377

Artículo ampliado el 17/02/23

Artículo siguiente: el metro como unidad del alma humana

A veces en matemáticas hablamos de números especiales por presentar unas propiedades muy particulares, así el 0 o 1, como unidad; o los números primos, los triangulares o los de Fibonacci.

Incluso números aparentemente sosos e intranscendentes se vuelven, para una mente matemática superba, sumamente singulares; como así nos lo recuerda esa anécdota de Hardy visitando a Ramanujan, ya muy enfermo, donde le decía: he venido con un taxi cuyo número no tenía nada de especial; el 1729. 

Entonces Ramanujan le contestó: “No diga usted eso. El número 1729 es muy especial, pues es el número más pequeño expresable como suma de dos cubos de dos maneras diferentes, ya que 1729 = 1³ + 12³ y también 1729 = 9³ + 10³. ” Y de tal forma surgieron los números taxicab.

Es relativamente fácil tomar un número cualquiera y encontrar un montón de relaciones curiosas y, a veces, sorprendentes. Pero hacer esto mismo con el 377 parece ser asombroso.

El 377 es el nº 14 de la serie de fibonacci; de modo que 377 = 144+233, siendo como es sabido el 144= 12 x 12.

Lista de nº de Fibonacci

Lo curioso de este número compuesto, pues 377=13·29, es que parece tener una relación especial precisamente con el número 12, y sus múltiplos. 

Para empezar basta dividir 377 entre 12 y apreciar ya en seguida una relación impactante:

Al ver esto uno piensa y fantasea con la idea de que un pueblo antiguo podría haber tomado esta relación geométrica sencilla como aproximación útil al nº Pi. Por ejemplo los antiguos egipcios, cuyas medidas fueron referencia para muchas culturas posteriores; incluso, quizás, para la nuestra. 

Pero siendo el 377 un número de Fibonacci tenemos, además de Pi, otras relaciones con otro número especial: 

1) Si lo dividimos entre 233 (número de Fibonacci 13º) obtenemos una aproximación hacia:

2) Si lo dividimos entre 144 (número de Fibonacci 12º)obtenemos:

3) Si lo dividimos entre 610 (número de Fibonacci 15º =233+377) obtenemos:

Nota: El número áureo es muy peculiar; muestra relaciones singulares consigo mismo al ser la única solución real a la siguiente ecuación de segundo grado:

 

Estas relaciones de Fibonacci nos permiten establecer otra más al tomar que el nº áureo al cuadrado menos el propio número áureo nos da 1:

Esto me ha sorprendido al verlo, pero la verdad, siguiendo la serie de Fibonacci a través de su ecuación se aprecia lo fácil de establecer la siguiente serie de aproximación a 1:

Y de esta serie podemos también sacar la siguiente relación:

En definitiva, el 377 es un número especial: es capaz de darnos una relación aproximada de hasta 4 dígitos entre dos de los números más importantes en matemáticas: el número Pi i el número áureo.

Sistema de pesos y medidas egipcio

El sistema de medida egipcio se articulaba sobre una unidad fundamental llamada codo (0,5236 m): 

1 codo real eran 7 palmos (o manos) y un palmo 4 dedos.

A primera vista parece un sistema completamente antropométrico sin ninguna peculiaridad matemática, dado que codo, palmo y dedo parecen hacer referencia a partes del cuerpo humano. He visto algún trabajo interesante defendiéndolo y trabajando sobre tal suposición. Ciertamente, tomando los nombres como evidencias parece tener fundamento, aunque para que alguien tenga un "codo" de 0,5236 metros debe medir más de 1,90 metros.

La cuestión, en cualquier caso, es que estas medidas cuadran sorprendentemente bien si las tomamos como razones estrictamente numéricas relativas al número Pi y, a la vez, tomamos el número Pi a partir de una aproximación como la que nos proporciona 377/120.

Así tenemos que:

Matemáticamente lo que aquí hemos hecho resulta curioso y ya ha sido alertado por algunos matemáticos para destacar que en las medidas egipcias quizás haya algo que se nos escapa:

1) Tomamos un circulo de diámetro 1 metro, de modo que su perímetro será Pi metros

2) Dividimos este perímetro en 6 partes iguales

3) Cada una de estas partes, entonces, mide 1 codo egipcio.

Por lo tanto, hemos creado un círculo de perímetro Pi y lo hemos dividido en 6 partes, de donde sacamos geométricamente el valor del codo real. Pero esto no es todo:

Si una parte del circulo es 1 codo, entonces el resto (las otras 5 partes del perímetro) nos muestran, de nuevo, una relación áurea:

Así pues, a partir del metro como unidad fundamental podemos establecer una relación de hasta 4 dígitos de precisión entre el nº Pi, el nº áureo y el codo egipcio. Inquietante.

¡Pero hay más curiosidades!

Mi aportación en este tema, si es que se puede llamar aportación, radica en la idea de que estas casualidades se dan por el número 377 y sus relaciones ya de Fibonacci ya con los números factoriales, que son siempre múltiplos o divisores de 12. 

Así, a partir de esta idea se aprecian las siguientes relaciones factoriales:

Luego vamos al codo:

Y ahora el palmo toma esta expresión:

Y cualquiera que se haya metido un poco con teoría de números, como ya lo hizo Platón por ejemplo, sabe de lo especial que resulta ser el 7!=5040. Algunas cosas ya las comenté aquí.

Y finalmente el dedo:

Operar

Hay más cosas curiosas tomando las medidas egipcias como fruto de una proporción estrictamente matemática basada en una aproximación al valor de Pi a partir de 377/120, en vez de considerarlos, sin más, referencias antropométricas.

Tenemos la gran pirámide de Giza, cuyo lado de la base mide 440 codos y la altura 280 codos. Me he dado cuenta que esto lo podemos expresar tal que así:

Vemos como, en metros, la altura y la base se aproximan a los nº de Fibonacci 11º y 12º, mientras recordamos que el 377 es el 14º número de Fibonacci. De algún modo, pues, entre la altura y la base de la gran pirámide, tenemos dos tipos de relaciones:

1) Una mediante números primos, en concreto una relación 11/7

2) Otra mediante una aproximación a números de Fibonacci: 230,38/146,61

De modo que podemos aproximarnos hacia un cierto nexo común entre ambas relaciones:

Pero como puro juego de números vale destacar, entonces, que:

Nota: recordar que 377/120 es una aproximación al valor de Pi de modo que volvemos a darle vueltas a tal valor.

Vemos, pues, que desde una perspectiva estrictamente numérica el valor de 1,57 , en metros, parece ser un nexo común, o un punto de encuentro numérico, entre relaciones destacadas que se muestran en la gran pirámide. Y esto no dejaría de ser curioso si no fuera porqué hace 30 años el famoso egiptólogo alemán Stadelmann descubrió un piramidión cerca de la pirámide roja cuyas medidas eran: 

Lado de la base 1,57 m

Altura:1 metro

Pendiente: 51º 52'

Y por la pendiente, clavada a la de la gran pirámide de Gize, Stadelmann propuso que se trataba de su piramidión, o una especie de maqueta de ella. Pero esa conjetura se terminó allí, mientras las autoridades egipcias, en 2006, decidieron hacer un estropicio con la pieza al modificar sus medidas originales. Aquí os cuentan un poco la historia (ver)

En definitiva, ahora tenemos un indicio numérico más para identificar de algún modo ese piramidión con la gran pirámide, dado que presenta prácticamente la misma proporción entre sus lados: 1,57/1 = 11/7 = 377/240 (aprox). 

Pero hay algo más: el piramidión resulta sumamente inquietante y peculiar al observar como expresa de forma directa dos de las supuestas unidades de medida "secretas" de la gran pirámide: el metro (1 m)  y el 1,57 metros. 

Nota: 

¿Tomaron los egipcios sus medidas de estas razones geométricas o fue completamente casual?

Todas estas relaciones numéricas conllevan que muchísimas medidas egipcias coincidan muy bien midiéndolas en metros. Así se aprecia en medidas de la gran pirámide. Pero, ¿será eso casualidad o los egipcios tomaron esas medidas, hace 5.000 años, a sabiendas?

Honestamente, lo ignoro, pero si así fue tenían que haber conocido el metro y haberlo tomado como unidad de medida primordial. O dicho de otro modo, tenían que haber considerado que el diámetro de la circunferencia de perímetro Pi, a partir de la cual saca la curiosa relación entre Pi-codo-número áureo, mide 1 metro.

La historia del metro actual se remonta, para el público en general, a la revolución francesa, cuando Talleyrand busca unas medidas que no sean antropométricas, sino objetivas, y con ello implantar un sistema métrico universal. Para tal fin se empleó la distancia entre los polos y el ecuador, y se dividió en 10.000.000 partes. A cada una de ellas se le adjudicó el valor de "1 metro", estipulando así que la distancia entre el ecuador y los polos eran 10.000Km y, por consiguiente, el perímetro de la Tierra se valoraba en 40.000 Km -mientras su radio de 6.371 km.

En efecto, no deja de parecer una atribución si bien objetiva, muy arbitraria. Pero sabemos que Eratóstenes (s.IIIac), heleno que estudió y se formó en la biblioteca de Alejandría, estipuló mediante el cálculo de las sombras durante el solsticio de verano entre dos lugares distintos una aproximación bastante acurada de la curvatura terrestre; lo que ocurre que no tenemos muy claro el exacto valor en metros de sus unidades de medida -el estadio griego.

Dice la leyenda que Eratóstenes llegó a tal medida después de leer ciertos papiros en la biblioteca de Alejandría que contaban cómo en una ciudad situada a 800km de Alejandría los rayos del sol caían de forma completamente perpendicular al suelo durante el solsticio de verano. Y de esta lectura el griego dedujo que la Tierra es esférica y de aquí, luego, su perímetro, radio, etc.

La cuestión es: los egipcios sólo podían conocer el metro si conocían la distancia perimetral de la Tierra, puesto que así se definió el metro. Y si luego, además, la usaron como medida dividiéndola a consciencia para tal fin. ¿Acaso lo hicieron? Ciertamente, son muchas coincidencias y arbitrariedades con lo cual, a primera vista, me parece muy improbable. 

Sin embargo, ni sabemos si el trabajo de Eratóstenes es completamente original suyo ni conocemos lo que sabía, y ocultaba, la sumamente críptica y milenaria sabiduría egipcia -sólo apta para iniciados. 

La cuestión es, pues, ¿y si los franceses revolucionarios, con Talleyrand en cabeza, conocían ya de antemano esta unidad secreta fundamental egipcia y simplemente la bautizaron con el nombre de "metro", sacándola a la luz para goce de la humanidad entera? Sería una acción, en verdad, muy típica de la ilustración y sus ideales.

Ciertamente la relación entre los revolucionarios franceses y el mundo egipcio es íntima y muy desconocida. Por ejemplo, ¿a qué vino esa expedición militar-filantrópica de Napoleón a Egipto? 

Quizás, quizás. Quien sabe. Pero, veamos ahora algo curioso:

Si tomamos el perímetro del globo terráqueo en 40.000 km como hicieron los revolucionarios franceses, entonces el diámetro de la tierra, considerándolo una esfera perfecta, sería de unos 12.732 km. Pero ya sabemos que las medidas de la tierra pueden variar algo de siglo en siglo y, además, el perímetro ecuatorial es algo mayor que el septentrional al ser la tierra una globo achatado. El ecuatorial nos mide actualmente unos 40.075km y el perímetro de polo a polo, en cambio, unos 40.007km. 

Pues bien, tomando las medidas de la revolución como una Tierra ideal esférica e invariable es fácil hacer la siguiente aproximación, que conlleva concebir el perímetro terrestre como dividido en 4 sectores, tipo hemisferio norte occidental, hemisferio norte oriental, hemisferio sur occidental y luego el oriental. Dicha aproximación es la siguiente:

Sí, aquí hablamos de unidades porque, de momento, sólo hemos obtenido un modelo numérico en base al 377. Y lo sorprendente es que este modelo sencillo cuadra casi a la perfección, con 4 ordenes de magnitud, con otro que podemos hacer partiendo de las medidas de la gran pirámide analizada antes y nos lleva al curioso valor de 1,57:

En efecto, aún no hemos medido nada de nada y tenemos este modelo numérico idealizado como una potente herramienta de aproximación hacia la "realidad". De modo que no sabemos aún cuanto es exactamente una unidad en este modelo y a qué ya podemos llamar "metro". Falta, pues, coger un palo, cortarlo a medida y afirmar -Esto es un metro. 

Y lo que sí podemos ver con este modelo es que tomar la distancia entre el ecuador y el polo norte, para luego dividirla entre 10.000.000 de partes, sacando de semejante partición arbitraria qué es un metro, ya no resulta algo tan arbitrario. Parece haber un modelo numérico idealizado detrás en base al número 377 (y sus colegas de Fibonacci) y el número Pi, que avalaría esa decisión métrica.  

Midieron la Tierra los egipcios?

Se ha comprobado como empleando un sistema de medidas angulares mucho más preciso que el de Eratóstenes y escogiendo dos puntos del mismo meridiano cuya distancia se conozca con gran precisión, los cálculos que salen aplicando el ingenioso método de Eratóstenes indican un perímetro terrestre de 40.007 km. 

¿Podían haber alcanzado tal precisión los egipcios y con ello construir su vara métrica? Sólo cabe mirar la precisión con qué sus constructores orientaron la gran pirámide para no descartarlo para nada.

¿Existe el verdadero metro?

Galileo, con sólo 18 años, se percató de la importancia del péndulo para el mundo físico. Lo primero que advirtió fue que el período de oscilación de un péndulo no dependía ni del peso del péndulo ni de su amplitud de oscilación, sino de su longitud: cuanto más largo fuera el péndulo mayor sería el período de oscilación, que se mantendrá siempre constante.

De hecho, Galileo fue capaz de sintetizar 3 fenómenos distintos bajo una misma idea física: el movimiento del péndulo, el movimiento de un cuerpo através de un plano inclinado y la caída libre de un cuerpo. Y la idea subyacente era que la masa del objeto no determina para nada ninguno de los tres movimientos, rompiendo así con las tesis físicas aristotélicas y abriendo las puertas a la física moderna. 

Bastaron relativamente pocos años para que los pocos pensadores mecanicistas que empezaban a despuntar en occidente con su peculiar visión del mundo desarrollaran una modelación matemática sencilla pero precisa sobre las peculiaridades del péndulo, y con ello, empezaran a usarlo como base de los nuevos relojes mecánicos.

Modelo matemático del péndulo

Por tanto, el período de un péndulo, que son dos oscilaciones (desde que el péndulo empieza a caer hasta que regresa al punto inicial), depende exclusivamente del valor de Pi, la longitud del péndulo y de la aceleración de los cuerpos en caída libre, la cual más tarde Newton relacionó con la fuerza de la gravedad con que se atraen los cuerpos.

Si analizamos, pues, este modelo o expresión matemática es fácil identificar qué sería, idealmente, 1 metro: la longitud de un péndulo cuyo período es 2 cuando la aceleración coincide con  Pi cuadrado. 

En otras palabras:

¿Y cual es el valor de 1 segundo? 

Se define el segundo como 1 hora/3.600 partes. Es decir, definida la hora al dividir el día en 24 horas, y el año en 365 días, entonces se establece que un péndulo tiene un semiperíodo de 1 segundo, y se le llama péndulo de segundos, si en una hora realiza 3.600 semiperíodos, en un día 86.400 y en un año...

Dominando un poco estas ideas crear un péndulo de segundos es asequible; y el primero apareció alrededor de 1660. Sin embargo, en seguida se dieron cuenta que la aceleración natural de los cuerpos en caída no es uniforme alrededor de la Tierra. Por ejemplo, en el polo la aceleración de caída es ligeramente mayor que en el ecuador. 

Esta varianza conllevaba que hubiera distintas longitudes para el péndulo de segundos según donde estuviera colocado, si en África o Estocolmo por ejemplo, las cuales podían variar de los 0.993m -0.996 m. Tamaña inexactitud echó al traste la posibilidad de tomar el péndulo de segundos como modelo para establecer una medida precisa del metro. 

Ahora bien, vale  la pena anotar que este modelo matemático es muy peculiar porque si los usamos para establecer el valor de 1 metro, entonces Pi cuadrados pasa a ser automáticamente el valor de la aceleración de caída del péndulo.

En la actualidad, la definición de metro ha variado y la definimos como la distancia que recorre la luz (que se supone constante), en un período de tiempo de 1/299792458 segundos.

El valor de Pi cuadrado como aproximación áurea

Con la fórmula ideal del péndulo de segundos vemos que podemos aproximarla a través del 377 del siguiente modo:

Vemos, pues, como:

Y en efecto, el 987 es el número 16º de la serie de Fibonacci, siendo el 610 el 15º.

La velocidad de la luz

Hay otra curiosidad que emerge de forma más o menos natural de la geometría de estas relaciones métricas. Es la velocidad de la luz. Veámoslo:

Estamos ante una precisión en la velocidad de la luz que no se pudo superar hasta 1952. No significa eso que los egipcios tuvieran una idea técnica de la luz y la supieran dominar como llevamos haciéndolo desde hace 350 años. Pero nos abre la puerta a pensar que la velocidad de la luz se puede expresar de forma aproximada mediante Pi.

Y a modo de curiosidad me ha dado para aproximarla un poco más usando, primero el valor de pi mismo, y luego, la relación 377/120:

En fin, dejo aquí la idea de que la velocidad de la luz pueda concebirse, pues, a partir de Pi. 

EDICIÓN: 

AMPLIACIÓN (17/02/2023)

En relación a la conversación mantenida con Luís Castaño, experto en metrología y en concreto sobre el antiguo Egipto, añado esta ampliación.

Luís Castaño, en su trabajo (ver una entrevista), presenta como tesis capital que toda la metrología egipcia, y de la cual heredaron de alguna manera tantas culturas posteriores, es estrictamente antropométrica, dado que se basaría en un prototipo humano ideal de 1.80m de altura o bien, 24 palmos egipcios.

En pos de fabular una respuesta a la inquietante pregunta que nos surge de inmediato, ¿y por qué los antiguos egipcios habrían escogido, precisamente como ideal humano, un prototipo con esas medidas tan poco egipcias y no otras distintas? ¿Fue acaso casualidad, azar, capricho faraónico o habría alguna misteriosa razón detrás? Me centraré en la numerología, es decir, el juego de los números.

Vale decir que ayer presenté ya una propuesta a todas luces errónea, cuya idea base consistía en relacionar la altura de este prototipo humano con la razón áurea, gracias a la cual parecía permitir una relación entre las medidas egipcias y el metro.

Después de volverle a darle un par de vueltas al tema esta tarde, presento otra propuesta numéricamente muy curiosa. Veámosla:

Para empezar sorprende apreciar la siguiente expresión:

Altura ideal prototipo humano en medidas egipcias:  

Sorprende ver como mediante el 377 obtenemos una expresión muy "limpia" de esta altura ideal. Sin embargo, no parece que podamos movernos mucho buscando relaciones.

Ahora bien, si tomamos como aceptable la siguiente aproximación, o mejor dicho "ajuste", entonces podemos hacer cosas interesantes:

1º  378/210 = 1.80 , exacto, dado que: 

Es decir, da un valor exacto (en un sistema decimal como el nuestro o el egipcio) al contrario que 377/210. En tal sentido, a nivel práctico es mejor traducir 24 palmos por 378/210 que por 377/210 si queremos valorarlo en metros. Además, añadir, que este ajuste me ha salido en varios procedimientos distintos, que no apunto aquí para no emborronar el texto; de modo que me inclino a pensar que es un ajuste bastante "natural". 

Y ahora empieza el juego. 

Tomar la altura del prototipo humano como 9/5 nos permite establecer dos tipos de segmetaciones o relaciones con la unidad en esencia equivalentes: una de primal y otra de pitagórica, en las cuales aparece de forma natural la unidad métrica.

¿Por qué dos tipos de relaciones equivalentes? Porque surgen de esta identidad:

a) En la primera uno de los segmentos es directamente la unidad, es decir el metro:

b) En la segunda la segmentación toma una relación pitagórica:

 

En resumen:

A partir de medidas estrictamente egipcias es numéricamente factible ajustarlas a medidas métricas con las cuales el prototipo humano de 24 palmos adquiere un tipo de relaciones básicas que se pueden expresar de forma ya primal como pitagórica, al tiempo que definen la unidad métrica, es decir, el metro. 

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