Porqué sólo nos hablará del propio sistema exclusivamente ¿Y eso no es suficiente? Ya Kant se da cuenta de que un cosa es "mucho más" que ella misma por sí sola ¡También es todas las relaciones que puede mantener con otras cosas y que por tanto no dependen de ella misma! 

Por consiguiente, dado que resultaba imposible conocer estas propiedades emergentes mediante un proceso puramente analítico había que emplear un proceso que él llamó "sintético": consistía en estudiarlas in situ, dentro de cada contexto por así decirlo, a fin de sacar una afirmación capaz de explicar, no cómo son las cosas por sí mismas, sino cómo se mezclan, interaccionan y se comportan según las circunstancias.

Y llegado hasta aquí Kant hace algo más. Distingue las definiciones emergentes en dos tipos: 

a) Los juicios sintéticos a priori: afirmaciones que hablan de las propiedades emergentes que son necesarias que se den en una cosa o en un sistema de cosas ¿Por qué? Por que la afirmación contraria nos lleva a una contradicción impensable; con lo cual son ciertas por reducción al absurdo. . Un ejemplo sería la afirmación "2+3 = 5" o bien "en todo cambio físico la energía siempre se mantiene igual". Estas afirmaciones estructurarían propiamente las ciencias como principios regulativos al juzgarse verdades necesarias y universales ¡Al no poder ser jamás refutadas sin que nuestra mente implosione! 

b) Los juicios sintéticos a posteriori: afirmaciones que explican las propiedades emergentes que no son necesarias que se den en un sistema, o cosa, dado que éstas simplemente pueden o no darse ¡Sus afirmaciones contrarias no nos llevan a ninguna contradicción! De modo que también son posibles. Y en efecto, estamos ante afirmaciones típicamente inductivas; un ejemplo sería "las manzanas son verdes". Además, vale añadir, son la base a partir de la cual imaginamos y suponemos hipótesis. Por consiguiente, estas afirmaciones  puramente contingentes nunca pueden actuar como principios científicos al no ser jamás necesario que sean ciertas. 

Visto todo esto pienso que no son muchos quienes se han leído a Kant comprendiendo lo que nos preludiaba al inventarse el pensamiento emergente. Aunque fuera de forma rudimentaria y escolástica. Y Poincaré fue uno de ellos. 

Por un lado Kant se avanza 150 años a los trabajos de incompletitud de Gödel al poner de manifiesto que el hecho de definir un sistema de forma puramente analítica y verificativa siempre nos aportará una explicación muy pobre y escamoteada del propio sistema. 

Y luego, obviamente en base a eso, Kant se aventura con 200 años de antelación a señalar la existencia de propiedades emergentes en los sistemas, o en las cosas, o en los objetos... ponedle el nombre que queráis. Estamos, en cualquier caso, ante propiedades imposibles de ser explicadas mediante el puro análisis y como tales, inverificables. 

¿Cómo!¿Qué!!!! ¿Algo inverificable puede llegar a ser cierto? 

Kant dijo que sí sin despeinarse; hecho que hizo sonreír a Nietzsche con estas palabras en "Más allá del bien y el mal":  "que nosotros necesitemos tomar estas definiciones como ciertas para comprender no significa, para nada, que lo sean. Más bien con ello se demuestra todo lo contrario." Poincaré, sin haber conocido a Nietzsche, pensaba igual en el ámbito de la física, más no en el matemático. Al igual que Einstein.

Por consiguiente, el creador de la crítica de la razón pura se puso a defender el hecho que el conocimiento no sólo emplea definiciones redundantes y tautológicas, estrictamente verificativas, puesto que con ellas la ciencia no puede ir nada lejos al no ser capaces, éstas, de explicar las propiedades emergentes de las cosas. ¡La ciencia precisa de juicios sintéticos!

  -Estos juicios expanden nuestro conocimiento sobre las cosas- Apunta el mismo Kant al definir los juicios sintéticos. 

Nota: de hecho "fenómeno", término usado por Kant para hablar de las cosas, los sistemas u objetos percibidos, podría traducirse tranquilamente como "propiedad emergente" -ver etimologia de fenómeno. Kant rejuvenecería para nuestros oídos y no nos sonaría tan complicado e inaccesible; gran parte de la dificultad de su obra radica en su terminología, que da miedo a cualquier que se atreve a leerla.  

En resumen

Kant consideraba que las cosas tienen propiedades propias, esenciales e inherentes, que podemos definir analíticamente a través de una simple verificación, así "un soltero es un hombre que no esta casado" por ejemplo, o bien " "un triángulo es una figura con tres lados rectos", o en definitiva, "el número 2 es 2".

Pero las cosas también pueden tener propiedades emergentes, es decir según los contextos o su comportamiento: según las distintas interrelaciones y circunstancias que las afectan. Y estas propiedades deben, siempre, comprenderse de alguna manera para poder ser conocidas; por ejemplo imaginando, midiendo, reflexionando, operando u observando ¡Hay que especular! Pues resulta imposible deducirlas sin más de las propias cosas. 

¡Hay verdades que no son fruto de la verificación sino de la comprensión! 

 

¿Por qué suelto todo este rollo? 

Hume había logrado poner en serias dudas la inducción y con ella, se atrevió pegarle a las ciencias modernas a la cara ¡Fue uno de sus triunfos filosóficos! 

El británico pone al descubierto que observar un resultado repetidas veces para nada garantiza aventurar que siempre, siempre, se repetirá tal resultado: 

Veo una manzana verde, luego otra y otra y otra... y toda mi vida he visto las manzanas sólo verdes: ¿Implica eso que es necesario que todas las manzanas sean siempre verdes?

Su respuesta fue que no, que la inducción no es demostrativa de un orden, una ley y una necesidad en el mundo. 

Pero es que además Hume pensó que la ciencia moderna se basaba, básicamente, en afirmaciones inductivas de este tipo. Por ejemplo, que para saber si el movimiento de caída libre de un cuerpo depende de la masa había que realizar muchos experimentos y luego, según fueran los resultados, estos se generalizaban en uno de universal que se daba por cierto siempre ¡Hume se creyó el cuento de la manzana y Newton!

 

A partir de esta interpretación de como surgen las verdades científicas Hume puso sobre la mesa la idea que tanto inquietó a Kant, un  científico más que notable por cierto: que la ciencia se fundamenta sobre la inducción y por tal motivo podemos decir que no se construye sobre verdades, sino hipótesis y creencias.

Kant aceptó sin problemas la idea de que la inducción no demuestra la existencia de ningún orden necesario en el mundo, con lo cual jamás podría fundamentar las ciencias. Sin embargo, sorteó el dilema de Hume señalando que sólo los juicios sintéticos a posteriori obedecerían la inducción y por tanto, se emplearían para generar hipótesis y creencias preliminares que las ciencias SOLO usarían a modo de orientación, pero que jamás los tomarían como principios regulativos. 

"Los manzanas son verdes", como hemos visto sería un juicio sintético a posteriori que "tomaríamos" por cierto sólo si hubiéramos visto manzanas verdes a lo largo de nuestra vida ¡Lo juzgaríamos cierto por pura costumbre! Sin embargo, jamás  sabremos por la propia afirmación si ella es realmente cierta o no. Por tanto, argumenta Kant en favor de Hume: "las manzanas son verdes" jamás puede ser una verdad científica; en todo caso puede ser una hipótesis científica cuya finalidad será llevarnos a investigar si realmente las manzanas deben ser o no verdes.

Por tanto, enfatiza el alemán, estos juicios inductivos jamás dan cuerpo ni sentido a la ciencia, sino de forma muy preliminar, superficial y aparente ¡Sólo sirven para orientarnos! Y luego añadió: el error de Hume fue confundir los juicios sintéticos a priori (JSA) con estos juicios inductivos, cuando los JSA nunca son verdad por inducción, sino porque el defender lo contrario de lo que afirma el juicio resulta contradictorio y por tanto, imposible.

No decimos que 2+3=5 es siempre cierto porque siempre que hemos sumado 2+3 nos ha dado 5, sino porque afirmar otro resultado es absurdo y por tanto al sumar 2+3 siempre nos dará 5, dado que sólo es lógico que dé 5. 

Otro ejemplo, como ya expuse aquí: Galileo Galilei no demostró la caída libre de los cuerpos por inducción, tal y como te cuentan en cualquier canal de youtube diciendo: -El florentino se fue a la torre de Pisa y empezó a lanzar bolas de hierro de distinto peso y al observar que todas caían al unísono, fuera cual fuera su peso, demostró que Aristóteles estaba equivocado al respecto-. 

No, Galileo no demostró la caída libre por inducción, porque ya asumía que la inducción demostraba poco, por no decir nada, sino que empleó la pura especulación lógica: generó un escenario mental imaginario y comprobó con él que la postura de Aristóteles al respecto era contradictoria, pues nos lleva al absurdo, con lo cual entendió en seguida que esa postura no podía ser jamás cierta. De modo que lo coherente, factible y lógico es pensar lo contrario que defendía Aristóteles; a saber: que la caída libre jamás depende del peso (masa) de los cuerpos. Si ya luego Galileo realizó, en efecto, algún que otro experimento en su casa con planos inclinados y bolitas de hierro fue sólo para orientar su especulación al intentar comprender si el peso puede determinar o no la velocidad de caída libre de los cuerpos. 

Por tanto, "el peso no determina la velocidad de caída libre de un cuerpo" es una afirmación necesariamente cierta y se demuestra por especulación mental, no por inducción empírica. El experimento empírico sólo orienta, estructura y corrobora, pero jamás demuestra nada. 

Otro ejemplo más: Newton se sacó de la manga los principios de la dinámica clásica, e incluso la ley de gravitación universal al unir la ley de caída libre, el principio de fuerza y la ley de Kepler de los planetas en una misma ley mediante pura especulación mental y no por inducción, ni mucho menos por análisis o razón pura. Einstein, de hecho, siempre reconoció trabajar así: empleando la pura especulación mental. 

Los juicios sintéticos a priori son por tanto juicios especulativos. (ver etimologia de especular), con la peculiaridad de que siempre, siempre, debería ser posible contrastarlos.

Y otro tanto sucede con la ya vieja idea mecanicista de que "todo cambio tiene una causa", especialmente perjudicada por el ataque inductivista de Hume. Aquí permitidme extenderme un poquito por la importancia filosófica que se extrae de ello:  

"Todo cambio tiene una causa" Dice Kant mirando por el hombro a Hume, mientras nos explica que se trata de un juicio sintético a priori (JSA).  Por un lado no es una afirmación analítica porque al analizar la noción de "cambio", como ya hizo el propio Hume por ejemplo, allí no aparece de forma espontánea la noción de causa como una propiedad inherente y esencial del cambio ¡Podemos imaginar, como hizo  Hume, el cambio sin causa alguna, pero no podemos imaginarnos un soltero que esté casado ni tampoco un triángulo sin tres lados! Por consiguiente, estamos ante una afirmación que no es analítica: el concepto de cambio, por sí mismo, no implica el de causalidad, dado que se puede pensar sin él. Entonces, la causalidad es una propiedad emergente del cambio y no inherente. 

Entonces pasemos a distinguir: ¿Será la afirmación "todo cambio tiene una causa" inductiva y por tanto a posteriori?¿O será una afirmación necesariamente cierta y por ello a priori y especulativa? 

Como ya se ha dicho un JSA no puede analizarse por sí mismo, sino que hay que ponerlo en contexto y evaluar si al ponerlo en contexto, y negarlo, genera una contradicción y nos lleva al absurdo. Si al negar la afirmación nos vamos directos al absurdo, entonces es necesario que la afirmación nunca sea falsa ¡Hay que tomarla siempre como cierta pues! Pero si al negar la afirmación no llegamos a ningún absurdo, entonces estamos ante un juicio inductivo (sintético a posteriori) porque tanto la afirmación como su negación pueden ser ciertas o falsas según vete a saber qué circunstancias. 

Así pues, entendido todo esto, ¿qué ocurre cuando negamos la afirmación "todo cambio tiene una causa"? ¿Nos vamos acaso al absurdo? 

El primero en plantear esta posibilidad, insisto, fue Hume: demostró que podíamos imaginarnos un mundo sin causas, solo de cambios puros y nada más. ¿Pero cómo era este mundo? Era un mundo completamente contradictorio, irracional y por tanto: ¡Absurdo! 

CONCLUSIÓN: "ningún cambio tiene una causa" se demuestra una afirmación falsa por reducción al absurdo, con lo cual "todo cambio tiene una causa" debe ser, siempre, verdadera. 

Abro aquí un paréntesis: ya he comentado en otros post esta situación crucial para la filosofía desde sus orígenes; ella sola ha alimentado todas las metafísicas y antimetafísicas desde entonces. Pero por el momento no voy a comentar nada más.  

En resumidas cuentas: Kant vio que tenía barra libre para justificar la idea de que la ciencia no se eleva por encima de la humanidad a través de hipótesis e invenciones creíbles fruto de nuestras inducciones, sino a través de principios firmes, seguros y necesarios por pura especulación lógica: los juicios sintéticos a priori. 

Lo que luego se propuso hacer el alemán, durante las 800 páginas siguientes de su Critica de la razón pura, fue explicar con sumo detalle el cómo son posibles estos juicios sintéticos a priori. Es decir, intentó explicar cómo es posible que el mundo que vivimos y conocemos sea siempre lógicamente coherente, ordenado y comprensible 

¡Intentó explicar cómo la vida jamás podrá ser algo absurdo!

Poincaré y el principio especulativo:

A Poincaré se le atribuye una gran influencia de Kant. No sólo usa a veces su terminología, sino que también nos habla de razonamientos analíticos, o verificativos, de pensamientos inductivos (juicios sintéticos a posteriori) y de juicios especulativos (sintéticos a priori). Sin embargo encontramos diferencias, algunas pequeñas pero otras capitales.

Una de las diferencias importantes la encontramos al distinguir lo que entiende cada uno por afirmaciones analíticas, como "2 es un el número 2" o "un triángulo tiene 3 lados". 

Para Kant, hemos visto, se trata de afirmaciones que hablan del propio objeto, acaso de  2 o del triángulo. Y de algún modo Kant creía que estas definiciones ontológicas o constitutivas, por así decirlo, tenían valor de verdad por sí mismas al ser tautológicas y redundantes, autodemostrables por verificables. Son las famosas verdades formales. Con lo cual semejantes objetos realmente existirían por sí mismos.   

Poincaré concibe lo analítico de forma distinta, muy distinta: comprende que los objectos matemáticos se crean o constituyen a través de definiciones analíticas, como el "triángulo tiene 3 lados". Pero, ¿cómo surgen estas definiciones? ¿Son realmente necesarias, a priori, universales y por ello estrictamente formales como defendía Kant? 

Para el francés se trata de metáforas o ficciones creadas e impuestas por nosotros de forma conveniente a fin de que nos permitan pensar. De hecho señala como las ciencias, desde la matemática a la física teórica, han crecido creando objetos a partir de definiciones constitutivas impuestas a conveniencia. 

Es más, para el francés los objetos definidos mediante afirmaciones constitutivas no son muy importantes. Lo importante son las relaciones que podemos establecer entre ellos y otros objetos definidos. La ciencia, defenderá Poincaré, es el estudio de las relaciones y no de los objetos propiamente -¡Qué importa como son realmente los objetos!- Llega a decir. 

Así pues, lo importante son las relaciones que podemos o no podemos establecer entre objetos ¡Lo importante para la ciencia es el pensamiento especulativo y emergente! Por ejemplo, la afirmación "un triángulo tiene 3 lados" no demuestra qué es un triángulo ¡Sólo lo define! Se trata, pues, de una exigencia conveniente que nos permite construir un objeto matemático muy concreto que podemos identificar, y a través del cual se podrá hacer ciencia cuando se estudien sus relaciones, tanto propias como con otros objectos creados. 

En este sentido un razonamiento puramente analítico consiste en relacionar definiciones de objetos mediante el principio de identidad: estableciendo relaciones tautológicas. 

Por este motivo, a su entender, "5+1=6" se puede establecer tranquilamente como una definición constitutiva, al igual que "3+3=6" como otra definición; y a partir de ambas se verifica que 6=6 y 5+1=3+3 ha de ser cierto. Obtenemos, pues, dos verdades analíticas mediante relaciones tautológicas. Resumamoslo:

Axioma 1: "5+1=6"

Axioma 2: "3+3=6"

Entonces,

a) Se verifica que "6=6" y "5+1=3+3" por los axiomas 1 y 2.

-¿Es esto una demostración?- Se pregunta el francés. 

Su contestación es que no, que "6=6" y "5+1= 3+3" no son prueba de nada, simplemente se ha verificado que dos definiciones dadas son equivalentes entre sí, sinónimas, con lo cual se pueden intercambiar generando otras definiciones también equivalentes, puesto que a fin de cuentas todas están definiendo un mismo objeto. Poco más.

En efecto, verificar es relacionar definiciones equivalentes, iguales, tautológicas ¡Deducibles! Y sí, podemos definir un mismo objeto de formas distintas, y al relacionarlas entre si obtenemos otras definiciones que también hablan del propio objeto. ¿Hemos aprendido algo nuevo del objeto haciendo este juego? No mucho, dado que nuestro razonamiento sólo da vueltas alrededor de las definiciones de partida; es un "lo comido por lo servido".

Con motivo a semejante forma de demostrar Poincaré la considera un razonamiento típicamente analítico, que como en Kant, nunca marchará más allá de lo definido previamente, mientras se dedicará a dar vueltas siempre sobre lo mismo de una forma u otra. De modo que el francés añade: una demostración es algo más que una mera verificación. Por eso defiende que para demostrar hay que tirar de "juicios sintéticos a priori", hay que expandir nuestras definiciones iniciales, es decir nuestro conocimiento previo:

 ¡Nos urge especular para demostrar!  

Una de las cosas fascinantes del libro "ciencia e hipótesis", y recuerdo que se escribió en 1905 aproximadamente, radica en el hecho que después de algunas definiciones constructivas iniciales y un razonamiento analítico preliminar Poincaré termina aplicando un razonamiento especulativo, llamado "por recurrencia", para demostrar todas las verdades de la aritmética. No se gasta más de tres páginas.

A bote pronto choca leer semejante demostración, dado que en 1931 Gödel puso de manifiesto con sus archiconocidos teoremas de incompletitud que ha había verdades aritméticas que no se podían demostrar. Pero sólo choca a primera vista lo demostrado por Poincaré, porque esta demostración de Gödel surge al partir de un razonamiento esencialmente analítico, llamado "finitista". Veamos brevemente de qué iba:

Hilbert, precisamente en 1931, propuso desarrollar un sistema de demostración finitista capaz de poder demostrar todas las verdades de la aritmética, curiosamente para solucionar una ya larga discusión entre matemáticos surgida a raíz de los infinitos de Cantor. Sí, mi amigo Cantor. 

Pero, ¿qué es un sistema de demostración finitista? Bueno, según Hilbert consiste en elaborar un conjunto de definiciones constitutivas, llamadas axiomas, capaces de ser relacionadas tautológicamente con definiciones aritméticas tipo "6=1+5". Lo crucial de este sistema de verificación, pero, residía en una exigencia capital: tenía que respetar 5 principios, el primero del cual dictaba que el sistema de demostración se fundamentara sobre axiomas consistentes entre sí, es decir que no entraran en contradicción. Sin embargo vamos a destacar el segundo:

2. La validez de cualquier demostración basada en esos axiomas debía ser verificable algorítmicamente en una cantidad finita de pasos.

¿Y qué significa una exigencia tan rara como esa? 

Quizás se merecería un post propio, sin embargo vamos a comentarlo rápido: este principio exige no emplear ningún tipo de razonamiento especulativo para "demostrar" verdades matemáticas, como sí hizo Poincaré por ejemplo ¿Por qué? Porqué el pensamiento especulativo empleado en demostraciones había generado profundas y agrias controversias entre distintos matemáticos desde los trabajos de Cantor, pues con él se termina intentando demostrar verdades sobre objetos incontrastables, es decir, sobre lo infinito. Y sí, volvemos de nuevo a Kant. 

Porque, si recordamos, es Kant quien reconoce por primera vez tamaña controversia: los juicios sintéticos a priori, irremediablemente, nos llevan a afirmar cosas sobre lo absoluto y lo infinito ¡Y esto es hacer metafísica! 

Por tanto, vemos como el pensamiento especulativo nos lleva hacia afirmaciones incontrastables, porque inevitablemente a nuestra experiencia le resulta imposible volar hasta llegar tan lejos. 

Hilbert, no obstante, creía que, si bien las verdades al infinito no serían contrastables, al menos podrían ser verificables. Obviamente, menospreció lo que Kant había afirmado en la dialéctica transcendental con sus antinomias y paralogismos; a saber: que en el infinito no sólo no habría nada contrastable, sino tampoco verificable.  

¿Por qué Hilbert creía eso? Porque pensaba que si se podía verificar todo lo finito o contrastable, entonces, se verificaba de inmediato lo infinito e incontrastable. En consecuencia, andaba convencido de que el razonamiento analítico era capaz de demostrarlo todo y alcanzar lo que los idealistas llamaron: lo absoluto -En realidad hay mucho Hegel tras todo esto.

Fue Gödel quien le rompió el sueño idealista a Hilbert en 1931; en el mismo simposio donde expuso su programa. Pero tardó un tiempo en darse cuenta que tenía que despertar. 

¿Qué hizo Gödel?

Con sumo ingenio Gödel diseñó un sistema axiomático a partir de la lógica proposicional de primer grado con el que, a través de una compleja función "tautológica" (numeración de Gödel), se pretendía poder verificar automáticamente todas las verdades de la aritmética ¡Y el sistema petó! 

Con ello se constató que hay definiciones aritméticas que no se pueden relacionar tautológicamente con definiciones de la lógica proposicional de primer grado ¡No son equivalentes! De aquí la famosa observación que se sacó de ello: hay verdades de la aritmética que no se pueden verificar.  

En realidad, ¿qué sucedió allí? Gödel descubrió que hay afirmaciones de la aritmética que no se pueden traducir de ningún modo a la lógica proposicional. De alguna manera es como tomar dos idiomas, un diccionario, junto con las reglas sintácticas y gramaticales, y darse cuenta que hay expresiones en un idioma que al traducirlas al otro se generan graves malentendidos ¡O que hay expresiones simplemente intraducibles porque el idioma que traduce es más pobre en ese aspecto! Y vale decir que Wittgenstein fue de los que mejor entendió todo esto después de renunciar a su Tractatus (un tratado radicalmente finitista) y reflexionar un poco en sus "investigaciones". 

No hay que darle muchas más vueltas al enorme ingenio de Gödel y a la inquietud metafísica de Hilbert; ese complicado sistema de demostraciones matemáticas que se buscaba no era más que un sistema de traducción automático capaz de verificar si lo que era verdad en un lenguaje (la aritmética) se correspondía biyectivamente con otra verdad en otro lenguaje (la lógica proposicional), con lo cual el sistema fuera capaz de traducir todas las verdades de la aritmética a todas las verdades de la lógica proposicional, porque después de los trabajos de Frege, Russell, Wittgenstein y muchos otros se sabía que la lógica proposicional es un sistema de definiciones completo, coherente y como tal, tautológico ¡Un lenguaje completamente analítico! Por consiguiente, si esta traducción hubiera sido posible entonces se hubiera verificado que la aritmética también lo era; pero al no poderse verificar, entonces... ¿En realidad se demostró algo sobre la aritmética propiamente dicha con el trabajo de Gödel?

Entendido todo esto no es de extrañar que uno de los primeros en sacarle jugo al hecho de que el peculiar sistema de verificación de Gödel petara fuera Alan Turing para atacar con éxito el problema de la parada en las computadoras. A fin de cuentas, se trata de un problema estrictamente finitista, estrictamente analítico, de aplicar e igualar definiciones, puesto que el pensamiento máquina no puede dejar de ser eso mismo: un complejo sistema algorítmico atado a la mera verificación y a la nula comprensión. Pero, ¿y el pensamiento humano?   

Revisión al pensamiento especulativo de Poincaré

Poincaré defiende que el pensamiento especulativo, que llama "por recurrencia", es el razonamiento fundamental del matemático. Lo llama el auténtico juicio sintético a priori porque, siendo breves, nos permite generalizar: pasar de lo finito a la infinito, de lo particular a lo universal ¡Nos permite establecer una ley y un orden generales válidos para todos los infinitos casos posibles! 

Ciertamente el pensamiento analítico no nos permite pasar de lo particular a lo general ¡No nos permite generalizar! Toda verificación es, siempre, particular ¡Se realiza sobre lo concreto! "Esto es igual a esto", eh aquí una verificación ¡No hay más! Aunque luego esta simplicidad se pueda hacer harto compleja, nunca marcha de ahí. 

Por tanto, Poincaré llama "afirmaciones por recurrencia" a aquellas definiciones que son tan generales que contienen infinitos casos posibles. De hecho contienen todos los casos posibles sintetizados en una única definición. Veamos un ejemplo con la aritmética:

Poincaré escribe que tomando la siguiente definición "a+1=1+a" hay que demostrar que es cierta para cualquier valor natural de "a" . Para ello, dice el francés, podemos empezar verificando la definición a demostrar mediante otra definición más, a saber,  "a=1", dado que entonces se puede verificar que "1+1=1+1". Al verificarla mediante esta segunda definición, entonces se pasa a verificar con otra tercera, a saber, "a=1+1", dado que con ella se verifica que: "1+1+1=1+1+1". Y luego con una cuarta "a=1+1+1", dado que con ella se verifica que "1+1+1+1=1+1+1+1". Y así se seguiría de forma indefinida. 

En resumen, tenemos que para verificar que "a+1=1+a" es cierta para todos los valores naturales de "a" se precisan infinitas definiciones de "a", es decir, se precisan infinitos axiomas; puesto que cada una de estas definiciones actúan, de hecho, como axiomas. Veámoslo:

Axioma 1:  "a+1=1+a"

Axioma 2: "a=1"

Axioma 3: "a=1+1"

...

Entonces:

1) Se verifica que 1+1=1+1 por los axiomas 1 y 2

2) Se verifica que 1+1+1=1+1+1 por los axiomas 1 y 3

etc.

Obsérvese, pues, como cada una de estas verificaciones es un proceso estrictamente analítico, con lo cual resulta imposible demostrar la primera definición para todo "a" como valor natural y con ello, convertirla en un teorema por este método; se requeriría verificarla a través de todas las definiciones de "a" posibles ¡Y son infinitas! Tarea analíticamente imposible.

Ante esta imposibilidad Poincaré adopta sin manías el razonamiento por recurrencia: Se coge el primer caso, es decir la que fue la segunda definición, "a=1", y con ella se verifica que 1+1=1+1 ¡Y luego se especula sin miedo! ¿Cómo? Nos imaginamos un caso hipotético cualquiera, es decir, definimos un caso general: "a = n", siendo "n= 1+1...+1 (n veces 1)". Y entonces sólo tenemos que verificar que si la definición "a+1=1+a" se verifica para "a=n", entonces también se verificará para a=n+1. 

Evidentemente se verifica que "n+1=1+n", y que con ello entre manos, junto con la primera verificación ya realizada antes, también se verifica que "n+1+1=1+n+1. 

Bajo este resultado de inmediato se ha demostrado que "a+1=1+a" es siempre cierto para cualquier caso posible, con lo cual la definición pasa a considerarse un teorema aritmético muy famoso: el principio conmutativo de la suma. 

Vemos, pues, que para generar un razonamiento por recurrencia es preciso imaginarse un caso hipotético general,  es decir, un caso que si bien no existe propiamente representa a nivel imaginativo cualquier caso concreto que, en efecto, sí puede existir.  Con razón estamos ante un razonamiento especulativo: "n" no es ningún valor concreto para "a"; de hecho, no existe propiamente como valor natural, pero representa imaginariamente cualquier de los valores naturales concretos que puede adquirir "a". Es más, incluso podemos pensar que "n" representa a cada uno de todo los valores naturales posibles de "a".

En efecto, la magia de la recurrencia es que en un valor concreto abstracto e imaginario se sintetizan los infinitos valores concretos posibles ¡No hace falta ir verificando valor a valor! Tarea imposible de todos modos. Con motivo, insisto de nuevo, Poincaré lo llama juicio sintético a priori, y afirma que nos permite ir de lo particular a lo general, de lo finito a lo infinito. Hecho que lo tiene prohibido el razonamiento analítico. 

Pero Hilbert pensó que esta prohibición sería, no un handicap como habían intuido ya Kant o el mismo Poincaré, sino una ventaja para las matemáticas, porque los saltos de la razón especulativa dieron pie a multitud de disputas entre los matemáticos y Hilbert pensó que se podrían superar prohibiéndolos, es decir, limitando las demostraciones a procedimientos verificativos.   

Y en efecto, la razón especulativa nos permite volar tan alto que nos vemos capaces de tratar lo infinito: aquello que no podemos ni verificar ni contrastar. Y no podemos verificarlo porque no se regula a través de los principios de la lógica, como el de identidad y el de no contradicción. Y no podemos contrastarlo porque sólo podemos contrastar aspectos concretos, medibles, operables, etc. 

Entonces, eh aquí el dilema matemático que turbaba a Hilbert y a tantos otros: la especulación nos permite tratar con lo infinito e incontrastable y conversar con él; Leibniz, Euler, Riemmann, Ramanujan lo hicieron constantemente. De hecho, el trato personal que tenía Ramanujan con el infinito era de escándalo público: ¡Va y te muestra sin casi despeinarse como 1+2+3+4+... = -1/12! Y encima funciona dadas ciertas circunstancias. 

Eh aquí el dilema: ¿cómo demostramos lo que decimos sobre lo infinito si no podemos ni verificarlo ni contrastarlo? Todo queda colgado ahí, en las nubes etéreas del pensamiento especulativo como eternas hipótesis inverificables, incontrastables... Es una locura.

De hecho, cuando nos vamos al infinito nos encontramos que, como si de un milagro se tratara, surge sin más pura magia. -¿Será eso posible?- Nos preguntamos atónitos ante tamaño espectáculo. 

Por ejemplo, la noción de velocidad. A efectos finitistas sólo debería de existir la velocidad promedio: recorro una distancia precisa durante un tiempo concreto y la velocidad que obtengo es el promedio ¡Siempre! Por más pequeño que haga el recorrido y más corto el tiempo de medida siempre, siempre, estaré tratando con un recorrido y un tiempo concretos y por ende, con un promedio. No obstante, un promedio igual será una verdad empírica, pero ni mucho menos nos cuenta la realidad, sino más bien nos muestra una ilusión contable; como la vieja historia del pollo: una persona se come un pollo y otra se no come nada; conclusión: cada una se ha comido medio pollo en promedio. Así mismo es, pues, la velocidad empírica: una ilusión estadística. Sin embargo cuando llevamos el tiempo al límite de pequeño, a lo infinitamente pequeño por decirlo de forma ruda y casi bárbara, surge la mágia: desaparece la ilusión de promedio y aparece la ilusión de instantáneo ¡Podemos ya calcular velocidades instantáneas! 

Al infinito las matemáticas suelen cambiar al completo. De aquí las grandes controversias entre los matemáticos: a unos les fascinan estos cambios radicales e inesperados y lo ven como "un aventurarse hacia nuevos mundos"; Euler fue un gran ejemplo de ello. Otros lo ven como una violación intolerable a las matemáticas, mientras quieren permanecer amarrados a esas ilusiones que se pueden contrastar y verificar, mientras la llaman, con toda la ilusión del mundo : -lo real-  

Un ejemplo de este cambio mágico lo encontramos con la misma aritmética a partir del principio de identidad:

Axioma 1: 0 = 0

Axioma 2: 0 = 1-1

Axioma 3: 0 = (1-1)+(1-1)

Axioma 4: 0 = (1-1)+(1-1)+(1-1)

... hasta el Axioma infinito

Entonces:

1) Se verifica que: 1-1= (1-1)+(1-1)=0  por los axiomas 2 y 3 

2) Se verifica que: (1-1)+(1-1) = (1-1)+(1-1)+(1-1)=0 por los axiomas 3 y 4 

Y si seguimos así hasta el infinito obtenemos un resultado completamente sorprendente:

(1-1) + (1-1) + ... = / (1-1)+ (1-1) + ... 

En efecto, al infinito no podemos establecer esta relación de identidad tan alegremente. Los rígidos  y duros principios de la lógica se vuelven resbaladizos y volubles como el aceite al contactar con el poder de lo infinito. 

 Hace tiempo que se sabe como esta serie, llamada de Grandi, puede dar por resultado 0 o 1 según empecemos a contar.

Pero es que, además, si operamos un poco algebraicamente con esta serie de Grandi obtenemos un resultado aún más misterioso:

Axioma 1.1: S = (1-1)+(1-1)+... , siendo S el supuesto resultado de la serie infinita de Grandi.

Axioma 1.2: 1-S = 1-[(1-1)+(1-1)+...] 

Axioma 1.3: (1-1)+(1-1)+... = 1-[(1-1)+(1-1)+...] 

Entonces:

a) S = S    por el axioma 1.1 

b) 1-S = S por los axiomas 1.1, 1.2 y 1.3

Luego se aplica las normas del algebra y obtenemos que:

1= S+S

1=2S

1/2 = S

Por tanto 1-1+1-1+1-1+....=1/2

Magia: para cualquier número natural "n" tenemos que "n=n" y con ello "(n - n) =0". Es decir, todos los infinitos números naturales cuando se restan a sí mismos dan cero. Jamás hay variación en este resultado. Siempre que lo probemos lo comprobaremos sin errar ¡Por más inimaginablemente grande que sea el número natural a comprobar! Porque otra cosa es violar salvajemente el principio de identidad. Y sin embargo, cuando "dejemos atrás" la finitud de los infinitos naturales encontramos que, de repente, el principio de identidad se desmorona y que "lo infinitamente grande" no tiene porque ser idéntico a sí mismo, dado que puede, tranquilamente, no cancelarse a sí mismo. 

Ciertamente, ante semejante resultado lo primero es desconfiar de él. Pero sorprende descubrir como funciona la mar de bien para resolver energías de punto cero del vacío cuántico por ejemplo. ¿Hay que desecharlo y tacharlo de pura locura humana entonces? 

Conclusión

Se descubre la posibilidad de que las demostraciones especulativas por recurrencia, que intentan verificar los infinitos casos finitos posibles, se desmoronen al llevarlas al infinito. Y de tal desmoronamiento aparezcan resultados insospechados imposibles de verificar ni de contrastar, al menos tal y como se conciben las matemáticas y las ciencias hasta el momento. 

Ello ha llevado a no pocos matemáticos a colocarse en distintas posiciones al respecto:

a) Algunos, sin miedo alguno, se adentraron hacia este mundo de lo infinito e inverificable fascinados por sus espejismos, sus verdades intuitivas e ilógicas, por su salvajismo comprensivo. 

b) Otros, de talante radicalmente positivista, renegaron completamente de él, por metafísico, mientras consideraban con toda la ilusión de mundo que sólo podía ser real lo medido, promediado, testado y verificado.

c) Otros, como Hilbert y Cantor por ejemplo, intentaron buscar un punto medio, por así decirlo ¡Buscaron mediar entre posturas matemáticas tan radicales! Su intención era, por un lado, mantener el pensamiento especulativo de lo infinito, pero después considerar que allí no podía suceder mucha magia, sino que lo infinito tenía que mantener, siempre, la coherencia con el plano finito: lo que sucedía para cada uno de los infinitos casos finitos posibles tenía que suceder igual también para lo infinito, que sólo era un caso ideal. Estamos, pues, ante un regreso al razonamiento de Zenón de Elea, seguidor acérrimo de Parménides, el primer analítico radical: se negaba el movimiento porque sólo se permitía concebir la velocidad como un promedio entre distancia y tiempo ¡Se prohibía que nos marcháramos de ahí a vuelo de la especulación! Por tanto, se entendía que al infinito la velocidad seguía siendo un promedio, un promedio ideal, pero promedio ¡Y con ello se negaba que jamás pudiera surgir el milagro de lo instantáneo! De modo que se zanjaba el tema diciendo: -Veis, el movimiento es una ilusión porqué no es más que promedio.   

Sin embargo, pienso, si Cantor tiene razón, ¿acaso todas las matemáticas basadas en los límites no estarían equivocadas? ¿La noción de límite matemático no va contra la idea de múltiplos infinitos de Cantor?  

Evidentemente sí, pero quizás no estemos ante una cuestión de tener o no razón, sino de inclinaciones. Y vale reconocer que apostar por una inclinación u otra te lleva hacia un mundo matemático u otro. Cada cual decide; aunque las decisiones conllevan consecuencias capitales, es decir, unos desarrollos u otros, unos destinos matemáticos u otros.

En fin, las matemáticas están muy lejos de ser ciencias objetivas, impersonales y realistas.

  

Un breve teorema sobre números primos y de cómo crear el número primo siguiente...

 

Ignoro si ya existe, pero mirándome las ecuaciones diofánticas me he dado cuenta de algo harto sencillo, a la par que curioso; a saber: que las ecuaciones diofánticas más sencillas (x+y=z, con x,y,z por nº naturales) dan como solución o bien a números coprimos entre sí o bien a números que son múltiplos de un mismo factor en común. Hecho que tiene algunas utilidades. 

Aquí está la sencilla demostración (ver aquí).

Resumen y reflexión: 

Una ecuación diofántica lineal simple tiene esta forma:

x + y = z , con x,y,z pertenecientes a los números enteros. 

Al ser x, y, z números enteros, entonces sabemos que siempre serán el producto de una serie de números primos -factores. 

Por ejemplo:

x = 2·3·3·3 = 54

y = 2·7 = 14

x + y = z    (2·3·3·3) + (2·7) = 54+14 = 68= z = 2·2·17

La cuestión es que si x,y son coprimos entre sí, por no compartir entre sus factores ningún número primo, entonces z también será coprimo con x,y. En caso contrario x,y,z siempre serán múltiplos de un mismo factor común. 

Por ejemplo:

x = 2·3 = 6

y = 5·7 = 35

x + y = z       6 + 35 = 41, siendo 6, 35 y 41 coprimos entre sí.  

o bien:

x = 2·3 = 6

y = 2·7 = 14

x + y = z       6 + 14 = 20 =z= 2·2·5. Vemos que x,y,z comparten el 2 como factor en común  

Algunas consecuencias:

-Si x, z son coprimos entonces z - x = y, siendo y coprimo de x,z

-Lo anterior nos lleva a observar que cualquier número primo será, siempre, la suma o la resta entre dos números coprimos.

-Lo anterior nos lleva a definir x,y,z  ya no como números naturales, sino números enteros en la ecuación diofántica del principio: 

x + y = z  

-Por otro lado, como ya se ha dicho, si x,y comparten algún primo como factor común, entonces z también lo tiene como factor, con lo cual x,y,z son múltiplos de este factor común.  

¿Cómo obtener primos con esta ecuación diofántica?

Es cierto que todo número primo se obtiene, siempre, sumando/restando dos números coprimos, sin embargo no siempre podemos asegurar que al sumar/restar dos números coprimos el resultado sea necesariamente un número primo. Bien puede darse como resultado un número compuesto coprimo con los sumandos.  

¿Cómo asegurar que obtenemos números primos al sumar/restar dos coprimos?

A partir del viejo teorema que dice, "un número compuesto, como mínimo, debe tener por divisor un primo menor que su raíz cuadrada", entonces se aplica la ecuación diofántica de la siguiente manera:

-Se cogen todos los números primos que van del 2 hasta, mínimo, el primo que sea menor que la raíz del número primo que se quiere construir. De esta lista de números primos, entonces, simplemente se crean dos sublistas con una única condición: ningún primo puede estar en las dos sublistas. Entonces,  x es un número entero que tiene por factores una de la sublistas; y es otro entero que tiene por factores la otra sublista. Hecho esto se suman o restan según x,y sean positivos o negativos.

Nota: en realidad x o y también pueden adquirir el valor de 1. Al sumar cualquier número con 1 nos da por resultado un número que es múltiplo de 1. Así mismo, por ejemplo, se obtienen los famosos números primos de Mersenne: x= 2^n  , y= -1  

En cualquier caso, vale añadir que cualquier número primo tiene más de una forma de ser construido mediante ecuaciones diofánticas.

Ejemplos:

1+1=2 = 5-3 = 3-1

1+2 = 3= (2·2) -1 (es un nº primo de Mersenne)

2+3=5 = (2·2) + 1

(2·2)+3= 7 = (5·2) -3 = (2·2·2) -1 (es un nº primo de Mersenne)  

(2·3) +5 = 11 = (2·2·5)-(3·3)

(2·5)+ 3 =13 = (5·3)-2

(3·5) + 2 =17 =(2·2·2·2·2) - (3·5) = (3·3·3) - (2·5)

(3·5)+(2·2) =19

(2·2·5)+ 3 =23

(3·5)+(2·7)=29 =(2·3·5) -1

(3·7)+(2·5) = 31 = (2·2·2·2·2) -1 (es un nº primo de Mersenne)

(2·3·5) + 7 =37 

(2·3) + (5·7) =41

(3·5) + (2·2·7) = 43

(2·3·7) + 5 = 47 = (2·2·2·2·5)-(3·11)

(2·3·3)+(5·7) = 53 = (2·2·5·7) - (3·29)

(2·2·2·3) + (5·7) = 59 = (2·3·5·7) - 151

Del porqué no po podemos listar todos los números primos posibles

En realidad, este método para crear números primos es, de facto, una demostración de la infinidad de números primos, en gran medida parecida a la de Eratóstenes, pero más mecánica, clara y quizás también útil:

1) Supongamos que podemos listar todos los números primos; tal que así por ejemplo: 2,3,5,7,11,...p, siendo p el último número primo posible.

2) Con esta lista siempre podemos hacer dos sublistas, x,y, donde todos los primos de la lista sean factores o de x o de y. Además, determinamos que x>y, mientras evitamos que se repita ningún primo de x en y. 

De modo que  x e y serán siempre dos números enteros coprimos, y entre los dos "contienen" todos los números primos de la lista. 

3) Por consiguiente, siendo x,y números enteros coprimos su suma siempre nos dará otro número entero coprimo, z, demostrando con ello que la lista con la que partimos no es completa ¡Le falta alguno de los números primos que componen z! 

Por ejemplo:

Suponiendo que la lista de todos los primos sea: 2,3,5,7,11,13 y 17

x= 11·13·17 = 2431

y=2·3·5·7 = 210

Determinando, pues, que  x>y

Entonces:   

(11·13·17) + (2·3·5·7) = z = 2431 + 210 = 2641 = 19·139  demostrando que a la lista le falta el 19 y 139

(11·13·17) + (2·3·5·7) = z = 2431 - 210 = 2221 demostrando que a la lista de primos le falta el 2221

(11·13·17) + (2·2·3·5·7) = z = 2431 + 420 = 2851 demostrando que a la lista de primos le falta el 2851

(11·13·17) - (2·2·3·5·7) = z = 2431 - 420 = 2011 demostrando que a la lista de primos le falta el 2011

Y así podríamos seguir....