Ya he hablado varias veces sobre mi amigo Cantor en el blog. Y mi inquietud es:
¿Por qué a lo largo del s.XX y XXI se han tomado en serio sus trabajos sobre el infinito?
Ante semejante pregunta cualquiera me podría esgrimir simplonamente y con menosprecio: -pues, porqué sus tesis se demostraron-. Por supuesto no estoy de acuerdo.
En matemáticas, a diferencia de las ciencias naturales donde nunca se demuestra nada, hay 3 formas para demostrar una afirmación:
1) Mediante un ejemplo, o bien un contraejemplo que confirmen o refuten la afirmación.
2) Por inducción, es decir, identificando como tal afirmación se sigue de una ley o regularidad matemática establecida.
3) Por reducción al absurdo: se supone al principio que la afirmación es cierta/falsa, se buscan las consecuencias e implicaciones de ello hasta que se alcanza una contradicción, con lo cual lo cierto es lo contrario de lo que se había supuesto al principio.
Las demostraciones de Cantor usan la forma 2 y 3. Lo cuento:
Cantor siempre empieza estableciendo una suposición inicial para un caso concreto "a", deriva sus implicaciones hasta constatar que se produce una contradicción y por tanto, que para tal caso la suposición inicial no puede ser cierta.
Luego, por inducción, Cantor constata que también sucede lo mismo para el caso siguiente "a+1", y para el siguiente "a+2", y también el siguiente "a+3"... Y de tal modo se constata que así sucederá para todo caso posible: "a+n", siendo n un número natural cualquiera.
Un ejemplo de ello lo tenemos en el famosísimo teorema de Cantor, base de toda la teoría de conjuntos y que fundamenta la computación.
De manera informal el teorema dice:
Tenemos un conjunto formado por un número finito "a" de elementos. Por ejemplo, tenemos el conjunto finito "números naturales hasta el número 3"; lo llamamos A={1,2,3}
Este conjunto tiene "asociado" su conjunto potencia, P(A), que se define como el conjunto de todos sus subconjuntos posibles, o dicho de otro modo, como el conjunto de todas las posibles relaciones entre sus elementos. Aquí tenemos los subconjuntos:
Aa={0}
Ab={1}
Ac={2}
Ad={3}
Ae={1,2}
Af={1,3}
Ag={2,3}
Ah={1,2,3}
El conjunto potencia de A será, pues, P(A)={{0},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} ¡Tiene 8 elementos!
Cantor demuestra como resulta contradictorio defender que un conjunto de 3 elementos sea mayor que su conjunto potencia; que luego también resulta absurdo afirmar que un conjunto de 4 elementos sea mayor que su conjunto potencia; y así también con uno de 5 elementos, 6.... o mil trillones de elementos. Es decir, demuestra que para un conjunto con un número finito cualquiera de elementos siempre será absurdo afirmar que sea mayor que su conjunto potencia.
Hasta aquí, matemáticamente hablando, no le veo mucho problema a la demostración de Cantor. El dilema sobreviene cuando se aprecia cómo de este resultado Cantor lo extrapola al infinito ¡Hace un salto trascendental! Es decir, pasa de considerar un conjunto finito, aunque con cualquier número finito de elementos, a un conjunto de infinitos elementos. Y con ello "descubre" por primera vez que habría infinitos mayores que otros.
Entiendo que tamaño salto o no se puede hacer matemáticas, o al menos, que es posible desarrollar una matemáticas coherentes y fructíferas sin tales saltos.
El salto de Cantor
Confieso que me tiene fascinado este salto trascendental que hace Cantor. En especial porque es un ejemplo de puesta en escena en el teatro matemático de una vieja idea filosófica: Cantor aplica, sin más, el idealismo hegeliano en el campo de los conjuntos, y a las matemáticas en general. Y los que hemos leído un poco de filosofía recordamos cómo contra esta idea hegeliana de tratar lo infinito como la síntesis inductiva de todo lo finito ya se había levantado con furia desbocada Schopenhauer, maestro de todos los pensadores intuitivos de finales del s.XIX y principios del XX.
"Un charlatán tan soporífero como Hegel pasa por un gran filósofo. Ahí está la filosofía alemana sirviendo de burla a los extranjeros, rechazada por los verdaderos sabios, como una ramera que, por vil precio, hoy se vende a uno, mañana a otro, y los cerebros de la actual generación de estudiosos, desorganizados por los absurdos de Hegel; incapacitados para pensar, incultos y atontados, presa del vulgar materialismo, que ha brotado del huevo del basilisco. ¡Buen provecho! Y vuelvo a mi asunto" —Schopenhauer, La cuádruple raíz del principio de razón suficiente", Prólogo (escrito tardíamente en 1847).
Aquí Cantor, pues, razona del siguiente modo: Si para un conjunto de 1 elemento se cumple que debe de ser menor que su conjunto potencia, y lo mismo tiene que suceder para un conjunto de 2 elementos, y para uno de 3, 10, un millón o cualquier otro conjunto por mayor que pensemos, entonces así será siempre y para todos los infinitos conjuntos finitos posibles.
De modo que, sigue razonando Cantor, si los infinitos conjuntos finitos posibles cumplen la inducción también lo hará el conjunto infinito que los contiene, los refleja y representa a todos a la vez como si fuera un huevo de basilisco. Y sí, esto es un razonamiento hegeliano.
Y con tal razonamiento Hilbert sonríe satisfecho porque con Cantor se puede intentar desarrollar su idealismo matemático (el finitismo), mientras los matemáticos más intuitivos se horrorizan y lo tachan de cháchara teológica.
De lo finito a lo infinito
Toda la metafísica occidental va de pasar de lo finito a lo infinito, y viceversa. Resulta fácil y habitual concebir lo infinito como lo absoluto, es decir, como el conjunto de todo lo finitamente posible. Por ejemplo así hacemos con el conjunto de los números naturales:
-A partir de la unidad (el 1) todos los números naturales posibles son siempre números finitos, por muy grandes que sean.
-No hay un número natural último, dado que a cualquier número natural por mayor que sea siempre se le puede añadir un uno más.
-Por tanto pasamos a pensar que hay infinitos números naturales, es decir, solemos concebir los números naturales como un TODO (algo absoluto) de infinitos elementos finitos.
De tal guisa concebimos de forma rudimentaria los números naturales como un conjunto (un Todo) ordenado de infinitos elementos. Con ello, al menos a nivel psicológico, ya se gestiona lo infinito como un número, como un conjunto, como "algo" que contiene a todos los números naturales en su seno.
Cantor pasa olímpicamente de la idea de límite al infinito
Ya he comentado muchas veces como desde la madurez de Platón, en matemáticas, el infinito se concibió, ya no como una cantidad o la propiedad de una entidad, sino como una potencialidad: un poder acercarse o crecer tanto como se quiera. Nada más.
Cantor se olvida por completo de esta idea. Hecho es, que mediante la idea de límite al infinito ya hace un par de años (ver) no me costó nada demostrar como el teorema de Cantor no se puede aplicar a conjuntos infinitos, por ejemplo al conjunto de los naturales. Aplicando la idea de "límite al infinito" la inducción hace aguas por doquier; pues la contradicción sobre la cual Cantor articula su teorema queda disuelta por la propia fuerza del límite al infinito.
En resumen, las demostraciones de Cantor atentan contra las ideas básicas que articulan la teoría de límites y el cálculo infinitesimal. Pero, ¿es esto realmente un problema para las matemáticas?
¿Por qué se tomó en serio el trabajo de Cantor?
Al principio, por la promoción que le propició Hilbert, un matemático sumamente influyente a principios del s.XX.
Hilbert vio en Cantor la luz para alcanzar su soñado finitismo, es decir, para convertir las matemáticas, y el conocimiento en general, en un mero mecano-lógico basado en una simple tautología fundamental.
Pero años más tarde porque el finitismo se mostró como la forma matemática más manejable para desarrollar la computación. De hecho, la base de los primeros teoremas de la computación son, en no poca medida, los trabajos de Cantor. De modo que estos teoremas adquirían estatus de verdades demostradas, simplemente porque hacían posible a nivel teórico el nuevo mundo de la computación que ha terminado dominando nuestra sociedad.
¿Cómo ven el infinito las máquinas y computadoras?
La peculiaridad de las máquinas computacionales, su forma de procesar datos, es en esencia finitista. Las máquinas no tienen imaginación, ni sensualidad irracional, ni tampoco se ven dominadas en silencio por las expectativas; además de mostrarse muy torpes tratando lo contradictorio, como se manifiesta en el problema de la parada: ¡Ante una contradicción se "cuelgan" sin más y ya está! Nuestra mente, en cambio, está fuertemente habituada a vivir en medio de tan grandes salvajadas ¡Si tiene que obviar, manipular y tergiversar de algún modo las contradicciones para seguir andando lo hace sin miedos! Y de aquí nuestra creatividad característica.
Por ejemplo, una máquina es incapaz de inventarse un tipo de magia conceptual como la que se saca de la manga Euler en su "Análisis Infinitorum" con sus "cantidades tan grandes o pequeñas como queramos".
En tal sentido, como ya vimos el otro día (ver), para una máquina el número 0,999999... no puede ser jamás 1 porque de los infinitos números decimales finitos posibles del tipo 0,999...9 ninguno es nunca 1, de modo que por inducción 0,99999... tampoco lo puede ser. Ahora bien, desde una óptica intuitiva no hay problema en igualar 1= 0,99999.... Del mismo modo que no hay problema en gestionar una suma de Cesàro ¡O los sumatorios de Ramanujan!
Distintas matemáticas
Después de todo este tiempo reflexionado sobre tan raros y exclusivos temas voy formando la siguiente idea al respecto:
Es posible desarrollar dos tipos de matemáticas, por así decirlo:
a) Una de computacional, finitista, lógico-mecanicista y por tanto, que siga las directrices de Cantor, con todas sus limitaciones demostrativas (teoremas de incompletitud de Gödel, de parada, teoría de modelos, etc) y sus especificidades.
b) Otra de intuitiva y creativa que toma el infinito como una potencialidad, incluso como un movimiento y por tanto, como algo que ni es lógico o estructurado ni tampoco contradictorio y absurdo, sino otra cosa distinta. A fin de cuentas el infinito, visto como límite y potencialidad, suele disolver todo absurdo y contradicción que se da en lo finito.
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