Ignoro si ya existe, pero mirándome las ecuaciones diofánticas me he dado cuenta de algo harto sencillo, a la par que curioso; a saber: que las ecuaciones diofánticas más sencillas (x+y=z, con x,y,z por nº naturales) dan como solución o bien a números coprimos entre sí o bien a números que son múltiplos de un mismo factor en común. Hecho que tiene algunas utilidades.
Aquí está la sencilla demostración (ver aquí).
Resumen y reflexión:
Una ecuación diofántica lineal simple tiene esta forma:
x + y = z , con x,y,z pertenecientes a los números enteros.
Al ser x, y, z números enteros, entonces sabemos que siempre serán el producto de una serie de números primos -factores.
Por ejemplo:
x = 2·3·3·3 = 54
y = 2·7 = 14
x + y = z (2·3·3·3) + (2·7) = 54+14 = 68= z = 2·2·17
La cuestión es que si x,y son coprimos entre sí, por no compartir entre sus factores ningún número primo, entonces z también será coprimo con x,y. En caso contrario x,y,z siempre serán múltiplos de un mismo factor común.
Por ejemplo:
x = 2·3 = 6
y = 5·7 = 35
x + y = z 6 + 35 = 41, siendo 6, 35 y 41 coprimos entre sí.
o bien:
x = 2·3 = 6
y = 2·7 = 14
x + y = z 6 + 14 = 20 =z= 2·2·5. Vemos que x,y,z comparten el 2 como factor en común
Algunas consecuencias:
-Si x, z son coprimos entonces z - x = y, siendo y coprimo de x,z
-Lo anterior nos lleva a observar que cualquier número primo será, siempre, la suma o la resta entre dos números coprimos.
-Lo anterior nos lleva a definir x,y,z ya no como números naturales, sino números enteros en la ecuación diofántica del principio:
x + y = z
-Por otro lado, como ya se ha dicho, si x,y comparten algún primo como factor común, entonces z también lo tiene como factor, con lo cual x,y,z son múltiplos de este factor común.
¿Cómo obtener primos con esta ecuación diofántica?
Es cierto que todo número primo se obtiene, siempre, sumando/restando dos números coprimos, sin embargo no siempre podemos asegurar que al sumar/restar dos números coprimos el resultado sea necesariamente un número primo. Bien puede darse como resultado un número compuesto coprimo con los sumandos.
¿Cómo asegurar que obtenemos números primos al sumar/restar dos coprimos?
A partir del viejo teorema que dice, "un número compuesto, como mínimo, debe tener por divisor un primo menor que su raíz cuadrada", entonces se aplica la ecuación diofántica de la siguiente manera:
-Se cogen todos los números primos que van del 2 hasta, mínimo, el primo que sea menor que la raíz del número primo que se quiere construir. De esta lista de números primos, entonces, simplemente se crean dos sublistas con una única condición: ningún primo puede estar en las dos sublistas. Entonces, x es un número entero que tiene por factores una de la sublistas; y es otro entero que tiene por factores la otra sublista. Hecho esto se suman o restan según x,y sean positivos o negativos.
Nota: en realidad x o y también pueden adquirir el valor de 1. Al sumar cualquier número con 1 nos da por resultado un número que es múltiplo de 1. Así mismo, por ejemplo, se obtienen los famosos números primos de Mersenne: x= 2^n , y= -1
En cualquier caso, vale añadir que cualquier número primo tiene más de una forma de ser construido mediante ecuaciones diofánticas.
Ejemplos:
1+1=2 = 5-3 = 3-1
1+2 = 3= (2·2) -1 (es un nº primo de Mersenne)
2+3=5 = (2·2) + 1
(2·2)+3= 7 = (5·2) -3 = (2·2·2) -1 (es un nº primo de Mersenne)
(2·3) +5 = 11 = (2·2·5)-(3·3)
(2·5)+ 3 =13 = (5·3)-2
(3·5) + 2 =17 =(2·2·2·2·2) - (3·5) = (3·3·3) - (2·5)
(3·5)+(2·2) =19
(2·2·5)+ 3 =23
(3·5)+(2·7)=29 =(2·3·5) -1
(3·7)+(2·5) = 31 = (2·2·2·2·2) -1 (es un nº primo de Mersenne)
(2·3·5) + 7 =37
(2·3) + (5·7) =41
(3·5) + (2·2·7) = 43
(2·3·7) + 5 = 47 = (2·2·2·2·5)-(3·11)
(2·3·3)+(5·7) = 53 = (2·2·5·7) - (3·29)
(2·2·2·3) + (5·7) = 59 = (2·3·5·7) - 151
Del porqué no po podemos listar todos los números primos posibles
En realidad, este método para crear números primos es, de facto, una demostración de la infinidad de números primos, en gran medida parecida a la de Eratóstenes, pero más mecánica, clara y quizás también útil:
1) Supongamos que podemos listar todos los números primos; tal que así por ejemplo: 2,3,5,7,11,...p, siendo p el último número primo posible.
2) Con esta lista siempre podemos hacer dos sublistas, x,y, donde todos los primos de la lista sean factores o de x o de y. Además, determinamos que x>y, mientras evitamos que se repita ningún primo de x en y.
De modo que x e y serán siempre dos números enteros coprimos, y entre los dos "contienen" todos los números primos de la lista.
3) Por consiguiente, siendo x,y números enteros coprimos su suma siempre nos dará otro número entero coprimo, z, demostrando con ello que la lista con la que partimos no es completa ¡Le falta alguno de los números primos que componen z!
Por ejemplo:
Suponiendo que la lista de todos los primos sea: 2,3,5,7,11,13 y 17
x= 11·13·17 = 2431
y=2·3·5·7 = 210
Determinando, pues, que x>y
Entonces:
(11·13·17) + (2·3·5·7) = z = 2431 + 210 = 2641 = 19·139 demostrando que a la lista le falta el 19 y 139
(11·13·17) + (2·3·5·7) = z = 2431 - 210 = 2221 demostrando que a la lista de primos le falta el 2221
(11·13·17) + (2·2·3·5·7) = z = 2431 + 420 = 2851 demostrando que a la lista de primos le falta el 2851
(11·13·17) - (2·2·3·5·7) = z = 2431 - 420 = 2011 demostrando que a la lista de primos le falta el 2011
Y así podríamos seguir....
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