sábado, 17 de diciembre de 2022

¿Cómo las máquinas y computadoras ven el infinito?

 Ya he hablado varias veces sobre mi amigo Cantor en el blog. Y mi inquietud es: 

¿Por qué a lo largo del s.XX y XXI se  han tomado en serio sus trabajos sobre el infinito?

Ante semejante pregunta cualquiera me podría esgrimir simplonamente y con menosprecio: -pues, porqué sus tesis se demostraron-. Por supuesto no estoy de acuerdo.

En matemáticas, a diferencia de las ciencias naturales donde nunca se demuestra nada, hay 3 formas para demostrar una afirmación: 

1) Mediante un ejemplo, o bien un contraejemplo que confirmen o refuten la afirmación.

2) Por inducción, es decir, identificando como tal afirmación se sigue de una ley o regularidad  matemática establecida. 

3) Por reducción al absurdo: se supone al principio que la afirmación es cierta/falsa, se buscan las consecuencias e implicaciones de ello hasta que se alcanza una contradicción, con lo cual lo cierto es lo contrario de lo que se había supuesto al principio.

Las demostraciones de Cantor usan la forma 2 y 3. Lo cuento:

Cantor siempre empieza estableciendo una suposición inicial para un caso concreto "a", deriva sus implicaciones hasta constatar que se produce una contradicción y por tanto, que para tal caso la suposición inicial no puede ser cierta. 

Luego, por inducción, Cantor constata que también sucede lo mismo para el caso siguiente "a+1", y para el siguiente "a+2", y también el siguiente "a+3"... Y de tal modo se constata que así sucederá para todo caso posible: "a+n", siendo n un número natural cualquiera.   

Un ejemplo de ello lo tenemos en el famosísimo teorema de Cantor, base de toda la teoría de conjuntos  y que fundamenta la computación.

De manera informal el teorema dice:

Tenemos un conjunto formado por un número finito "a" de elementos. Por ejemplo, tenemos el conjunto finito "números naturales hasta el número 3"; lo llamamos A={1,2,3}

Este conjunto tiene "asociado" su conjunto potencia, P(A), que se define como el conjunto de todos sus subconjuntos posibles, o dicho de otro modo, como el conjunto de todas las posibles relaciones entre sus elementos.  Aquí tenemos los subconjuntos:

Aa={0}

Ab={1} 

Ac={2}

Ad={3}

Ae={1,2}

Af={1,3}

Ag={2,3}

Ah={1,2,3}

El conjunto potencia de A será, pues, P(A)={{0},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} ¡Tiene 8 elementos!

Cantor demuestra como resulta contradictorio defender que un conjunto de 3 elementos sea mayor que su conjunto potencia; que luego también resulta absurdo afirmar que un conjunto de 4 elementos sea mayor que su conjunto potencia; y así también con uno de 5 elementos, 6.... o mil trillones de elementos.  Es decir, demuestra que para un conjunto con un número finito cualquiera de elementos siempre será absurdo afirmar que sea mayor que su conjunto potencia.

Hasta aquí, matemáticamente hablando, no le veo mucho problema a la demostración de Cantor. El dilema sobreviene cuando se aprecia cómo de este resultado Cantor lo extrapola al infinito ¡Hace un salto trascendental! Es decir, pasa de considerar un conjunto finito, aunque con cualquier número finito de elementos, a un conjunto de infinitos elementos. Y con ello "descubre" por primera vez que habría infinitos mayores que otros.

Entiendo que tamaño salto o no se puede hacer matemáticas, o al menos, que es posible desarrollar una matemáticas coherentes y fructíferas sin tales saltos. 

El salto de Cantor

Confieso que me tiene fascinado este salto trascendental que hace Cantor. En especial porque es un ejemplo de puesta en escena en el teatro matemático de una vieja idea filosófica: Cantor aplica, sin más, el idealismo hegeliano en el campo de los conjuntos, y a las matemáticas en general. Y los que hemos leído un poco de filosofía recordamos cómo contra esta idea hegeliana de tratar lo infinito como la síntesis inductiva de todo lo finito ya se había levantado con furia desbocada Schopenhauer, maestro de todos los pensadores intuitivos de finales del s.XIX y principios del XX. 

"Un charlatán tan soporífero como Hegel pasa por un gran filósofo. Ahí está la filosofía alemana sirviendo de burla a los extranjeros, rechazada por los verdaderos sabios, como una ramera que, por vil precio, hoy se vende a uno, mañana a otro, y los cerebros de la actual generación de estudiosos, desorganizados por los absurdos de Hegel; incapacitados para pensar, incultos y atontados, presa del vulgar materialismo, que ha brotado del huevo del basilisco. ¡Buen provecho! Y vuelvo a mi asunto" —Schopenhauer, La cuádruple raíz del principio de razón suficiente", Prólogo (escrito tardíamente en 1847).

Aquí Cantor, pues, razona del siguiente modo: Si para un conjunto de 1 elemento se cumple que debe de ser menor que su conjunto potencia, y lo mismo tiene que suceder para un conjunto de 2 elementos, y para uno de 3, 10, un millón o cualquier otro conjunto por mayor que pensemos, entonces así será siempre y para todos los infinitos conjuntos finitos posibles

De modo que, sigue razonando Cantor, si los infinitos conjuntos finitos posibles cumplen la inducción también lo hará el conjunto infinito que los contiene, los refleja y representa a todos a la vez como si fuera un huevo de basilisco. Y sí, esto es un razonamiento hegeliano.

Y con tal razonamiento Hilbert sonríe satisfecho porque con Cantor se puede intentar desarrollar su idealismo matemático (el finitismo), mientras los matemáticos más intuitivos se horrorizan y lo tachan de cháchara teológica.

De lo finito a lo infinito

Toda la metafísica occidental va de pasar de lo finito a lo infinito, y viceversa. Resulta fácil y habitual concebir lo infinito como lo absoluto, es decir, como el conjunto de todo lo finitamente posible. Por ejemplo así hacemos con el conjunto de los números naturales: 

-A partir de la unidad (el 1) todos los números naturales posibles son siempre números finitos, por muy grandes que sean. 

-No hay un número natural último, dado que a cualquier número natural por mayor que sea siempre se le puede añadir un uno más.

-Por tanto pasamos a pensar que hay infinitos números naturales, es decir, solemos concebir los números naturales como un TODO (algo absoluto) de infinitos elementos finitos.

De tal guisa concebimos de forma rudimentaria los números naturales como un conjunto (un Todo) ordenado de infinitos elementos. Con ello, al menos a nivel psicológico, ya se gestiona lo infinito como un número, como un conjunto, como "algo" que contiene a todos los números naturales en su seno.

Cantor pasa olímpicamente de la idea de límite al infinito

Ya he comentado muchas veces como desde la madurez de Platón, en matemáticas, el infinito se concibió, ya no como una cantidad o la propiedad de una entidad, sino como una potencialidad: un poder acercarse o crecer tanto como se quiera. Nada más.

Cantor se olvida por completo de esta idea. Hecho es, que mediante la idea de límite al infinito ya hace un par de años (ver) no me costó nada demostrar como el teorema de Cantor no se puede aplicar a conjuntos infinitos, por ejemplo al conjunto de los naturales. Aplicando la idea de "límite al infinito" la inducción hace aguas por doquier; pues la contradicción sobre la cual Cantor articula su teorema queda disuelta por la propia fuerza del límite al infinito.

En resumen, las demostraciones de  Cantor atentan contra las ideas básicas que articulan la teoría de límites y el cálculo infinitesimal. Pero, ¿es esto realmente un problema para las matemáticas?

¿Por qué se tomó en serio el trabajo de Cantor?

Al principio, por la promoción que le propició Hilbert, un matemático sumamente influyente a principios del s.XX. 

Hilbert vio en Cantor la luz para alcanzar su soñado finitismo, es decir, para convertir las matemáticas, y el conocimiento en general, en un mero mecano-lógico basado en una simple tautología fundamental. 

Pero años más tarde porque el finitismo se mostró como la forma matemática más manejable para desarrollar la computación. De hecho, la base de los primeros teoremas de la computación son, en no poca medida, los trabajos de Cantor. De modo que estos teoremas adquirían estatus de verdades demostradas, simplemente porque hacían posible a nivel teórico el nuevo mundo de la computación que ha terminado dominando nuestra sociedad. 

¿Cómo ven el infinito las máquinas y computadoras? 

La peculiaridad de las máquinas computacionales, su forma de procesar datos, es en esencia finitista. Las máquinas no tienen imaginación, ni sensualidad irracional, ni tampoco se ven dominadas en silencio por las expectativas; además de mostrarse muy torpes tratando lo contradictorio, como se manifiesta en el problema de la parada: ¡Ante una contradicción se "cuelgan" sin más y ya está! Nuestra mente, en cambio, está fuertemente habituada a vivir en medio de tan grandes salvajadas ¡Si tiene que obviar, manipular y tergiversar de algún modo las contradicciones para seguir andando lo hace sin miedos! Y de aquí nuestra creatividad característica. 

Por ejemplo, una máquina es incapaz de inventarse un tipo de magia conceptual como la que se saca de la manga Euler en su "Análisis Infinitorum" con sus "cantidades tan grandes o pequeñas como queramos".  

En tal sentido, como ya vimos el otro día (ver), para una máquina el número 0,999999... no puede ser jamás 1 porque de los infinitos números decimales finitos posibles del tipo 0,999...9 ninguno es nunca 1, de modo que por inducción 0,99999... tampoco lo puede ser. Ahora bien, desde una óptica intuitiva no hay problema en igualar 1= 0,99999.... Del mismo modo que no hay problema en gestionar una suma de Cesàro ¡O los sumatorios de Ramanujan! 



Distintas matemáticas

Después de todo este tiempo reflexionado sobre tan raros y exclusivos temas voy formando la siguiente idea al respecto: 

Es posible desarrollar dos tipos de matemáticas, por así decirlo: 

a) Una de computacional, finitista, lógico-mecanicista y por tanto, que siga las directrices de Cantor, con todas sus limitaciones demostrativas (teoremas de incompletitud de Gödel, de parada, teoría de modelos, etc) y  sus especificidades.

b) Otra de intuitiva y creativa que toma el infinito como una potencialidad, incluso como un movimiento y por tanto, como algo que ni es lógico o estructurado ni tampoco contradictorio y absurdo, sino otra cosa distinta. A fin de cuentas el infinito, visto como límite y potencialidad, suele disolver todo absurdo y contradicción que se da en lo finito.

 






 










jueves, 1 de diciembre de 2022

Pensamiento fractal. Aforismos.

Aforismos

El arte aforístico se nutre de una pretensión singular: la de dejar atrás toda forma de sistematizar, solidificar y mecanizar el pensamiento.

Pensamiento fractal

El arte aforístico se caracteriza por su estilo accidentado y fragmentado, y con ello suele esconder patrones y simetrías capaces de convertir ideas en relámpagos que nos aturden y avivan entre remolinos de luces y sombras.

Sistemas filosóficos

Aún hay, especialmente en las universidades y entre los expertos académicos, bastantes quienes sostienen que la filosofía consiste en tejer un sistema de pensamiento sistematizado, coherente y en tal sentido, compacto y cristalino. 

Ciertamente estamos ante gente que cree que lo sólido y bien estructurado es lo más fuerte: lo que cuesta más de criticar y romper ¡Que el diamante es lo más duro! Desde luego salta a la vista como semejantes expertos desconocen por completo los estados de la materia... Y el agua sólo se rompe cuando se congela. El fuego jamás.  

Pensamientos delicados

Una manera de evitar que te se rompa algo es romperlo primero.

Reversibilidad

Todo se puede recomponer; si eres lo suficientemente inteligente o lo suficientemente paciente.

Última palabra

Decir la última palabra sobre un tema es como recoger la última manzana de un manzano. Sólo es cierto hasta que el manzano vuelve a florecer.

Aprender a leer

Uno empieza a saber leer un poco cuando aprende a escuchar el tono de voz que esconde el escrito.

Una postura denigrante

Presumen algunos grandes filósofos de ser amigos de la verdad. Sin embargo, ¿acaso no resulta denigrante para un amante que su amada solo lo quiera como amigo? 

Mefistófeles

La verdad suele ser muy femenina. ¿Muy femenina? Suele embobarse locamente por malotes y diablillos; espíritus indómitos, jactanciosos y digresores. Ahora bien, seguramente en público siempre lo negará, poniendo cara de santa.

La verdad sabe siempre especial

La verdad adora atraer a mil pretendientes. Tan gran poder de atracción le sube el ego hasta convencerla de ser especial. 

Para reírse de uno mismo

Demasiadas veces presumimos de lo que carecemos ¿Será que soñamos con mejorar?

Herejes y negacionistas

Los "buenos" ciudadanos no entienden que hayan unos pocos locos necios que no quieran comerse el pienso que la sociedad distribuye por sus canales oficiales lleno de actores, bufones y expertos mediáticos. Y menos entienden que se nutran a base de malas hierbas y "venenosas serpientes". 

Mala consciencia

Ir contra el pensamiento general y bien asentado, contra sus verdades y emociones y su visión de qué es bueno y malo para la vida, genera muchas veces una profunda inquietud de consciencia entre los pocos que se atreven a ello. Esta mala consciencia les lleva, no pocas veces, a volverse taciturnos y asumir el rol de "malos" que, precisamente, les otorgan los demás incluso lanzándoles una sola mirada llena de desconfianza.

Mundo simple

Tenemos, siempre, una visión de las cosas la mar de simple y superficial, pero nos encanta ignorarlo y engañarnos al respecto. 

De lo profundo de una idea

La profundidad de una idea es siempre una sensación, reflejo de una apreciación.

Ya lo comprendo

Comprender una idea es siempre una sensación, fruto de una apreciación.

Creyentes

Se inventaron hace milenios a Dios, el gran demiurgo, porque les encantaba pensar y creer que gracias a él era posible lograr comprender de qué va el mundo y la vida. Y bajo la fe en Dios se colocaban como jueces sumarios de todas las cosas. 

Ateos

No pocos han matado a Dios pensando y creyendo que ya saben de que va el mundo y la vida, y colocándose como jueces sumarios de la vida, precisamente, dictaminan que Dios es una idea prescindible. 

Creer y no creer en Dios

Sorprende apreciar como, entre quienes creen y quienes no creen en Dios, abundan quienes no entienden como tan colosal idea sustenta, nutre y permea en silencio toda la civilización occidental desde hace milenios.

Cuestión de necesidades

Nos reclaman, nos alaban, ruegan y nos hacen caso en la medida que creen que nos necesitan. Cuando ya nos ven prescindibles pasan de nosotros y nos desprecian.

Construcción espiritual

¿Habrá sido la milenaria idea de Dios (todo el pensamiento dogmático y metafísico) sólo un andamio a través del cual construir y elevar el pensamiento occidental?

Te creo

Basta con afirmar algo con rotundidad y convicción para que una mayoría lo juzgue, sin más, como cierto ¡Y obedezca!

OBDC

De forma inconsciente y necia nuestra mente suele tomar toda afirmación  como una orden, una exigencia, una necesidad; con motivo de primeras la valora inocentemente como una verdad.

Intelectualismo moral

La fórmula ética: "la verdad nos lleva a las buenas acciones y éstas a la buena vida", es la base del pensamiento máquina y con él, poder considerar el ser humano un autómata que cumple órdenes... ¡O  que sigue la verdad! Da lo mismo.

Principio inmoral

El primer acto inmoral consiste en poner en duda cualquier afirmación y no tomársela como una necesidad, una orden, una exigencia y por consiguiente, una verdad, sino hipótesis. 

Triste

Es triste y paradójico tener que ordenar a la gente que no se tome las afirmaciones como verdades.

Dirigiendo la mente de la gente

Cuando una autoridad afirma una cosa y luego la contraria sin despeinarse emplea el viejo truco psicológico de generar confusión para romper la confianza racional de la gente, y con ello, volverla mucho más obediente a las ordenes e indicaciones que le da tal autoridad. Dado que la gente, ante el lío, termina por no comprender nada por sí misma, entonces ya no evalúa las afirmaciones  emitidas por la autoridad y se deja llevar plácidamente por ésta al creer que ella comprenderá lo que ellos ya no comprenden. Así la gente se vuelve autómata: afirmación que escuchan de la autoridad, afirmación que obedecen, pues han desechado intentar comprender ya nada en ella. 

Obediencia racional

Kant afirma: obedece siempre, pero sólo obedece aquello que comprendas por ti mismo que es correcto y necesario obedecer siempre. Sin embargo, ¿acaso debo obedecer lo que afirma Kant?

La comprensión

Obedecer sólo lo que comprendemos que es correcto y necesario obedecer siempre... Vaya, vaya; y, ¿cuántas formas hay de manipular, tergiversar, conducir y reconducir nuestra forma de comprender las cosas? ¿Acaso la comprensión del mundo no cambia y se transforma generación tras generación?

No es fácil despertar del sueño

Confiesa Kant: "Hume me hizo despertar del sueño dogmático". Pero el alemán se calló que después dio media vuelta, se abrazó al idealismo trascendental y siguió durmiendo.

Mayoría de edad intelectual

Pensar por uno mismo es siempre un lujo y un privilegio que ninguna sociedad le permite alcanzar a cualquiera. Muchos halagos, premios y dinero otorgan las sociedades para que la gente no goce de tal privilegio. 

De como los demás nos llevan a engañarnos a nosotros mismos

Que los demás aplaudan tus ideas y decisiones, reclamen tu consejo y te regalen alegremente su confianza con entusiasmo lleva fácilmente a cualquiera a creerse que sabe de lo que habla. 

Buena cultura 

Olvídate de que te aplaudan y te recompensen si no les cuentas lo que desean escuchar, lo que excite a su personalidad y, con ello, les permita sentirse orgullosamente sabios de haberte escuchado.

Recoger un premio

¿Quiénes son estos para darme un premio? 

El mejor y único reconocimiento

El de tu enemigo.

No son mis enemigos

Que alguien te tenga por su enemigo, incluso te odie, te tema o te juzgue la causa de sus males, no es un sentir necesariamente recíproco. Poder llegar a ser tu enemigo y hacerte daño, ¿acaso no es un privilegio que se tienen que ganar? 

Pensamientos a batir

Hay muchas verdades que no gustan y, además, duelen, y quien se atreva a defenderlas y mostrarlas en público se convertirá de inmediato en el pensador a temer. Así le ocurrió a Maquiavelo.

La ley del silencio

Se silencia lo que se teme y hace daño

Hacerse el tonto por miedo

Tachar un pensamiento de incomprensible y loco; eh aquí otro infantil recurso usado para esconder lo que nos da miedo, nos afea o perjudica. Así ha ocurrido con Nietzsche.

Verdades selectivas

Hay pensamientos que parecen favorecer a unos a costa de otros. Los primeros intentan promocionarlos mientras los otros a silenciarlos, menospreciarlos o exterminarlos.

Peligros educativos

No pocas veces la educación termina atrofiando los instintos y la alegría de vivir. Basta con pasearse por alguna universidad actual para encontrarte más de un zombi ¡Y dos!

50Kg

Un burro trajina 50 kg de peso sin problemas y con alegría; es un peso que le estimula y no le agobia, se le ve suelto y casi bailando. Para un perro llevar 50 Kg de peso es un martirio y una especie de tortura inhumana. Sin embargo el mundo está lleno de idiotas con perros, pero que de algún modo envidian a los burros y sus alegrías, de modo que obligan a sus perros a llevar 50Kg: -Venga cariño, ponte encima los 50kg y así llegarás a ser tú también un burro- Le dicen al pobre chucho, que saca la lengua y solo piensa en comerse una galleta.

Dependencia emocional 

Asusta apreciar como gran parte de los ciudadanos se ve incapaz de desapegarse de aquellos quienes constantemente se aprovechan de ellos y les llevan a tomar malas decisiones simplemente porque necesitan confiar en "alguien". 

Lo más fácil es siempre lo más probable

Resulta mucho más fácil simular que se realizó una gesta muy difícil y compleja que llevarla realmente a cabo.

Límites de la ingenuidad

Nadie es nunca tan ingenuo como para creerse siempre todo lo que le cuentan. Al final, por muy poco raciocinio que tenga uno también termina por detectar contradicciones y paradojas entre toda la sarta de memeces que le cuentan. 

Maraña

Viviendo de forma ciega y estúpida muchas veces no nos damos cuenta del lio gordo donde nos metemos. Es cierto que a veces utilizando la inteligencia podemos desmarañarnos y ver claro como salir del entuerto, pero no pocas veces la inteligencia no basta. Entonces hay que apelar a otras facultades más primarias ¡Y con ello nos cegamos de nuevo!

Elogio a la estupidez

La estupidez es una gran fuerza, de modo que puede con muchas cosas. Es curioso, donde la cordura falla lo más cuerdo puede ser emplear la estupidez más radical.

Que listo eres

Una de las formas más efectivas de excitar y avivar la ingenuidad de los demás, y engañarlos, es adularlos hasta hacerles creer que son mucho más listos e inteligentes de lo que son ¡Hacerles creer que ellos sí saben y están en lo cierto!

Felicitar a los que se creen tener la razón:

Decía Napoleón: "nunca corrijas al enemigo cuando se equivoca."

Atontamiento científico

Nos enamoramos locamente de nuestra verdades y bajo tan gran embrujo las vemos mucho más guapas , firmes y lógicas que quienes no las miran bajo nuestro atontamiento.

Volviéndonos listos

Equivocarse, desengañarse y pasarlo mal es una de las mejores formas de volvernos listos, pues el dolor, la preocupación, la desconfianza y el tener que darle vueltas a las cosas es un acicate para nuestra inteligencia; al menos si a ésta aún le queda sangre.

Es lo que toca

Son muchos quienes se someten fácilmente a la sensación de que el mundo tiene que tener un sentido, un orden y una razón de ser, y cuando hacen algo lo hacen porque: -es lo que toca- Se justifican al más puro estilo estoico. Ciertamente, para que este tipo de gente haga lo que uno quiere que hagan basta con persuadirlos de tal forma que crean que "eso es lo que toca hacer".

Deseo hacer esto

Son muchos quienes se consideran libres en la medida de que pueden o no pueden hacer lo que desean. Basta con persuadirles a desear algo para que automáticamente se presten a ello por iniciativa propia.

Igualdad

El concepto de igualdad es una ficción y un error nuestro, y como tal lo usamos instintivamente a nuestro antojo.

Igualdad discriminatoria

Siempre discriminamos cuando igualamos. Pero eso no te lo cuentan esos grandes embusteros y papanatas de los igualitaristas. 

Tratar de igualar

Para considerar que dos cosas son iguales hay que someterlas, siempre, a un mismo tratamiento. Sí, siempre y sin excepción hay que manipularlas, tergiversarlas y modificarlas para llegar a juzgarlas de algún modo  como iguales. La igualdad es, pues, un error, una perversión de las cosas y un artificio nuestro. 

Deseo de igualdad

Muchas veces queremos ser tratados como iguales siempre y cuando quiten cosas a los demás para dárnoslas a nosotros. En eso no hemos madurado nada y somos como niños pequeños.

El perro del hortelano

No pocas veces exigimos ser iguales porque no queremos que los demás logren lo que nosotros nos vemos incapaces de lograr. En eso somos así de miserables.

Generosidad igualitaria

Otras veces nos creemos tan superiores a los demás que al mirarlos nos vemos solos, y tal singularidad nos quema el alma, mientras soltamos: pobre gente, da pena. Y ante semejante locura no podemos evitar regalar parte de lo nuestro para que sean como nosotros, unos iguales, y así dejar de sentir el resquemor de esa singularidad. 

Generosidad infértil

Dar limosnas, ya emocionales ya económicas, nunca ha dado fruto; es una muestra de cuan pobre e impotente es el que da. Sin embargo, desde hace milenios se ha montado un gran negocio alrededor de la lástima y la limosna como formas de prostitución emocional.

Acaparamiento solidario

Muchas veces necesitamos dar y repartir para vaciarnos y poder volver a recibir y ser llenados hasta arriba de nuevas cosas.

Verdades de Don Juan

Los grandes amantes, que gracias a su arte han logrado seducir a multitud de mujeres gozando de sus favores, siempre se han reído en silencio de las ideas, opiniones y teorías sobre las cosas que las mujeres han defendido con ilusión y entusiasmo.  

Seducir a un hombre

Las mujeres nunca han necesitado inventarse mil milongas para seducir a un hombre; a muchas con una sonrisa les bastaba. Y a no pocas ni eso.

Diferencias iguales

La diferencia entre dos cosas se estipula por la desigualdad que aparece en cada una de ellas al aplicarles un mismo tratamiento a fin de pautar una cierta igualdad entre ellas.

Pruebas y rituales de iniciación

Tener que pasar una prueba, una selección o un ritual de iniciación sirve para poder ser tratado como un igual con todos aquellos quienes también lo hayan ya superado. 

Las mismas leyes para todos

Que todo el mundo atienda a unas mismas y únicas leyes implica que éstas no afectarán por igual a todos. A unos les perjudicará mucho más que a otros, mientras unos cuantos saldrán harto beneficiados. 

Privilegios igualitaristas

Las leyes igualitaristas son formas encubiertas y sibilinas de dar privilegios a algunos, mientras se perjudica a otros, al tiempo que se miente y engaña a todos diciendo: -Aquí somos iguales-. 

Pedir equidad

El igualitarismo equitativo siempre termina por ser un pretexto para pedir discriminaciones positivas, dado que para igualar hay que hacer más "favores" a unos que a otros. Termina siendo, pues, la ley del victimismo: buscar la forma de aparentar tener menos para lograr más.

Objetivo igualitarista

Exigir que la finalidad de la sociedad no sea otra que la igualdad "real" es un "no me importa nada como funcione la sociedad". ¿Será el reflejo de algún trastorno mental, de algún odio secreto hacia la sociedad, de alguna voluntad de arruinar la sociedad o simplemente, la astuta forma a través de la cual algunos listos quieren justificar el robar, explotar y vivir a costa de parte importante de la sociedad?

Masificación igualitaria

Pretender igualar a todo el mundo esconde una voluntad de convertir a cada uno en una unidad contable fácil de ser gestionada. 

Lo mejor para la mayoría

Cuando se ha convertido a todo el mundo en unidades contables de fácil gestión, entonces se puede aplicar el cálculo utilitarista de las acciones y convencerse de estar actuando de la mejor manera posible. Luego, pase lo que pase, la conciencia respira tranquila y uno ya puede ir a dormir como un bobo: olvidándose de todo .

La libertad democrática

Poder hacer lo que uno desea hacer sin perjudicar a lo demás.

Psicología básica

Cuando se estudia un poco de psicología asombra apreciar lo fácil que resulta manipular, condicionar y dirigir los deseos de la gente: como si fuera un llama, el deseo de la gente crece, se apaga y se dirige según sople el viento invisible. 

Los listos, que son pocos, juegan a su arbitrio con este viento, mientras la mayoría inocente atiende, sólo, a lo que creen, y sólo creen en aquello que ven sus ojos; y estos les dicen: el fuego baila al ritmo que le da la gana.

Pilares democráticos

Los fundamentos psicológicos de la democracia se elevan sobre una grotesca farsa: que nuestra consciencia es soberana, virgen y pura ¡Se mueve por sí misma! 

En efecto, se sustenta sobre aspiraciones descaradamente metafísicas, es decir, que no son de este mundo. ¿Será la democracia una forma política de huir del mundo, la vida y la realidad? Es más, ¿y si fuera una especie de suicidio colectivo? Mejor aparquemos tan peligrosas dudas y volvámonos tontos. ¿Tontos? Sí, dejémonos llevar por la corriente como si ya estuviéramos mentalmente muertos.

El anzuelo democrático

Hacer a la gente partícipe de las decisiones a tomar conlleva implicarlas en las consecuencias; hecho que permite descargarles la responsabilidad. En efecto: cuando todos la matan, entonces callan y allí nadie habla de asesinos.

Libre albedrío

Occidente ha crecido nutriéndose de un prejuicio falso y una supina mentira: que nuestra consciencia es libre y autónoma para decidir, con lo cual sería la máxima responsable de nuestros actos ¡Por eso tendría un importancia fundamental para la vida! Sin embargo nuestra consciencia no es más que un títere de nuestro cerebro, es decir, nuestro cuerpo: nuestro cuerpo "decide" bajo complejos estímulos e instintos ciegos, y luego nuestra consciencia lo pone en escena y lo representa con grandilocuencia como si fuera ella misma la responsable de haberse determinado tal decisión ¡Y por eso mismo nos "sentimos" responsables de ello! Pero sólo es un sentir, un actuar, en fin, un autoengaño.

Fácil de engañar

El ser humano es de los animales más fáciles de engañar simplemente porque tenemos consciencia. Y la facilidad de ser engañados ha sido, parece ser, una ventaja evolutiva radical para nosotros: nos ha proporcionado des del lenguaje a ese teatro continuo llamado "la sociedad". 

Un mundo sin los buenos

Los buenos se esfuerzan en propagar la idea de que sin ellos el mundo sería un infierno; que si no seguimos su visión de la vida ésta se convertirá en algo terrible e intolerable. Sin embargo, con tan gran astucia y énfasis quizás sólo pretenden que creas que son imprescindibles y, con ello, justificar su dominio sobre los demás. 

Mil maravillosos mundos sin que dominen los buenos son posibles. ¿Te lo cuentan?

Controlar tus decisiones

Si quieres controlar y dominar tus decisiones atiende, estudia y cultiva tus estímulos e instintos, es decir, tu cuerpo y cerebro. Y deja tranquila a la tonta de tu consciencia, porque terminará haciendo lo que le dicte tu cuerpo.

Errar al juzgar erróneo

Nos preocupamos mucho por no equivocarnos al tomar una decisión, o al realizar una tarea determinada, y muy poco por no juzgar de forma equivocada sobre cuanto hayamos terminando  haciendo o decidiendo.

La debilidad juzga

Considerar que algo ha sido un error muestra nuestra debilidad y desventaja ante la situación acaecida, poco más. De hecho, en las derrotas se buscan errores y culpables hasta debajo de las piedras.

La fuerza juzga

Cuando nos sentimos pletóricos y victoriosos nada de lo acaecido nos parece ya un problema ni un obstáculo ni vemos ya tampoco error alguno. En la victoria todos se felicitan y sabe perfecto.

Juicios simples

Tendemos a los juicios simples, unilaterales, tácitos porque si los complicáramos un poco nos pondríamos ya a dudar y no nos permitirían actuar. 

El problema de la libertad de opiniones

Cuando al tener que tratar un tema empiezan a surgir opiniones dispares y diferentes el tema se complica, la duda emerge y la indecisión toma la riendas. Cuándo hay que tomar una decisión se fuerza siempre a llegar a un consenso.

Tomar decisiones

Tomamos decisiones para solucionar un problema de hoy. Sin embargo, con esta solución acabamos de plantar sin darnos cuenta la semilla del problema que surgirá mañana, pero nos quedamos tranquilos porque aún nadie lo vislumbra, dado que todavía no existe .

Solución sin solución

Muchas veces una buena solución consiste en no aplicar soluciones.

Resolver problemas

Para resolver un problema a veces lo mejor es generar uno de mayor; pues no pocas veces se cumple la máxima: cuanto más grande más torpe.

Vida contemplativa

Gran parte de la filosofía ha consistido en destacar y detallar el lado complicado e irresoluble de las cosas humanas. Con motivo ha molestado tanto a las gentes sencillas y laboriosas, quienes la han tachado de chachara inútil, ¡para señoritos!, puesto que tal divagación nos lleva a dudar y la duda nos asombra profundamente hasta paralizarnos. Eh aquí lo que se ha llamado durante milenios "vida contemplativa".

De como hablar a la gente sencilla

Con afirmaciones simples, tácitas, indubitables y que, por tanto, les aporten una acción rápida ¡Sea la que sea!

Mentalidades trabajadoras

Ser productivo para una mentalidad trabajadora y nada inteligente es estar haciendo algo ¡Lo que sea! Con motivo este tipo de gente nunca son los mejores para dirigir proyectos; todo lo basan en la fuerza bruta del trabajo.

Alcanzar la excelencia

Hacer lo máximo con el mínimo esfuerzo.

Verdad común

La gente sencilla toma por cierto y verdadero lo que se defiende por unanimidad, aunque esa unanimidad haya sido por consenso, imposición o azar, por engaño, necesidad o convención. La gente sencilla ni se atreve a ir contra la unanimidad ni mucho menos a reírse de ella, con lo cual se doblega ante ella.

Alma filosófica

Lo que ha distinguido a gran parte de los filósofos del resto de gente durante milenios es su tendencia vagabunda a sacar a flote el lado complicado, oscuro y profundo de las cosas, poniendo a todo el mundo nervioso. Sí, tienen esa extraña, incomprensible y a la vez fascinante convicción de que sólo a través de lo dudoso y complicado se puede alcanzar la luz, y con ella en mente, terminar realizando la mejor de las acciones.  

ADN de los filósofos

De la obra de los grandes filósofos sorprende apreciar esa espectacular mezcla de ingenuidad y sabiduría estrechamente hilvanada como una hélice genética, de modo que una no podría darse sin la otra.

Ambivalencia comprensiva

Todo se puede simplificar y a la vez complicar como si fuera una golosina.

Eliminar lo irracional de la vida

Simplificar y reducir la existencia, con toda su locura y complejidad, a un único principio fundamental ha sido la obsesión de todos los carácteres filosóficos. Y cuando han llegado a tal principio, el cual dicta "todo es uno", de repente se han encontrado con una idea irracional sumamente compleja y oscura de concebir y explicar: ¿Qué significa que todo sea uno? ¿Y qué es exactamente este uno?

Artista y espectador

Es muestra de suma inteligencia ser capaz de simplificar lo complicado y volver fácil lo difícil, de modo que es muestra de poca inteligencia atender sólo a lo simple y fácil.

¿Cómo medir lo complicado? 

Mediante la noción de azar.

El gran anhelo de la inteligencia

Llegar a simplificar el azar hasta volverlo completamente comprensible, preciso, simple, inteligible ¡Previsible! Por supuesto que se puede lograr tan titánica victoria, pero a costa de sacrificar la propia inteligencia y comprensibilidad. Pero, ¿no es eso paradójico?

Ética del azar

Lo complicado nos lleva a dudar, y la duda nos regala un dado para lanzar y decidir qué opción tomar. Pero pocos le saben jugar al azar sin perder los papeles.

 Postmetafísico

No existe nada por sí mismo, sino por contraste, de modo que cuando algo tiende peligrosamente a existir por sí mismo, de alguna manera, en algún sitio, en algún instante, tiende a autodevorarse hasta disolverse en muchos otros ¡Y al revés! 

La importancia de tener enemigos

Es vital tener quienes te contradigan, te limiten, te avasallen, te odien y teman, te quieran robar, destrozar, menospreciar y te envidien ¿No te sube eso la autoestima? En caso contrario uno se vuelve su propio enemigo... y se autodestruye.

Recuerda siempre

Vale la pena estar siempre tranquilo; tarde o temprano serás pasto del tiempo. Y tras del tiempo siempre  se oculta sibilina una inmensa incógnita.

Las palabras no hacen milagros

Que empleemos exactamente las mismas palabras y expresiones entre nosotros es puro convenio, aprendizaje y adoctrinamiento social, y para nada implica que mediante tal  imposición nos transmitamos de algún modo mágico las mismas ideas, pensamientos, experiencias o emociones. 

Recitar un poema de Machado no es revivir en nosotros lo que Machado experimentó al redactarlo. 

Del leer

¿Qué importa lo que pensara, sintiese o experimentara quien redactó y compuso lo que escuchamos y leemos? Vete a saber. En todo caso, sí importa atender qué somos capaces nosotros de experimentar, pensar y sentir al apreciarlo. Con razón resulta tan bello, recio y preciso cultivarse: uno aprende a experimentar, pensar, imaginar y profundizar por sí mismo, alimentándose de los demás.

De quienes se dejan engañar por las palabras

Desde antiguo las palabras nos llevaron a creer que existe una verdad común, universal, igual para todos, porque el convenio lingüístico nos genera la falsa impresión de que hablando nos entendemos, es decir, que mediante las palabras que todos usamos de ordinario estaríamos también compartiendo, de algún modo mágico o milagroso, las ideas y experiencias más íntimas de unos a otros. 

Si digo "verde" la gente cree de inmediato que mediante esta palabra le estoy compartiendo, o transmitiendo, una cierta idea concreta que experimento dentro de mí. Pero aquí nos engañamos como niños pequeños; como se engañan los espectadores más entusiastas cuando consideran que la camiseta hace al jugador ¡Que si se ponen la camiseta se vuelven ya ese jugador por arte de magia, porque la camiseta les ha transmitido "su alma"! 

Durante milenios se han tratado las palabras como si fueran reliquias; una superstición que aún domina la mente de las gentes de forma tiránica e intransigente.  

¿Cómo se comunican las ideas?

Cada uno percibe y atiende cuanto otros dicen y hacen, y sobre ello genera imaginativamente su propia interpretación sobre lo que supuestamente esos estarán pensando, sintiendo y experimentando. Así se comunican las ideas: como un fantasioso juego de interpretar y reinterpretar constante e ininterrumpido. 

Vemos, pues, el comunicar como un proceso inevitablemente creativo, metafórico y plástico. Hay siempre un abismo entre lo que los demás nos cuentan con palabras, colores, símbolos, sonidos y gestos, y lo que nosotros entendemos; y siempre entendemos según lo que somos capaces de imaginarnos y recrearnos ¡Nada más! Con razón lo que entendemos, y no entendemos, dice tanto de nosotros en un momento dado.

Literatura

Saber leer es un arte: el de imaginarte un mundo propio a través de lo que cuentan otros.

El renacimiento

Si el renacimiento superó en muchos aspectos a la antigüedad clásica fue porqué  algunos hombres peculiares del renacimiento, al leerlos, interpretaron a los antiguos de un modo que ni ellos mismos se hubieran imaginado.

Maestro y discípulo

Ningún discípulo jamás ha comprendido al dedillo a su maestro, aunque haya aprendido a recitarlo de memoria. Y de una escuela, una secta o una ideología suelen surgir otras. 

Se hace viejo

También la enemistad envejece. ¿Se volverá también más astuta y sabihonda como el demonio?

Maestría

El mejor maestro es el que ha actuado como el primer enemigo a batir. Pero son muy pocos quienes se atreven a ponerse a prueba ante sus discípulos. 

Futuro

Espera siempre lo inesperado, mientras te preparas para que suceda lo esperado.

Orgullo

El orgullo es una fuerza bruta. 

Someter y esclavizar

Haz que se sientan orgullosos de trabajar, luchar y sufrir, y sentirán vivir una vida libre.

¿Será el orgullo malo?

Quizás cuando se siente herido, pero de seguro cuando está muerto y ya huele a podrido.

De como matar el instinto de vivir

Pierde el tiempo aprendiendo cuanto no te permite cazar, devorar y asimilar la vida.

Vivir y sed de poder

Todo vive a costa de lo demás. Basta con crear una nueva institución para que ésta se dedique a rapiñar y alterar a la sociedad a fin de ir tomando peso dentro de ella.

Guerra pacífica

Gandhi hizo la guerra usando la inacción y la pasividad como arma de lucha ¿Cómo iba a estar Gandhi contra la guerra?

Qué fácil es pedir 

Son muchos que se llenan la boca para pedir la guerra, es decir, para luchar por lo que juzgan una causa justa. Piensan que por exhortar a los demás a luchar ya van a ganar. Salen al campo cantando victoria. Ilusos. 

Primera premisa de la lucha

Sabes como empieza una guerra pero nunca como va a terminar.

Segunda premisa de la lucha

Si te metes en una lucha, aunque pienses que defiendes lo justo y te valores como el bueno de la película, recuerda que puedes perder. En la lucha se gana y se pierde, y los juicios morales son, a lo sumo, un premio de consolación para perdedores.

Tercera premisa de la lucha

Nunca emprendas una guerra directa y total cuando de golpe entiendes que el enemigo ha logrado dominar los puntos clave y precisamente por eso querrías declararle la guerra. Ya vas tarde. 

Razones para luchar

Tener razones para empezar una lucha o una guerra nunca es motivo suficiente para hacerlo.

Motivos para luchar

¿Se te pone a tiro controlar ciertos puntos clave y de poder? Aunque creas no tener aún razones para luchar, es el momento de hacerlo. Luego tendrás razones, pero porqué ya será tarde.

Cuarta premisa de la lucha

Nunca lleves una lucha demasiado lejos; aunque creas tener razones para ello nunca hay motivo. Y una retirada a tiempo es media victoria. De hecho, es la verdadera forma de llevar la guerra "más lejos".

Quinta premisa de la lucha

El único motivo para luchar es ganar. Todo lo demás es dar un paso directo hacia la derrota.

Ganar la guerra

Evitando batallas se han ganado muchas guerras.

Ganar los buenos

En una guerra nunca ganan los buenos, pero los que ganan van chillando que ellos son los buenos. En Hollywood hay muchos de estos.

Guerra cultural

Los nietos de Marx han aprendido, quizás gracias a Gramsci, que las guerras de metralletas y misiles no son muy determinantes ni definitivas, sino que el más importante campo de batalla es siempre el cultural y ético, el espiritual, dado que ganarlo permite imponer un relato, el relato esclaviza la impresionables consciencias de la gente y éstas acaban empuñando las metralletas.

¿La ética progre va contra la vida?

Si quieres crecer y prosperar en la vida no te metas con los más fuertes, sino con los más débiles. Todos los depredadores siempre se alimentan de las víctimas más débiles e indefensas. Sólo en casos excepcionales y de extrema necesidad dejan de hacerlo. 

Sí, cazar es siempre una actividad sumamente arriesgada, pues al cazar te expones a perder la vida. Y sí, la vida vive de la cacería constante.

Ablandar piedras

Antes de luchar ablanda a tu enemigo y veras como lo cortas como mantequilla. Y, por contra, si ves que te están ablandando... ya sabes que vendrá después.

Carne de cañón

Lo que define a los esclavos y los conquistados de todas las épocas: no se les permite cazar ni luchar, y se les mantiene viviendo mientras interese. A los esclavos nunca se les permite ejercer la violencia, es decir, la libertad de acción.

Mala prensa del esclavismo

La vida ama la esclavitud, el servilismo, el estar atado y vivir a merced de otros. De hecho, la vida suele abandonar fácilmente a las aves que han crecido en cautividad cuando son liberadas.

Grandes problemas

Si se te abalanza encima un problema inmenso, apártate y que lo tome otro que se vea con fuerzas.

Pensamiento analítico

Ante un problema inmenso Julio César descubrió como solucionarlo con una frase lapidaria: divídelo y vencerás. 

Iniciar una empresa

Cuando inicies un proyecto empieza por lo más fácil de solventar y dominar; con ello iras ganando confianza y creciendo. 

La solución

La solución siempre consiste en atacar los puntos débiles para llevar el problema al colapso. Deja que los tontos se agoten atacando lo fuerte e inatacable por su enajenación moral y su heroico idealismo de pacotilla.   

El mundo de la felicidad

Así como el fuego gusta de consumir todo cuanto le rodea así los politoxicómanos y camellos te suelen invitar a formar parte de su mundo de la felicidad.

Someter mediante drogas y tóxicos

Los espartanos obligaban a sus esclavos iliotas a vivir apegados al vino, mientras ellos vivían del agua. Así ponían de manifiesto que eran de una raza superior y más digna.  

Doble moral

Quienes se respetan profundamente a sí mismos y gozan de alta estima tienen un código moral muy diferente de quienes se menosprecian y no quieren ni verse al espejo. Nuestros instintos más fuertes dominan  y configuran nuestras ideas aparentemente más objetivas, entre ellas, los valores morales.

Egoísmo objetivo

Estamos tan ensimismados en nosotros mismos que constantemente tomamos nuestras apreciaciones, sensaciones y afectos como si fueran las cualidades objetivas y metafísicas de las cosas: -El hielo es frío, los espaguetis a la carbonara están buenísimos y el capitalismo es injusto-. Emitiendo tales juicios nos creemos Dioses conocedores de los misterios metafísicos de las cosas, cuando éstos simplemente nos delatan como personas. Sí, nuestros juicios y valoraciones casi sólo hablan de nosotros. Por tan gran motivo nos resultan indispensables.

Misterios nihilistas de la vida

Si no hubiera verdad alguna en las opiniones humanas ello conllevaría que toda opinión humana sería siempre ficticia, artificial e irreal, con lo cual la opinión, y con ella el lenguaje y el pensamiento humano, resultarían absurdos, completamente absurdos. ¿Qué implica eso? Entramos de lleno en el nihilismo científico más oscuro y riguroso, que dicta: resulta absurdo intentar comprender la realidad ¡¿Para que seguir intentando conocer el origen de la vida, su destino, sus misterios y secretos si todo es falso?! 

Sin embargo, este nihilismo absoluto no dejaría de ser otra opinión ficticia, artificial e irreal más.

Constatación empírica

En toda constatación empírica hay mucho más de convenio y apreciación humana que de supuesta realidad objetiva y metafísica. Los hechos no nos muestran como son las cosas por sí mismas, sino como son las cosas según nuestras estructuras conceptuales. Y sí, cambiando tales estructuras cambia el significado y el valor de los hechos, incluso su forma. 

En fin, los hechos no son elementos innatos que nos vienen dados tal cual, sino que los configuramos. 

Pienso para ciudadanos posmodernos

Nadie tiene la razón

No se debe generalizar

No digas a los demás lo que tienen que hacer

Piensa por ti mismo

Decir verdades

Nunca juzgaré como mentira una mentira que me crea.

Utilitarismo científico

Hay mentiras que nos saben útiles y beneficiosas, incluso que nuestro cerebro de forma instintiva, silenciosa, pero agresiva considera irrenunciables para poder configurarse una idea de las cosas.

Diablillos contemporáneos

Durante la edad media tras los males del mundo las gentes sencillas siempre chillaban medio histéricas: ¡Es culpa del diablo!

Los socialistas ilustrados que surgieron de las revoluciones industriales nos han curado de ese miedo atávico al diablo como causa de los males del mundo, pero a costa de incentivar otra histeria: ¡Es culpa del capitalismo!

¿Qué es el capitalismo?

En esencia es un dejar que sea el dinero el que gestione los recursos hasta le punto de estructurar incluso las relaciones sociales. Y para nada es un movimiento moderno. Ya Platón lo identificó como el sustento de uno de los peores y más denigrantes sistemas políticos: la democracia.

El capitalismo como tiranía

Marx explica como el capitalismo financiero, que lleva a mercantilizarlo todo, se ha erigido como una de las más fuertes tiranías sociales, dado que no admite contrapoderes que le hagan sombra. Y en vez de pedir un contrapoder para poner a ralla esta sed de dinero sin sentido, mientras se saca a la vez provecho de su fuerza bruta, promovió su completa destrucción al sufrir los violentos efectos mentales de esa famosa alucinación metafísica suya: el comunismo.

Antídoto contra el capitalismo

Licurgo descubrió un muy buen antídoto contra el febril deseo por el oro de los tenderos: una educación viril, coherente y guerrera ¡Y unos 1.000 años perduraron implacables sus leyes! Platón tomó nota casi al pie de la letra. Aunque este "casi" es un poco laxo.

Por dinero

"Quien crea que con dinero podrá hacerlo todo, terminará haciéndolo todo por dinero", nos recuerda un sabio antiguo.

Esclavismo socializado

La deuda es la forma civilizada de explotar y esclavizar a millones de ciudadanos, obligándoles a seguir cada día en la carrera de la rata, pagar impuestos y mantener la maquinaria social en funcionamiento. Sólo unos pocos saben usar el endeudamiento como una forma de liberarse de cadenas y prosperar.

Malas personas

Hay muchas malas personas en el mundo, si es que tomamos como malas personas aquellas que te enseñan a temer, odiar o insultar la cosas diciéndote que son éstas las culpables de tu malestar, en vez de enseñarte a usarlas para tu beneficio y crecimiento personal. Y sí, abunda la mala gente hablando con suma inquina del dinero, el capitalismo y tantas otras cosas. 

El placer se ríe de la consciencia

No importa tener sumamente asumido que algo sea incorrecto, falso, o bien que te va a perjudicar y sufrirás luego; si tu cerebro se excita con ello al provocarle sumo placer, entonces te obligará a creerlo, seguirlo o a hacerlo sin ni que te des cuenta. Y tú, iluso, no vas a vencer jamás a tu cerebro desde esa enclenque y chillona consciencia tuya, que va de digna por la vida, no siendo en verdad más que una mocosa. 

Intentar tomar consciencia de las cosas para mejorar como persona no pocas veces no es más que consuelo de tontos.

No es lo peor

Decir de algo que nos ha hecho sufrir ni de lejos es lo peor que se puede decir de eso. Muchas veces es incluso un alago.

Egoísmo máquina

No queremos que nadie se muera, no porque nos importen las personas en concreto que puedan estar ante ciertos peligros, sino porque, en efecto, no queremos que nadie se muera.

De las matemáticas

De las matemáticas no sorprenden tanto sus verdades exactas, precisas, sus relaciones casi mágicas entre aspectos a primera vista dispares y ocultos, sino en especial el descubrir como en todos sus ámbitos presenta dudas abismales.

Bendita ignorancia

La gran suerte de las ciencias y el conocimiento, lo que nos lleva a apasionarnos por ellas, es darnos cuenta de que en el fondo no tenemos ni idea. Y cuando no tenemos ni idea de un tema, entonces resulta lícito desplegar nuestro ingenio para intentar crear nuevas ideas. 

Poderes superhumanos

Nuestro cuerpo y nuestra mente aguantan mucho más de lo que creemos, incluso de lo imaginable, pero nos da miedo tantear tales poderes en la medida que no creemos en nosotros mismos.

Mismos problemas de siempre

Los grandes enigmas de la física actual son parejos a los de la física griega. No han cambiado en 2.500 años: ¿Hay un origen de donde surgió todo? ¿Será este origen el puro vacío (Kaos en griego), o acaso lo indefinible (Apeiron) o bien el No Ser platónico como defiende Penrose a su manera? ¿Hay algún elemento fundamental que constituya todas las cosas? ¿Es posible hallar una teoría definitiva y completa para describir el mundo físico, o nuestras descripciones y teorías físicas nunca podrán dejar de ser hipótesis como defendía Parménides?  ¿Es el universo infinitamente novedoso o colapsa de forma cíclica para renacer de nuevo? ¿Existen infinitos universos distintos como defendían Anaximandro, Demócrito y otros? ¿Acaso el universo es guiado por una inteligencia ordenadora (Nous) que lo ha dotado de unas leyes determinadas, precisas, únicas y por ello comprensibles, o bien es puro azar, caos sin sentido e hijo de la fuerza bruta de las posibilidades?

No hay solución

Que haya preguntas que no tengan una respuesta buena y definitiva sólo es un problema para los buenos estudiantes. Para la vida es una puerta abierta a mil mundos distintos.

Soluciones elitistas

Mi solución a una pregunta sin una solución definitiva tiene siempre unas consecuencias propias. Con motivo no a todo el mundo le resulta lícito aceptar tal solución y sus consecuencias. No, no todo el mundo está preparado para aceptar ciertas soluciones al verse incapaces de asumir sus consecuencias, que incluso las juzgan como impensables. 

El pensamiento común

Que sobre las grandes preguntas existenciales no haya respuestas únicas, definitivas y buenas nos lleva a pensar que en tales temas no puede haber una verdad común que terminará, algún día, imponiéndose por sí misma a toda la humanidad. En efecto, vemos pues como ese viejo dogmatismo filosófico, con su emperifollada metafísica, cae a plomo.

Verdades comunes

Siempre podemos seguir construyendo un magnífico e inmenso edificio de verdades comunes y aceptadas para todos los que partimos de unos mismos principios y consideraciones. En este sentido, el objetivismo científico siempre es factible. Pero eso no significa que este objetivismo nos muestre las entrañas de la realidad ¡Y nos descubra su misterio! De hecho, y paradójicamente, llevando el objetivismo al extremo llegamos a la conclusión de que deben de haber verdades de la vida que se escaparán de nuestro sistema objetivo. Así se dieron cuenta Gödel y Wittgenstein, eso sí, cada cual a su manera.

Muchos mundos vs el mundo objetivo

Las personas no vivimos en un mismo mundo jamás. El mundo objetivo es siempre una artificialidad y una ilusión humana más, quizás irrenunciable, persistente y por ello harto creíble para muchos, pero poco más. 

Conocer la realidad objetiva

Para llegar a conocer la realidad objetiva antes hay que crearla. 

Desigualdades intelectuales

La edad moderna se puso a sermonear durante siglos que la razón era una facultad común a todo ser humano, por ser humano. En todo caso, esgrimía, lo que variaba de una persona a otra era su modo de emplear tan divina facultad. ¿Por qué se defendió semejante mentira? Por qué se creía que existía un mundo metafísico que emergía de una única razón universal, la cual era precisamente la fuente de la cual bebía la nuestra. Por tanto, se creía que la razón tenía que ser única e igual para todos al concordar con la razón del mundo... del mundo metafísico imaginado y soñado por esos dogmáticos.

Pero hoy sabemos que la capacidad de raciocinio y comprensión humana es sumamente dispar entre los individuos ¡Por no decir entre las distintas edades en un mismo individuo, como puso de manifiesto ya Piaget! 

En efecto, no todos los cerebros desarrollan las mismas estructuras cognitivas y por consiguiente, la capacidad de comprender las cosas resulta ser harto variopinta ¡Podemos crear distintas realidades objetivas! 

Y dado que, cuanto no puede ser triturado por nuestras peculiares estructuras cognitivas no existe para nosotros al sonar a hueco, se comprende, entonces, porque tantas veces hablando la gente no se entiende, o bien, hay conocimientos, y sabidurías, que resultan inasequibles para inmensas capas de la población.

Estructuras cognitivas

La noción de causalidad es una estructura cognitiva, así como la de azar o de infinito o de culpa y recompensa, la de sujeto-objeto, etc. Las estructuras cognitivas se crean y luego, se pueden transmitir mediante relatos, por ejemplo, si caen en almas abonadas a que florezcan en ellas. De hecho, cuando se lee un relato, acaso una novela, es factible identificar las estructuras cognitivas que la articulan entre las sombras y, por tanto, el tipo de visión del mundo que se propaga. Aunque quien lo haya escrito para nada sea consciente de todo eso. Con razón hay novelas que encajan tan bien con un tipo de público, otras con otro, etc...

El problema de la alta cultura

El problema de la alta cultura es que fácilmente al entrar en ella te vuelves sibarita, y luego te mal acostumbras hasta el punto de llegar a aborrecer la otra mayoría de creaciones a medio cocer que a uno se le presentan. La alta cultura nos vuelve sumamente injustos y exigentes: nos aísla del mundo de las gentes normales y su ruido perpetuo.

Cultura tóxica

La inmensa mayoría de literatura, cine, música, videojuegos, deporte, política, etc actual es sumamente tóxica a nivel emocional, precisamente porque su finalidad es buscar una intoxicación emocional ¡Es lo que vende! 

Gran parte de la población es adicta a las drogas: a los impactos emocionales. Sí, vivimos en una cultura que promociona el drogarse, es decir, el alienarse y perderse el respeto a uno mismo, el cual se muestra con la serenidad, la templanza y la dulce felicidad de una ingenua y natural moderación. 

Borrachos culturales

Hooligans, fanáticos, seguidores de, adictos, resentidos y crispados de la vida.... 

Las drogas más potentes

Quizás sea nuestro cerebro la máquina más potente de fabricación de narcóticos, como la dopamina, la adrenalina, etc. Y está lleno de gente adicta a sus propios chutes emocionales y por eso, esclava de su cerebro febril. 

Paradojas de la educación ilustrada

Hacer creer al pueblo que todos somos iguales: seres racionales, pensantes y por tanto aptos para comprender la misma idea del mundo. En otras palabras, se cree que si cualquiera se pusiera de inmediato a empollar la wikipedia comprendería, ya, gran parte de los misterios de la vida; volviéndose, con ello, una alma pura libre, sabia y justa. 

En tal sentido, se cree que nuestras diferencias cognitivas serían fruto, más bien, de las distintas oportunidades que hayamos tenido a que nos enseñaran o no las cosas. Y es que se ven a las personas como papeles en blanco: lo que acabará distinguiendo unos y otros es lo que logren apuntarse. De aquí la importancia, para las mentes ilustradas, de volver el conocimiento accesible: ¡Para rellenar esas cabezas huecas de cosas esperando que así se vuelvan sabias y dignas, libres y justas!

Sin embargo, parece como si el fácil acceso al conocimiento haya hecho de la mayoría aún mas boba  ¡Más sorprendente incluso! Parece como si una mayoría haya terminado por menospreciar el conocimiento, juzgando que no vale mucho o que no sirve de nada. 

La accesibilidad al conocimiento ha acentuado una insolente ignorancia entre parte importante de la población. ¿Cómo lo explican esto los ilustrados?

Suicidio objetivo

Lo curioso y a la vez fascinante ha sido alertar de sopetón como la propia ciencia moderna, objetivista y profundamente metafísica, ha descubierto que se fundamenta sobre la ficción, la mentira, el error y lo indemostrable ¡Cómo ella misma ha descubierto que sus propios fundamentos metafísicos son preceptos caducos que deben ser superados!  Pero le cuesta dar el paso... Démosle tiempo.

Nadie vive en la realidad

Vivimos en nuestras propias ficciones mentales, nuestros esquemas cognitivos, nuestras ideas. Y hay dos maneras de generar ideas: una de tóxica, deprimente, nihilista y sólo destacando su lado inútil y sin sentido, vacío y sin valor alguno. Y otra forma de generar ideas: vigorosa, estableciendo un valor, una utilidad, un poder ¡Volviendo las cosas apetecibles y seductoras!

Saber vivir

Es un continuo aprender a autoengañarse.

Proceso epistemológico

Toda idea es juzgada como un engaño y una ficción cuando sabe rara, chirría y no encaja con nuestros prejuicios más fuertes y bien asentados. En efecto, es por eso mismo que se suele considerar al principio una mentira y un engaño, un error o una solemne bobada. Pero si empieza a tener cierta utilidad, si nos proporciona ciertas ventajas y poder, y con motivo empezamos a introducirla en nuestros pensamientos excitados por las nuevas oportunidades cognitivas que nos brinda, terminamos por supeditar, de algún modo, nuestro pensamiento a su influjo. Y al pasar el tiempo ya no podemos prescindir de su aroma, compañía y su fuerza, de modo que se ha convertido en una verdad de pleno derecho.

De error en error hasta hallar la verdad

Nuestra mente vive de sus propios errores y con ellos crea nuestras ideas de las cosas.

Ideas de paja

Nuestras ideas más perfectas y ciertas son como monigotes de paja.

El mundo de las ideas

Nuestra mente crea su mundo de las ideas simplificando, manipulando y alterando de forma brutal nuestras confusas y complejas experiencias. No es que un concepto o idea sea más perfecto que lo que vemos realmente y se asemeja, como decía Platón, sino que nuestra mente coge lo real, lo pule a su antojo hasta volverlo lo más claro y simple para ser comprendido.

De cómo nuestra inteligencia genera conocimiento. 

Considerar que todo confuso contraste se compone de dos cosas o elementos en contraposición nos permite asentar la percepción del contraste en nuestra mente y que tome cuerpo, de modo que donde apreciamos contrastes nuestra inteligencia entiende que habrá partes, elementos o cosas distinguibles. Mediante los contrastes concebimos el mundo, pues, como una multiplicidad de cosas.

Por simplificación, entonces, consideramos que dos cosas que se asemejan comparten algo en común. Si dos cosas comparten algo en común entonces nos resulta viable pensar que existe algo que las hace iguales, y no pocas veces nos resulta útil exagerar tranquilamente y pasar sin pudor a tratarlas como idénticas. A fin de cuentas resulta factible para nuestra mente considerar que este "algo común" será su esencia, su identidad, es decir, una cosa propia de la cosa.  

Por simplificación nuestra mente adora generalizar: convertir los similar en ley y repetición, y a poder ser la ley más simple posible. Pues cuanto más simple más fácil de gestionar para nuestra mente.

Considerar que cuanto varia, cambia y se transforma de forma suficientemente lenta y casi imperceptible puede ser pensado de forma simple y fácil como si fuera algo sólido, fijo, estático y que mantiene su identidad consigo mismo durante el tiempo. Y nuestra mente disfruta alertando como esta capacidad de mantener su identidad consigo mismo durante el tiempo se puede abstraer y tratar como una idea: el principio de identidad. 

Del principio de identidad nuestra mente le resulta fácil creer e imaginarse el mundo como hecho de cosas sólidas, fijas, estáticas y que no cambian ¡Cosas que son lo que son! Pues lo que no cambia y se mantiene con el tiempo es fácil de ser manipulado y trabajado con la mente: lo podemos nombrar y definir de forma fiable, para luego compararlo con otras cosas que tampoco cambian, o combinarlo y relacionarlo sin problemas ¡Incluso dividirlo en partes menores! La lógica es, precisamente, la ciencia que estudia como nuestra mente puede jugar con lo solido, fijo y que no cambia. 

Finito versus infinito

Una forma de concebir la diferencia entre lo finito y lo infinito es que lo finito es el reino de lo sólido, fijo, bien definido y por ello, lógico; mientras lo infinito es el reino de lo fluido, confuso, lo nunca fijo y con motivo, metalógico. 

El reino de los castillos

La lógica humana no es más que un castillo de hierros y piedras. Son bonitos y confortables para nuestra comodona mente, pero más fascinantes son los castillos de agua o de fuego. 

Sectarismo

Toda sociedad actúa, a nivel espiritual, como una secta. Y no pocas veces como una secta destructiva.

Espíritus libres

Huir, menospreciar y asquearse del pensamiento sectario conlleva un no estar nada cómodo viviendo en sociedad.

Espíritus de la contradicción

Hay almas de naturaleza claroscura, como los fascinantes paisajes de Leonardo ¡Ahí tenemos a Michel de Montaigne, quien se nutría y crecía a base de contrastes! 

Estas gentes raras, excepcionales y crepusculares se vuelven buenos aprendiendo de los malos; se vuelven sabios aprendiendo de los necios; se vuelven sobrios y serenos aprendiendo de los histriónicos y politoxicómanos; se vuelven alegres y risueños aprendiendo de los amargados; crean sus verdades aprendiendo de las mentiras de los demás...  Aprenden, en fin, a emitir luz al enfrentarse a las más profundas tinieblas. 

Tendencia hacia el mal

Hay gente que tiene tendencia natural hacia la destrucción y el nihilismo por ser precisamente profundamente creativos. Crecen por contraste. Y las mentes metafísicas e idealistas nunca lo entenderán. 



 




 






viernes, 18 de noviembre de 2022

¿Los números irracionales existen...? Superfracciones para raíces cuadradas

 A raíz del post sobre el libro de Chaitin ya comenté la idea de cuestionarse la existencia de números irracionales y que unos pocos, como el propio Chaitin, empiezan a tantear.


Confieso que me fascina tan singular y raro tema. Y mi opinión ha ido evolucionando un poco estos meses, aunque siguiendo una línea más o menos marcada.

¿Qué es un número? 

A cualquiera le sonará ridícula semejante pregunta, dado que los números son lo que desde pequeños nos enseñan al contar; así el 1,2,3 o 4 por ejemplo.


Tenemos los números tan asumidos, integrados e interiorizados que ya no los "vemos" ni entendemos; como tampoco nos vemos a nosotros mismos sin que alguien nos acerque un espejo.

Pero la noción de número es un problema si nos atrevemos a tomarnos la molestia de observarlos de nuevo como si fuera la primera vez. A fin de cuentas, estamos ante una idea que costó milenios construirla, aceptarla, para luego interiorizarla poco a poco hasta esperar a que empezara a germinar y dar sus primeras flores. 

Según los griegos más antiguos, por ejemplo, los números se concibieron simplemente como relaciones proporcionales harmoniosas, es decir, "razones". Es una idea que surge directamente de esa extraña y maravillosa noción presocrática que Aristóteles llamó "arkhé" y Tales de Mileto introdujo en Grecia. Ésta dice: todo, aunque parezca diferente, variado, multiforme e, incluso, contradictorio, esconde un denominador común, una unidad común, es decir, un mismo origen o razón de ser 

¡Todo puede ser simplificado y reducido a una unidad común!

Sin embargo, entre la gente normal resulta más bien habitual definir los números, simplemente, como cantidades, pues los usamos para definir cantidades o magnitudes. Sí, eh aquí una definición circular y absurda, aunque útil y manejable para el día a día. 

De todos modos prosigamos: ¿y qué es una cantidad, una magnitud o dimensión? 

En esencia no es más que una  medida: un poner en relación de proporción algo con otra cosa, que acaso se toma arbitrariamente como la unidad de referencia. Desde luego estamos ante una creación artificial humana, una simple operación inventada por nosotros, pero como de ordinario nos olvidamos de ello resulta ya habitual tomarla como una verdad del propio mundo.

A partir de la edad moderna, con la introducción y estandarización de un alfabeto específico para expresar las relaciones proporcionales, la noción de número fue tomando cuerpo e identidad propia dentro de la psique del sabio occidental, cuya mente empezó a pensar de forma inconsciente e involuntaria: si escribo "1" es porque debe de existir algo concreto y preciso al que atribuirle dicha noción. Y puesto que en geometría ya se había concebido el punto como lo más concreto y preciso, ya para el s.XIX se concebían los números, no como cantidades, sino directamente como puntos imaginarios ordenados de menores a mayores. 

Por similitud a los puntos, pues, se pensó: dado que lo puntos se agrupan y ordenan geométricamente formando rectas imaginarias así mismo sucedería con los números: que se agrupan en una recta numérica imaginaria: la recta real

De hecho, cuando esos sabios modernos se imaginaban una recta cualquiera ya fantaseaban con ver allí sólo números ordenados dando valor a sus puntos constitutivos, pues el algebra moderno abierto por Descartes permitía imaginarse este tipo de escenarios sin dificultad. 


Con semejante representación numérica tenemos, pues, que cada número representa un punto ordenado y todos ellos conforman una recta numérica; por ejemplo, identificamos el 0 y el 1, separados por una distancia llamada "segmento [0,1]", y cuya longitud será precisamente la unidad (1). Por consiguiente, entre ambos puntos y por pura partición, división o fracción de esta unidad de longitud podemos identificar otros infinitos números/puntos más: así como el 1/2 ,  el   1/1387343   o bien el 7/53, es decir, todos los números del tipo y/x, siendo x,y números coprimos tales que x<y

Y aquí en medio surgió una gran duda: 

¿La recta de los números estará formada sólo por números fraccionados (racionales) o, acaso, entre dos números fraccionados inmediatamente consecutivos podrían existir otros tipos de números/puntos distintos, que, como tales, no sería números divisibles o fraccionados, sino literalmente atómicos? 

Demócrito con sus "indivisibles" se enorgullecida de haber sido el mejor matemático griego al ser el primero en solucionar el dilema de la división infinita ya planteada por Pitágoras por un lado y luego por Parménides y Zenón por otro. Pero contra Demócrito se levantó con suma indignación Platón y todos los matemáticos platónicos: desde Eudoxo hasta Arquímides.

Ya en "nuestra época", han sido Cantor y Dedekind quienes han justificado que sí, que los números atómicos, indivisibles y por ello irracionales existen y se "intercalan"  entre los números infinitamente divisibles. Pero tal idea ha sido puesta en duda por gente como Chaitin; al menos se duda de que los irracionales se encuentren en la recta de los reales intercalados entre los divisibles. 

Los números irreducibles o no-unitarios.

Quizás, con la noción de número nos topamos, básicamente, con un problema de representación, el cual nos lleva a problemas de comprensión. Al final, concebimos los números según los representamos y en base a ello, así los tratamos.

Para empezar, cabe observar que el primer problema de representación nos llega ya con los números racionales con infinitos decimales, así el 1/3 por ejemplo, que parecen irrepresentables como puntos de una recta, en el sentido de que no tienen una representación unitaria concreta en decimales: 

1/3= 0,3333333... ¡Resulta imposible partir una "unidad de longitud" en 3 segmentos exactos! 

Con razón a estas fracciones les debemos la primera paradoja aritmética:

3x0,333333333...= 0.999999... pero dado que 3x(1/3)= 3/3=1, entonces la duda es: ¿Cuál de los dos resultados va a ser cierto? 

No es difícil de justificar, sin embargo, que 1 = 0,9999999... utilizando las peculiaridades especiales del infinito. Eh aquí una demostración ejemplo típica y que se encuentra en la wikipedia:

Lo que ocurre es que tampoco es difícil justificar que 1 > 0,9999...

1 = (9 + 1)/10 es lo mismo que 10 - 9 = 1

1 = (99+1)/100 es lo mismo que 100 - 99 = 1

1 = (999+1)/1000 es lo mismo que 1000 - 999 = 1

1 = (9999+1)/10000 es lo mismo que 10000 - 9999 = 1

Y si llevamos esto al  infinito entonces tenemos que:

100....0 - 99999...9 = 1

Resulta fácil aceptar, visto así, que 1 > 0.99999. De hecho, y como ya se ha comentado tantas veces en este blog, Cantor suele tratar el infinito de este modo, es decir, intentando respetar el finitismo a través de esa exigencia interpretativa que impuso Hilbert a principios del s.XX, y que decía algo así: el infinito debe ser un reflejo fiel de lo finito. Por lo tanto, lo que aquí sorprende, una vez más, es apreciar como según qué tratamiento escojamos para operar con lo infinito, obtenemos dos posibles resultados de la igualdad. 

En cualquier caso, queda patente con la primera forma de tratar la igualdad, es decir cuando apreciamos (1/3)x3= 0.999...=1 que empleando la magia de los límites al infinito resulta factible pasar sin problemas de números inmedibles y con decimales sin fin, a números concretos y relativos a la unidad. Es como si pudiéramos utilizar dos tipos de representaciones equivalentes: una de unitaria (1) y otra de no unitaria (0.999...). Curioso.

Salta también a la vista otro aspecto: si bien mucho se habla de los irracionales el problema de la irracionalidad e inconmensurabilidad empieza ya con estas fracciones irreducibles a la unidad, dado que exigen que dividamos dos números que no se pueden dividir por ser coprimos.

1/3 nunca será divisible de forma exacta

Hecho que, curiosamente, no preocupó a los antiguos, al menos a los pitagóricos. Ya en seguida consideraron que este tipo de inexactitud se podía solventar, simplemente, cambiando el valor de la unidad, es decir, escogiendo de forma convenida el sistema de unidades

Y en efecto, si se toma por unidad un número supercompuesto, como sería el antiguo y fascinante sistema sexagesimal Sumerio (unidad=60), entonces muchas fracciones irreducibles en el sistema decimal devienen reducibles a la unidad sin problemas, dado que en el decimal la unidad representa el 10, y por tanto es un compuesto con sólo 2 factores: el 2 y el 5. 

Así pues por ejemplo, 1/3 es reducible a la unidad sexagesimal y puede representarse como 0,20. 

En sexagesimal 1/3 es una división exacta

Con razón, por ejemplo, Platón parece venerar el factorial de 7 (7!=5040) como unidad de media, al tratarse de un supercompuesto: tomando el 7! como unidad de medida social Platón, en la República, explica cómo es posible generar muchas particiones, grupos y subgrupos de forma exacta para el buen funcionamiento de la ciudad, tanto en tiempos de paz como de guerra (aquí un trabajo al respecto). ¡Y qué decir de Ramanujan y su pasión por estos extraños y escasos números, los supercompuestos (ver aquí un brillante artículo al respecto).

Los números irracionales

Pero después de estos racionales irreducibles llegaron las raíces, como raíz cuadrada de 2 o el número áureo. Se les colgó el nombre de irracionales porque no surgen de la división de un segmento unitario.

En efecto, las raíces no son fruto de dividir segmentos unitarios; no surgen de un fraccionamiento ni de la partición de una distancia entera ¡No surgen de dividir dos números naturales cualquiera! ¿De donde surgen pues? 



Geométricamente las raíces surgen de partir figuras más complejas: la raíz cuadrada surge de dividir un cuadrado o rectángulo por la diagonal; la raíz cúbica de fragmentar un cubo en un conjunto de subcubos, etc. Y el número áureo de ir dividiendo un rectángulo siguiendo la serie de Fibonnacci. 


Pero desde una representación algebraica surgen de una idea curiosa y sencilla:

-Para la raíz cuadrada de un número x:  Dado un número x cualquiera, entonces, hay que encontrar 2 números iguales que multiplicados entre sí den x.

-Para la raíz cúbica de un número x: Dado un número xcualquiera, entonces, hay que encontrar 3 números iguales que multiplicados entre sí den x.

-Para la raíz a la cuarta de un número x: Dado un número x cualquiera, entonces, hay que encontrar 4 números iguales que multiplicados entre sí den x.

etc,etc, etc...

Nota breve:

Esta definición aritmética me ha dado pie a pensar en una demostración muy simple sobre la irracionalidad de la raíz cuadrada de x, siendo x un número natural cualquiera no cuadrado, porque podemos entender la raíz cuadrada como la división de x por un número que será idéntico al resultado:

raíz cuadrada (9) = 9/3 = 3

Y también se puede demostrar la irracionalidad de cualquier raíz cúbica de x, siendo x un número natural cualquiera no cúbico, porque podemos entender la raíz cúbica como la división de x por un número cuadrado m que da por resultado raíz cuadrada de m:

raíz cúbica (27) = 27/9 = 3

Y de este modo es fácil generalizar la demostración para cualquier  tipo de raíz:


Así pues, queda demostrado que llamamos raíces a divisiones o fracciones ejercidas sobre objetos geométricos de 2 o más dimensiones.

Representaciones de las raíces

Bien, vemos como las raíces no pueden expresarse como divisiones simples de una dimensión, es decir, como un simple corte de segmentos enteros y, con ello, de la recta real. Ahora bien, parece ser que ya los griegos entendieron que pueden representarse como fracciones continuas o iteradas hasta el infinito de distancias enteras. ¿Y qué es eso? Iteraciones continuadas de división o fragmentación de una distancia. 

Un ejemplo de fracción continua para representar la raíz cuadrada de 2: 


Representar cualquier raíz cuadrada como una fracción continua al infinito resulta harto fácil. A mí mismo no me costó nada el otro día encontrar lo que luego descubrí que ya había sido inventado por el matemático italiano del s.XVI Rafael Bombelli (ver aquí). Y podemos resumirlo así de simple:


¡Pero más curioso aún! De algún modo Eudoxo, brillante discípulo de Platón, al trabajar la raíz(2) se dio cuenta de que su fracción continua podía representarse como una secuencia de fracciones concretas e irreducibles que cada vez se aproximaban, ya por la derecha ya por la izquierda, más y más a raíz(2). Con ello presentó lo que hoy conocemos como la escalera de Eudoxo:


Esta escalera pudiera parecer que preludia ya los trabajos de Dedekind, en la medida que nos presenta raíz(2) como un número que siempre estará intercalado entre dos fracciones, por más que vayamos acotando la distancia entre ellas hasta el infinito. Es decir: 
En efecto, de algún modo Dedekind, con sus famosas cortaduras expone lo que se puede interpretar de esta escalera de fracciones intercaladas: que si lleváramos esta desigualdad al infinito, entonces, a la izquierda, tendríamos en progresión todas las infinitas fracciones menores que raíz(2), y a la derecha todas las infinitas mayores; siendo precisamente raíz(2) el punto atómico al infinito de estos dos conjuntos de fracciones.
 


A partir de esta idea, y los posteriores trabajos de Cantor, los matemáticos pusieron sobre la mesa la hipótesis del continuo; que dice: ¿realmente la recta real está llena de puntos, o habría vacíos?

La recta real y el continuo

Con las cortaduras de Dedekind parecía demostrarse que la recta real está constituida íntegramente por puntos/números ordenados de forma inmediatamente consecutiva uno tras otro: cada cortadura sería un punto de la recta, y cada punto un número -los racionales serían números concretos, mientras los irracionales, como raíz(2), serían números que andan escondidos entre los racionales y que sólo podemos alcanzar la llevar los racionales al infinito. Así pues, con las cortaduras de Dedekind se justifica que la recta real sea continua.

Ahora bien, llegó Cantor, que interpretaba el infinito ya no como un límite, sino como un alcanzar un estadio final que reflejaría todo lo finito. Bajo esta manera de interpretar el infinito desarrolló, primero, su famoso teorema para determinar el tamaño de todos los conjuntos potencia, incluso el de los conjuntos infinitos. Y ante el curioso resultado obtenido se puso a comparar los tamaños de distintos conjuntos infinitos, justificando con su método que el conjunto de los infinitos racionales era de un tamaño inferior que el conjunto de los infinitos irracionales. A partir de aquí Cantor construyó una jerarquía de infinitos infinitos.

En efecto, Cantor justificó que si bien habría infinitos números irracionales e infinitos números racionales, el conjunto de los infinitos irracionales ha de ser de un grado mayor que el de los racionales; que serían infinitos en grado 0. En otras palabras, Cantor presenta la existencia de infinitos con distintos tamaños, unos con un grado de infinitud mayor que otros, y donde el conjunto de los números racionales representarían el grado básico, o cero, de infinitud; mientras el conjunto de los irracionales, en principio, representaría el grado 1 de infinitud ¡Siempre y cuando la recta real fuera continua! 

Esta es la hipótesis del continuo: si existiera un conjunto infinito de números distintos a los racionales y a los irracionales que fuera mayor que los racionales pero menor que los irracionales, entonces, los infinitos irracionales pasarían a ser de grado 2, por decirlo de forma fácil, y ello conllevaría que la recta real no sería continua: contendría espacios vacíos. 

En cierta forma, pues, Cantor pone en duda el trabajo de Dedekind, que dejaba claro que la recta real era continua y sólo estaría formada por racionales en lo concreto; y por irracionales al infinito. Y, ¿por qué lo pone en duda? Porque Cantor trabaja bajo la ilusión de una idea del infinito muy peculiar. Una idea que haría revolver de sus tumbas a Platón, Eudoxo, Euclides o Arquímides, pero que fascinó a los matemáticos del s.XX y XXI.

Esbozo breve sobre lo infinito

No hay nada más antigriego que ese idealismo germánico del s.XIX promocionado por Hegel y que conquistó parte de la Europa moderna, según el cual se podría trascender lo finito a caballo del infinito hasta alcanzar las entidades metafísicas: acaso los números en sí mismos como puntos o entidades atomizadas y aisladas de todo.  

Es cierto, que siendo joven Platón nos presentó por primera vez la metafísica con su mundo de las ideas como entidades en sí mismas que se encontraban tan lejos de nuestra mundanidad concreta, relativizada y limitada por multitud de circunstancias, que resultaban inalcanzables sin la ayuda la la "manía" divina. Sin embargo, en sus diálogos eminentemente más matemáticos y maduros, como el Parménides, el Sofista, el Teeteto o el Timeo, Platón parece replantear de raíz esa primera dialéctica trascendental, tachándola de ignorancia juvenil.

Ahora bien, la evidencia más fuerte que nos lleva a pensar que Platón dejó de creer por completo en la trascendencia quizás nos la encontremos al analizar las ideas matemáticas de sus discípulos, Eudoxo y Euclides, ¡por no decir Aristóteles!, quienes, ya niegan sin tapujos que el infinito sea un salto trascendental al vacío sideral: al mundo de las cosas en sí. No, el infinito no sería un salto que nos permitiese ir de lo particular a lo universal, de lo aparente a lo esencial, de lo imperfecto a lo perfecto, de lo condicionado a lo incondicionado y libre ¡Y mucho menos sería una cantidad! 

¿Fue el propio Platón quien descubrió otra forma de entender lo infinito o acaso la aprendió de otros y, entonces, la usó para replantear todo su pensamiento? Es difícil saberlo, pero a partir de Platón y sus trabajos de madurez, el infinito deja de concebirse como algo a alcanzar entre la inmensa mayoría de matemáticos griegos ¡Ya no se concibe como un estadio al que llegar mediante un salto inmortal definitivo! 

A partir de ese momento, primera mitad del s IV ac, el infinito deviene, sencillamente, una forma de tratar las ideas ¡Un poder! El poder acercarte o alejarte de una idea tanto como se quiera; el poder crecer o empequeñecerse tanto como se quiera; el poder romper o recomponer una idea tantas veces como se quiera ¡Y nada más! 

En definitiva, a criterio de los antiguos platónicos el infinito sería, en exclusivo, una potencialidad, jamás una realidad; como sí los parece ser para Cantor y Hilbert. Y no me escondo: me sorprende que se hayan tomado en serio los trabajos de Cantor sobre el infinito, dado que niegan la noción matemática de "límite al infinito" heredera directa, precisamente, de los antiguos al definirse como pura potencialidad: un poder acercarse a algo tanto como se quiera, y nada más. 

Y me sorprende aún más cuando Cohen, a mediados del s.XX, dejó patente que la hipótesis del continuo resulta completamente trivial. ¿No pone eso ya de manifiesto que el propio trabajo de Cantor no nos dice nada esencial de las matemáticas y sólo presenta una interpretación entre otras posibles? 

Mejorando la escalera de Eudoxo: la superfracción.

Honestamente, no quería extenderme tanto con este post, pero una cosa me ha llevado a la otra y, ahora mismo, me parece adecuado contar algo que me quería guardar un tiempo más. Así pues, lo dejo y ya está. 

Es curioso como funciona la mente porque cuanto acabo de escribir viene a coalición de ciertos "juegos" matemáticos que llevo realizando estos días por mera curiosidad sin haberme preocupado por los intríngulis que acabo de escribir. Es decir, lo que voy a contar es fruto, sólo, de pasar el tiempo buscando distintas formas de representar un número cuadrado, para luego jugar a buscar formas distintas para resolver raíces. No había ninguna pretensión más que un pasatiempo. Y sólo ahora que he encontrado, sin más, algo quizás interesante me doy cuenta de todo lo que he apuntado a vuelapluma en este post.

Lo primero: tanteando distintas formas de resolver raíces he encontrado una escalera alternativa a la de Eudoxo para raíz(2). Vale decir que desconocía este trabajo del griego, hecho que me ha permitido entrar un poco más a fondo en su pensamiento al alertar que él ya había descubierto algo similar hace 2.500 años. Y sí, un tipo muy interesante el discípulo de Platón.

Mi escalera es esta:
Y si recordamos la de Eudoxo es la siguiente:

A simple vista parecen de algún modo inversas: los denominadores de mi escalera son los numeradores de la de Eudoxo. Y ambas "persiguen" el valor de raíz(2) mediante una aproximación alternada de valores. 

Además, se observa como ambas escalas se pueden construir mediante una misma fracción algebraica generatriz; ésta:


Ahora bien, por lo que he podido leer no parece que Eudoxo, ni otros como Rafael Bombelli, que según parece también trató los trabajos de Eudoxo, hayan hecho ya mucho más al respecto. Pero me parece a mí que sí es posible hacer algo más. De hecho, parece posible hacer dos cosas más:

1) Generalizar esta fracción algebraica para todas las raíces cuadradas.
2)Encontrar una superfracción algebraica general capaz de definir todas las raíces cuadradas.

1: Para generalizar esta fracción algebraica sobre todas las raíces cuadradas simplemente hay que partir del método de Bombelli para generar fracciones continuas sobre raíces cuadradas y convertir cada paso en una fracción, tal que así:

2)Para hallar una superfracción general basta con desarrollar algebraicamente lo anterior de tal forma:

Pongamos 2 ejemplos tomando la superfacción a s = 7:



OBSERVACIONES:

Lo primero que salta a la vista es que definimos la raíz cuadrada de un número no cuadrado como el límite al infinito de la superfracción

Ya hemos comentado como el límite al infinito matemático es una noción en esencia platónica y significa potencialidad. Con lo cual, el límite de la superfracción cuando "s" tiende a infinito significa que "s" puede crecer tanto como se quiera, de manera que resulta la mar de fácil pensar en modo platónico total y deducir, de ello, que la fracción puede dar valores tan próximos a raíz(2) como se quiera. Aunque, eso sí, el límite para nada significa que "s" tenga que llegar a un punto infinito donde la fracción adquiriría, entonces ya de golpe, un valor final metafísico y de por sí: el propio valor de raíz(2).

Excepto las mentas más lógicas, la mayoría suele interpretar el límite matemático a lo platónico. Pero quizás aquí sería interesante pensarlo de forma algo distinta; a saber: que al tender "s" a valores cada vez mayores el propio valor de raíz(2) se va haciendo más preciso ¡Va tomando cuerpo y creciendo! Pues, quizás, valga la pena presuponer que no preexiste un valor de raíz(2). Es decir, quizás sea interesante partir de una visión algo más constructivista o bien, operativista.  

En los trabajos de Dedekind se aprecia sin dificultad como el alemán hace una interpretación matemática basada, estrictamente, en esta idea platónica de límite cuando apunta que un número irracional vendría a ser el límite al infinito de un conjunto de fracciones. En otras palabras, como platónico interpreta este límite como un aproximarse más y más hacia un punto concreto y con valor propio ya preexistente, al que llama cortadura. ¿Acaso no es eso vendernos como real algo que, matemáticamente hablando, sólo sería una pura potencialidad?

En cualquier caso, a nivel matemático definir los irracionales como límites al infinito de conjuntos de racionales parece ser perfectamente coherente y evidente con solo observar las fracciones continuas, la escalera de Eudoxo o la superfracción aquí presentada. En este sentido no habría ningún problema en concebirlos, ya no como puntos con un valor prefijado y concreto de antemano a los que aproximarse, sino como puras potencialidades.

Ir al límite

Cada cual lee y comprende las cosas a su manera. Las nociones matemáticas no son ninguna excepción, aunque haya un control férreo en intentar establecer consensos amplios, claros y firmes para definir sus conceptos de forma que sean aceptados para todos los matemáticos y así intentar evitar lo inevitable: que en las matemáticas surjan destellos arbitrarios y discutibles, dando la imponente sensación de mostrarnos la divina certeza que esconderían las cosas.

Lo reconozco, a mi parecer la visión de Cantor sobre los infinitos no me sabe mal. De hecho me resulta fascinante y quizás útil en ciertos ámbitos; por el ejemplo el computacional. Simplemente destaco que no es la única. Además, me extraña que se haya tomado en serio durante un siglo largo, como ya he comentado, cuando abandona impunemente la noción de límite en la interpretación que hace del infinito para, luego, interpretarlo empleando métodos finitistas; como por ejemplo la diagonalización. 

En tal sentido, me parece que Cantor trata el infinito más bien como un lógico, es decir un mecánico del pensamiento, y no como un matemático, cuando nos lo presenta como si fuera una entidad coherente, precisa y bien estructurada; en vez de tomarlo como pura potencialidad.


En tal sentido, tratar "el límite al infinito" como pura potencialidad nos permite pensar y definir los "números irracionales", ya no como números reales, es decir, como supuestos puntos sutilísisimos escondidos en la recta real entre los racionales, sino como valores potencialmente emergentes de entre los racionales, los cuales a su vez serían valores potencialmente emergentes de entre los reducibles a la unidad, es decir, los números divisibles de forma exacta. Éstos, entonces, ya sí serían los únicos números reales por estar perfectamente definidos.

En fin, seguramente sea inevitable tener distintas formas de interpretar lo infinito, y aunque quizás la de límite sea de las más potentes no es la única posible, como muestra Cantor. Es más, quizás incluso serían posibles otras formas aún inauditas de interpretarlo, tal y como de algún modo parecen vislumbrarse entre algunos trabajos de Euler, Riemman o Ramanujan. 

Crítica a los números

Acabamos de ver como Dedekind se basa en un prejuicio principal ya muy antiguo: que las raíces son números, que los números son puntos aislados y con valor propio, y por consiguiente deben de ser visualizados como átomos constitutivos de la recta imaginaria que se llama "real" y que mediante nuestras operaciones al límite podemos aproximarnos a ellos tanto como queramos. 

A mí parecer, no estamos ante puntos ni tan siquiera ante valores prefijados; simplemente estamos ante puras operaciones. Operaciones que no nos han caído del cielo, sino que las hemos creado nosotros, perfeccionándolas, en la medida que nos han sido frutíferas y necesarias, inquietantes, incluso atractivas.  

Entiendo que no somos conscientes de que, cuando decimos "raíz(2)", no estamos anunciando ningún número, sino dando una orden para llevar a cabo un tipo de operación muy concreta. Y en este caso, son operaciones de cierta complejidad que, para hallar un valor fijo, no podemos reducirlas a operaciones más simples como una suma o una resta ¡Ni tan siquiera la podemos reducir a una simple división irreducible equivalente! Este pensamiento me ha llevado a las siguiente reflexión:

Los números son definidos por operaciones, nunca por supuestos valores intrínsecos y esenciales.

Ya en algún otro post había tanteado por encima la siguiente idea:
 
Los números son operaciones y toman valor como operaciones. Sé lo que vale 3 cuando sé que representa ciertas operaciones posibles. Por ejemplo al definir la siguiente operación: 4 - 1 = 3 = 2+1, queda claro y sin duda alguna que 3 es un valor una unidad menor que 4, y una unidad mayor que 2. 

Son las operaciones, pues, que determinan el valor y la magnitud, el orden y la naturaleza de lo que llamamos números. De hecho, cabría pensar que los números no son más que una operación. 

Preguntarse: ¿qué número sigue de forma inmediata al número 3? Es una pregunta sin sentido, a no ser que establezcamos una operación que la defina de forma precisa y clara, como hemos hecho arriba al decir que el 4 sigue de forma inmediata a 3, al tener la acción "inmediata" aquí mismo definida mediante la noción de unidad. Si no está definida una operación de orden no hay forma de saber cuál es el número que sigue a 3 de forma inmediata. Tan siquiera pensarlo ya resulta, de hecho, completamente absurdo.

Es cierto que siempre podemos introducir nuevas operaciones y redefinir este "inmediato" considerando que entre 4 y 3 habrán otros números. De hecho, potencialmente podríamos definir que habría una infinidad al estipular que podríamos sacar tantos como quisiéramos. Pero para pensar eso hay que generar una operación para definirlo, acaso una operación de límite, y sólo a través de ella tomaría sentido lo que decimos. 

Axiomas para determinar los números naturales como operaciones
 
Impulsado por la curiosidad despertada al jugar con estas ideas, raras, selectas y profundamente filosóficas, estos días he perdido un poco el tiempo desarrollando algunos axiomas para fundamentar la aritmética. Son axiomas algo distintos a los famosos de Peano (ver aquí), que parten de la idea de que ya preexiste un número natural llamado "unidad de los naturales". Pero Peano no definen las propiedades de este primer número natural llamado "unidad de los naturales". Se limita a decir que es un número natural (y vete a saber qué significa eso) y que no es sucesor de ningún otro número natural: 


Dado que esta "unidad de los naturales" no está casi definida en Peano, entonces no queda claro si estamos hablando del 1 o el 0; además de presentar otras muchas oscuridades. Los axiomas de Peano saben rudimentarios. Sin embargo, vale destacar como este sistema axiomático ha sido usado por los lógico-matemáticos durante 150 años como pilar sobre el que justificar gran parte de sus trabajos de axiomatización matemática. Sí, lo rudimentario es siempre fácilmente manejable si funciona un poco, pues no es muy complicado.

Dicho esto me sabe preciso añadir algo más. El intento de axiomatizar la aritmética viene ya de muy lejos: en el Parménides Platón presenta una axiomatización de la aritmética empleando un lenguaje "filosófico" como ejemplo, precisamente, de la importancia de axiomatizar el conocimiento para acceder a la certeza. En efecto, la axiomatización matemática ha sido una gran contribución platónica; al menos así se aprecia en el trabajo que nos ha llegado de su discípulo Euclides. 

Esquema sobre el Parménides de Platón sobre las hipótesis de lo Uno

Todo seguido, cuelgo una axiomatización muy sui géneris basada en la idea de que un número natural es una operación muy concreta, además de básica, y de como a partir de ella se desarrollan las demás operaciones que llamamos números -hasta las raíces. Ver axiomatización aquí

Lo más simple es siempre lo más difícil de definir.

Aquí termino el post, dejando una idea que servirá para empezar otro día: no es fácil definir qué es un número natural y cómo de tal definición, luego, se puede lograr definir gran parte de la matemática como un juego de operaciones.  Y no es fácil porque para definir los números naturales es preciso definir, antes, "qué es la unidad natural", lo común a todos los naturales y por tanto, a lo que todos ellos pueden ser reducidos.

Y así mismo sucede también en geometría. Lo más difícil de definir ha sido el punto, hermano gemelo de la unidad y del número para los matemáticos durante los últimos siglos. Y la forma que tenemos ahora de definirlo es empleando aún un grado importante de indefinición. Por tal motivo, he empezado a esbozar unos axiomas geométricos para definirlo de otra manera, pero ya veremos...