¿Cómo las máquinas y computadoras ven el infinito?

 Ya he hablado varias veces sobre mi amigo Cantor en el blog. Y mi inquietud es: 

¿Por qué a lo largo del s.XX y XXI se  han tomado en serio sus trabajos sobre el infinito?

Ante semejante pregunta cualquiera me podría esgrimir simplonamente y con menosprecio: -pues, porqué sus tesis se demostraron-. Por supuesto no estoy de acuerdo.

En matemáticas, a diferencia de las ciencias naturales donde nunca se demuestra nada, hay 3 formas para demostrar una afirmación: 

1) Mediante un ejemplo, o bien un contraejemplo que confirmen o refuten la afirmación.

2) Por inducción, es decir, identificando como tal afirmación se sigue de una ley o regularidad  matemática establecida. 

3) Por reducción al absurdo: se supone al principio que la afirmación es cierta/falsa, se buscan las consecuencias e implicaciones de ello hasta que se alcanza una contradicción, con lo cual lo cierto es lo contrario de lo que se había supuesto al principio.

Las demostraciones de Cantor usan la forma 2 y 3. Lo cuento:

Cantor siempre empieza estableciendo una suposición inicial para un caso concreto "a", deriva sus implicaciones hasta constatar que se produce una contradicción y por tanto, que para tal caso la suposición inicial no puede ser cierta. 

Luego, por inducción, Cantor constata que también sucede lo mismo para el caso siguiente "a+1", y para el siguiente "a+2", y también el siguiente "a+3"... Y de tal modo se constata que así sucederá para todo caso posible: "a+n", siendo n un número natural cualquiera.   

Un ejemplo de ello lo tenemos en el famosísimo teorema de Cantor, base de toda la teoría de conjuntos  y que fundamenta la computación.

De manera informal el teorema dice:

Tenemos un conjunto formado por un número finito "a" de elementos. Por ejemplo, tenemos el conjunto finito "números naturales hasta el número 3"; lo llamamos A={1,2,3}

Este conjunto tiene "asociado" su conjunto potencia, P(A), que se define como el conjunto de todos sus subconjuntos posibles, o dicho de otro modo, como el conjunto de todas las posibles relaciones entre sus elementos.  Aquí tenemos los subconjuntos:

Aa={0}

Ab={1} 

Ac={2}

Ad={3}

Ae={1,2}

Af={1,3}

Ag={2,3}

Ah={1,2,3}

El conjunto potencia de A será, pues, P(A)={{0},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} ¡Tiene 8 elementos!

Cantor demuestra como resulta contradictorio defender que un conjunto de 3 elementos sea mayor que su conjunto potencia; que luego también resulta absurdo afirmar que un conjunto de 4 elementos sea mayor que su conjunto potencia; y así también con uno de 5 elementos, 6.... o mil trillones de elementos.  Es decir, demuestra que para un conjunto con un número finito cualquiera de elementos siempre será absurdo afirmar que sea mayor que su conjunto potencia.

Hasta aquí, matemáticamente hablando, no le veo mucho problema a la demostración de Cantor. El dilema sobreviene cuando se aprecia cómo de este resultado Cantor lo extrapola al infinito ¡Hace un salto trascendental! Es decir, pasa de considerar un conjunto finito, aunque con cualquier número finito de elementos, a un conjunto de infinitos elementos. Y con ello "descubre" por primera vez que habría infinitos mayores que otros.

Entiendo que tamaño salto o no se puede hacer matemáticas, o al menos, que es posible desarrollar una matemáticas coherentes y fructíferas sin tales saltos. 

El salto de Cantor

Confieso que me tiene fascinado este salto trascendental que hace Cantor. En especial porque es un ejemplo de puesta en escena en el teatro matemático de una vieja idea filosófica: Cantor aplica, sin más, el idealismo hegeliano en el campo de los conjuntos, y a las matemáticas en general. Y los que hemos leído un poco de filosofía recordamos cómo contra esta idea hegeliana de tratar lo infinito como la síntesis inductiva de todo lo finito ya se había levantado con furia desbocada Schopenhauer, maestro de todos los pensadores intuitivos de finales del s.XIX y principios del XX. 

"Un charlatán tan soporífero como Hegel pasa por un gran filósofo. Ahí está la filosofía alemana sirviendo de burla a los extranjeros, rechazada por los verdaderos sabios, como una ramera que, por vil precio, hoy se vende a uno, mañana a otro, y los cerebros de la actual generación de estudiosos, desorganizados por los absurdos de Hegel; incapacitados para pensar, incultos y atontados, presa del vulgar materialismo, que ha brotado del huevo del basilisco. ¡Buen provecho! Y vuelvo a mi asunto" —Schopenhauer, La cuádruple raíz del principio de razón suficiente", Prólogo (escrito tardíamente en 1847).

Aquí Cantor, pues, razona del siguiente modo: Si para un conjunto de 1 elemento se cumple que debe de ser menor que su conjunto potencia, y lo mismo tiene que suceder para un conjunto de 2 elementos, y para uno de 3, 10, un millón o cualquier otro conjunto por mayor que pensemos, entonces así será siempre y para todos los infinitos conjuntos finitos posibles. 

De modo que, sigue razonando Cantor, si los infinitos conjuntos finitos posibles cumplen la inducción también lo hará el conjunto infinito que los contiene, los refleja y representa a todos a la vez como si fuera un huevo de basilisco. Y sí, esto es un razonamiento hegeliano.

Y con tal razonamiento Hilbert sonríe satisfecho porque con Cantor se puede intentar desarrollar su idealismo matemático (el finitismo), mientras los matemáticos más intuitivos se horrorizan y lo tachan de cháchara teológica.

De lo finito a lo infinito

Toda la metafísica occidental va de pasar de lo finito a lo infinito, y viceversa. Resulta fácil y habitual concebir lo infinito como lo absoluto, es decir, como el conjunto de todo lo finitamente posible. Por ejemplo así hacemos con el conjunto de los números naturales: 

-A partir de la unidad (el 1) todos los números naturales posibles son siempre números finitos, por muy grandes que sean. 

-No hay un número natural último, dado que a cualquier número natural por mayor que sea siempre se le puede añadir un uno más.

-Por tanto pasamos a pensar que hay infinitos números naturales, es decir, solemos concebir los números naturales como un TODO (algo absoluto) de infinitos elementos finitos.

De tal guisa concebimos de forma rudimentaria los números naturales como un conjunto (un Todo) ordenado de infinitos elementos. Con ello, al menos a nivel psicológico, ya se gestiona lo infinito como un número, como un conjunto, como "algo" que contiene a todos los números naturales en su seno.

Cantor pasa olímpicamente de la idea de límite al infinito

Ya he comentado muchas veces como desde la madurez de Platón, en matemáticas, el infinito se concibió, ya no como una cantidad o la propiedad de una entidad, sino como una potencialidad: un poder acercarse o crecer tanto como se quiera. Nada más.

Cantor se olvida por completo de esta idea. Hecho es, que mediante la idea de límite al infinito ya hace un par de años (ver) no me costó nada demostrar como el teorema de Cantor no se puede aplicar a conjuntos infinitos, por ejemplo al conjunto de los naturales. Aplicando la idea de "límite al infinito" la inducción hace aguas por doquier; pues la contradicción sobre la cual Cantor articula su teorema queda disuelta por la propia fuerza del límite al infinito.

En resumen, las demostraciones de  Cantor atentan contra las ideas básicas que articulan la teoría de límites y el cálculo infinitesimal. Pero, ¿es esto realmente un problema para las matemáticas?

¿Por qué se tomó en serio el trabajo de Cantor?

Al principio, por la promoción que le propició Hilbert, un matemático sumamente influyente a principios del s.XX. 

Hilbert vio en Cantor la luz para alcanzar su soñado finitismo, es decir, para convertir las matemáticas, y el conocimiento en general, en un mero mecano-lógico basado en una simple tautología fundamental. 

Pero años más tarde porque el finitismo se mostró como la forma matemática más manejable para desarrollar la computación. De hecho, la base de los primeros teoremas de la computación son, en no poca medida, los trabajos de Cantor. De modo que estos teoremas adquirían estatus de verdades demostradas, simplemente porque hacían posible a nivel teórico el nuevo mundo de la computación que ha terminado dominando nuestra sociedad. 

¿Cómo ven el infinito las máquinas y computadoras? 

La peculiaridad de las máquinas computacionales, su forma de procesar datos, es en esencia finitista. Las máquinas no tienen imaginación, ni sensualidad irracional, ni tampoco se ven dominadas en silencio por las expectativas; además de mostrarse muy torpes tratando lo contradictorio, como se manifiesta en el problema de la parada: ¡Ante una contradicción se "cuelgan" sin más y ya está! Nuestra mente, en cambio, está fuertemente habituada a vivir en medio de tan grandes salvajadas ¡Si tiene que obviar, manipular y tergiversar de algún modo las contradicciones para seguir andando lo hace sin miedos! Y de aquí nuestra creatividad característica. 

Por ejemplo, una máquina es incapaz de inventarse un tipo de magia conceptual como la que se saca de la manga Euler en su "Análisis Infinitorum" con sus "cantidades tan grandes o pequeñas como queramos".  

En tal sentido, como ya vimos el otro día (ver), para una máquina el número 0,999999... no puede ser jamás 1 porque de los infinitos números decimales finitos posibles del tipo 0,999...9 ninguno es nunca 1, de modo que por inducción 0,99999... tampoco lo puede ser. Ahora bien, desde una óptica intuitiva no hay problema en igualar 1= 0,99999.... Del mismo modo que no hay problema en gestionar una suma de Cesàro ¡O los sumatorios de Ramanujan! 

Distintas matemáticas

Después de todo este tiempo reflexionado sobre tan raros y exclusivos temas voy formando la siguiente idea al respecto: 

Es posible desarrollar dos tipos de matemáticas, por así decirlo: 

a) Una de computacional, finitista, lógico-mecanicista y por tanto, que siga las directrices de Cantor, con todas sus limitaciones demostrativas (teoremas de incompletitud de Gödel, de parada, teoría de modelos, etc) y  sus especificidades.

b) Otra de intuitiva y creativa que toma el infinito como una potencialidad, incluso como un movimiento y por tanto, como algo que ni es lógico o estructurado ni tampoco contradictorio y absurdo, sino otra cosa distinta. A fin de cuentas el infinito, visto como límite y potencialidad, suele disolver todo absurdo y contradicción que se da en lo finito.

 

 

¿Los números irracionales existen...? Superfracciones para raíces cuadradas

 A raíz del post sobre el libro de Chaitin ya comenté la idea de cuestionarse la existencia de números irracionales y que unos pocos, como el propio Chaitin, empiezan a tantear.

Confieso que me fascina tan singular y raro tema. Y mi opinión ha ido evolucionando un poco estos meses, aunque siguiendo una línea más o menos marcada.

¿Qué es un número? 

A cualquiera le sonará ridícula semejante pregunta, dado que los números son lo que desde pequeños nos enseñan al contar; así el 1,2,3 o 4 por ejemplo.

Tenemos los números tan asumidos, integrados e interiorizados que ya no los "vemos" ni entendemos; como tampoco nos vemos a nosotros mismos sin que alguien nos acerque un espejo.

Pero la noción de número es un problema si nos atrevemos a tomarnos la molestia de observarlos de nuevo como si fuera la primera vez. A fin de cuentas, estamos ante una idea que costó milenios construirla, aceptarla, para luego interiorizarla poco a poco hasta esperar a que empezara a germinar y dar sus primeras flores. 

Según los griegos más antiguos, por ejemplo, los números se concibieron simplemente como relaciones proporcionales harmoniosas, es decir, "razones". Es una idea que surge directamente de esa extraña y maravillosa noción presocrática que Aristóteles llamó "arkhé" y Tales de Mileto introdujo en Grecia. Ésta dice: todo, aunque parezca diferente, variado, multiforme e, incluso, contradictorio, esconde un denominador común, una unidad común, es decir, un mismo origen o razón de ser 

¡Todo puede ser simplificado y reducido a una unidad común!

Sin embargo, entre la gente normal resulta más bien habitual definir los números, simplemente, como cantidades, pues los usamos para definir cantidades o magnitudes. Sí, eh aquí una definición circular y absurda, aunque útil y manejable para el día a día. 

De todos modos prosigamos: ¿y qué es una cantidad, una magnitud o dimensión? 

En esencia no es más que una  medida: un poner en relación de proporción algo con otra cosa, que acaso se toma arbitrariamente como la unidad de referencia. Desde luego estamos ante una creación artificial humana, una simple operación inventada por nosotros, pero como de ordinario nos olvidamos de ello resulta ya habitual tomarla como una verdad del propio mundo.

A partir de la edad moderna, con la introducción y estandarización de un alfabeto específico para expresar las relaciones proporcionales, la noción de número fue tomando cuerpo e identidad propia dentro de la psique del sabio occidental, cuya mente empezó a pensar de forma inconsciente e involuntaria: si escribo "1" es porque debe de existir algo concreto y preciso al que atribuirle dicha noción. Y puesto que en geometría ya se había concebido el punto como lo más concreto y preciso, ya para el s.XIX se concebían los números, no como cantidades, sino directamente como puntos imaginarios ordenados de menores a mayores. 

Por similitud a los puntos, pues, se pensó: dado que lo puntos se agrupan y ordenan geométricamente formando rectas imaginarias así mismo sucedería con los números: que se agrupan en una recta numérica imaginaria: la recta real. 

De hecho, cuando esos sabios modernos se imaginaban una recta cualquiera ya fantaseaban con ver allí sólo números ordenados dando valor a sus puntos constitutivos, pues el algebra moderno abierto por Descartes permitía imaginarse este tipo de escenarios sin dificultad. 

Con semejante representación numérica tenemos, pues, que cada número representa un punto ordenado y todos ellos conforman una recta numérica; por ejemplo, identificamos el 0 y el 1, separados por una distancia llamada "segmento [0,1]", y cuya longitud será precisamente la unidad (1). Por consiguiente, entre ambos puntos y por pura partición, división o fracción de esta unidad de longitud podemos identificar otros infinitos números/puntos más: así como el 1/2 ,  el   1/1387343   o bien el 7/53, es decir, todos los números del tipo y/x, siendo x,y números coprimos tales que x<y. 

Y aquí en medio surgió una gran duda: 

¿La recta de los números estará formada sólo por números fraccionados (racionales) o, acaso, entre dos números fraccionados inmediatamente consecutivos podrían existir otros tipos de números/puntos distintos, que, como tales, no sería números divisibles o fraccionados, sino literalmente atómicos? 

Demócrito con sus "indivisibles" se enorgullecida de haber sido el mejor matemático griego al ser el primero en solucionar el dilema de la división infinita ya planteada por Pitágoras por un lado y luego por Parménides y Zenón por otro. Pero contra Demócrito se levantó con suma indignación Platón y todos los matemáticos platónicos: desde Eudoxo hasta Arquímides.

Ya en "nuestra época", han sido Cantor y Dedekind quienes han justificado que sí, que los números atómicos, indivisibles y por ello irracionales existen y se "intercalan"  entre los números infinitamente divisibles. Pero tal idea ha sido puesta en duda por gente como Chaitin; al menos se duda de que los irracionales se encuentren en la recta de los reales intercalados entre los divisibles. 

Los números irreducibles o no-unitarios.

Quizás, con la noción de número nos topamos, básicamente, con un problema de representación, el cual nos lleva a problemas de comprensión. Al final, concebimos los números según los representamos y en base a ello, así los tratamos.

Para empezar, cabe observar que el primer problema de representación nos llega ya con los números racionales con infinitos decimales, así el 1/3 por ejemplo, que parecen irrepresentables como puntos de una recta, en el sentido de que no tienen una representación unitaria concreta en decimales: 

1/3= 0,3333333... ¡Resulta imposible partir una "unidad de longitud" en 3 segmentos exactos! 

Con razón a estas fracciones les debemos la primera paradoja aritmética:

3x0,333333333...= 0.999999... pero dado que 3x(1/3)= 3/3=1, entonces la duda es: ¿Cuál de los dos resultados va a ser cierto? 

No es difícil de justificar, sin embargo, que 1 = 0,9999999... utilizando las peculiaridades especiales del infinito. Eh aquí una demostración ejemplo típica y que se encuentra en la wikipedia:

Lo que ocurre es que tampoco es difícil justificar que 1 > 0,9999...

1 = (9 + 1)/10 es lo mismo que 10 - 9 = 1

1 = (99+1)/100 es lo mismo que 100 - 99 = 1

1 = (999+1)/1000 es lo mismo que 1000 - 999 = 1

1 = (9999+1)/10000 es lo mismo que 10000 - 9999 = 1

Y si llevamos esto al  infinito entonces tenemos que:

100....0 - 99999...9 = 1

Resulta fácil aceptar, visto así, que 1 > 0.99999. De hecho, y como ya se ha comentado tantas veces en este blog, Cantor suele tratar el infinito de este modo, es decir, intentando respetar el finitismo a través de esa exigencia interpretativa que impuso Hilbert a principios del s.XX, y que decía algo así: el infinito debe ser un reflejo fiel de lo finito. Por lo tanto, lo que aquí sorprende, una vez más, es apreciar como según qué tratamiento escojamos para operar con lo infinito, obtenemos dos posibles resultados de la igualdad. 

En cualquier caso, queda patente con la primera forma de tratar la igualdad, es decir cuando apreciamos (1/3)x3= 0.999...=1 que empleando la magia de los límites al infinito resulta factible pasar sin problemas de números inmedibles y con decimales sin fin, a números concretos y relativos a la unidad. Es como si pudiéramos utilizar dos tipos de representaciones equivalentes: una de unitaria (1) y otra de no unitaria (0.999...). Curioso.

Salta también a la vista otro aspecto: si bien mucho se habla de los irracionales el problema de la irracionalidad e inconmensurabilidad empieza ya con estas fracciones irreducibles a la unidad, dado que exigen que dividamos dos números que no se pueden dividir por ser coprimos.

1/3 nunca será divisible de forma exacta

Hecho que, curiosamente, no preocupó a los antiguos, al menos a los pitagóricos. Ya en seguida consideraron que este tipo de inexactitud se podía solventar, simplemente, cambiando el valor de la unidad, es decir, escogiendo de forma convenida el sistema de unidades. 

Y en efecto, si se toma por unidad un número supercompuesto, como sería el antiguo y fascinante sistema sexagesimal Sumerio (unidad=60), entonces muchas fracciones irreducibles en el sistema decimal devienen reducibles a la unidad sin problemas, dado que en el decimal la unidad representa el 10, y por tanto es un compuesto con sólo 2 factores: el 2 y el 5. 

Así pues por ejemplo, 1/3 es reducible a la unidad sexagesimal y puede representarse como 0,20. 

En sexagesimal 1/3 es una división exacta

Con razón, por ejemplo, Platón parece venerar el factorial de 7 (7!=5040) como unidad de media, al tratarse de un supercompuesto: tomando el 7! como unidad de medida social Platón, en la República, explica cómo es posible generar muchas particiones, grupos y subgrupos de forma exacta para el buen funcionamiento de la ciudad, tanto en tiempos de paz como de guerra (aquí un trabajo al respecto). ¡Y qué decir de Ramanujan y su pasión por estos extraños y escasos números, los supercompuestos (ver aquí un brillante artículo al respecto).

Los números irracionales

Pero después de estos racionales irreducibles llegaron las raíces, como raíz cuadrada de 2 o el número áureo. Se les colgó el nombre de irracionales porque no surgen de la división de un segmento unitario.

En efecto, las raíces no son fruto de dividir segmentos unitarios; no surgen de un fraccionamiento ni de la partición de una distancia entera ¡No surgen de dividir dos números naturales cualquiera! ¿De donde surgen pues? 

Geométricamente las raíces surgen de partir figuras más complejas: la raíz cuadrada surge de dividir un cuadrado o rectángulo por la diagonal; la raíz cúbica de fragmentar un cubo en un conjunto de subcubos, etc. Y el número áureo de ir dividiendo un rectángulo siguiendo la serie de Fibonnacci. 

Pero desde una representación algebraica surgen de una idea curiosa y sencilla:

-Para la raíz cuadrada de un número x:  Dado un número x cualquiera, entonces, hay que encontrar 2 números iguales que multiplicados entre sí den x.

-Para la raíz cúbica de un número x: Dado un número xcualquiera, entonces, hay que encontrar 3 números iguales que multiplicados entre sí den x.

-Para la raíz a la cuarta de un número x: Dado un número x cualquiera, entonces, hay que encontrar 4 números iguales que multiplicados entre sí den x.

etc,etc, etc...

Nota breve:

Esta definición aritmética me ha dado pie a pensar en una demostración muy simple sobre la irracionalidad de la raíz cuadrada de x, siendo x un número natural cualquiera no cuadrado, porque podemos entender la raíz cuadrada como la división de x por un número que será idéntico al resultado:

raíz cuadrada (9) = 9/3 = 3

Y también se puede demostrar la irracionalidad de cualquier raíz cúbica de x, siendo x un número natural cualquiera no cúbico, porque podemos entender la raíz cúbica como la división de x por un número cuadrado m que da por resultado raíz cuadrada de m:

raíz cúbica (27) = 27/9 = 3

Y de este modo es fácil generalizar la demostración para cualquier  tipo de raíz:

Así pues, queda demostrado que llamamos raíces a divisiones o fracciones ejercidas sobre objetos geométricos de 2 o más dimensiones.

Representaciones de las raíces

Bien, vemos como las raíces no pueden expresarse como divisiones simples de una dimensión, es decir, como un simple corte de segmentos enteros y, con ello, de la recta real. Ahora bien, parece ser que ya los griegos entendieron que pueden representarse como fracciones continuas o iteradas hasta el infinito de distancias enteras. ¿Y qué es eso? Iteraciones continuadas de división o fragmentación de una distancia. 

Un ejemplo de fracción continua para representar la raíz cuadrada de 2: 

Representar cualquier raíz cuadrada como una fracción continua al infinito resulta harto fácil. A mí mismo no me costó nada el otro día encontrar lo que luego descubrí que ya había sido inventado por el matemático italiano del s.XVI Rafael Bombelli (ver aquí). Y podemos resumirlo así de simple:

¡Pero más curioso aún! De algún modo Eudoxo, brillante discípulo de Platón, al trabajar la raíz(2) se dio cuenta de que su fracción continua podía representarse como una secuencia de fracciones concretas e irreducibles que cada vez se aproximaban, ya por la derecha ya por la izquierda, más y más a raíz(2). Con ello presentó lo que hoy conocemos como la escalera de Eudoxo:

Esta escalera pudiera parecer que preludia ya los trabajos de Dedekind, en la medida que nos presenta raíz(2) como un número que siempre estará intercalado entre dos fracciones, por más que vayamos acotando la distancia entre ellas hasta el infinito. Es decir: 

En efecto, de algún modo Dedekind, con sus famosas cortaduras expone lo que se puede interpretar de esta escalera de fracciones intercaladas: que si lleváramos esta desigualdad al infinito, entonces, a la izquierda, tendríamos en progresión todas las infinitas fracciones menores que raíz(2), y a la derecha todas las infinitas mayores; siendo precisamente raíz(2) el punto atómico al infinito de estos dos conjuntos de fracciones.

 

A partir de esta idea, y los posteriores trabajos de Cantor, los matemáticos pusieron sobre la mesa la hipótesis del continuo; que dice: ¿realmente la recta real está llena de puntos, o habría vacíos?

La recta real y el continuo

Con las cortaduras de Dedekind parecía demostrarse que la recta real está constituida íntegramente por puntos/números ordenados de forma inmediatamente consecutiva uno tras otro: cada cortadura sería un punto de la recta, y cada punto un número -los racionales serían números concretos, mientras los irracionales, como raíz(2), serían números que andan escondidos entre los racionales y que sólo podemos alcanzar la llevar los racionales al infinito. Así pues, con las cortaduras de Dedekind se justifica que la recta real sea continua.

Ahora bien, llegó Cantor, que interpretaba el infinito ya no como un límite, sino como un alcanzar un estadio final que reflejaría todo lo finito. Bajo esta manera de interpretar el infinito desarrolló, primero, su famoso teorema para determinar el tamaño de todos los conjuntos potencia, incluso el de los conjuntos infinitos. Y ante el curioso resultado obtenido se puso a comparar los tamaños de distintos conjuntos infinitos, justificando con su método que el conjunto de los infinitos racionales era de un tamaño inferior que el conjunto de los infinitos irracionales. A partir de aquí Cantor construyó una jerarquía de infinitos infinitos.

En efecto, Cantor justificó que si bien habría infinitos números irracionales e infinitos números racionales, el conjunto de los infinitos irracionales ha de ser de un grado mayor que el de los racionales; que serían infinitos en grado 0. En otras palabras, Cantor presenta la existencia de infinitos con distintos tamaños, unos con un grado de infinitud mayor que otros, y donde el conjunto de los números racionales representarían el grado básico, o cero, de infinitud; mientras el conjunto de los irracionales, en principio, representaría el grado 1 de infinitud ¡Siempre y cuando la recta real fuera continua! 

Esta es la hipótesis del continuo: si existiera un conjunto infinito de números distintos a los racionales y a los irracionales que fuera mayor que los racionales pero menor que los irracionales, entonces, los infinitos irracionales pasarían a ser de grado 2, por decirlo de forma fácil, y ello conllevaría que la recta real no sería continua: contendría espacios vacíos. 

En cierta forma, pues, Cantor pone en duda el trabajo de Dedekind, que dejaba claro que la recta real era continua y sólo estaría formada por racionales en lo concreto; y por irracionales al infinito. Y, ¿por qué lo pone en duda? Porque Cantor trabaja bajo la ilusión de una idea del infinito muy peculiar. Una idea que haría revolver de sus tumbas a Platón, Eudoxo, Euclides o Arquímides, pero que fascinó a los matemáticos del s.XX y XXI.

Esbozo breve sobre lo infinito

No hay nada más antigriego que ese idealismo germánico del s.XIX promocionado por Hegel y que conquistó parte de la Europa moderna, según el cual se podría trascender lo finito a caballo del infinito hasta alcanzar las entidades metafísicas: acaso los números en sí mismos como puntos o entidades atomizadas y aisladas de todo.  

Es cierto, que siendo joven Platón nos presentó por primera vez la metafísica con su mundo de las ideas como entidades en sí mismas que se encontraban tan lejos de nuestra mundanidad concreta, relativizada y limitada por multitud de circunstancias, que resultaban inalcanzables sin la ayuda la la "manía" divina. Sin embargo, en sus diálogos eminentemente más matemáticos y maduros, como el Parménides, el Sofista, el Teeteto o el Timeo, Platón parece replantear de raíz esa primera dialéctica trascendental, tachándola de ignorancia juvenil.

Ahora bien, la evidencia más fuerte que nos lleva a pensar que Platón dejó de creer por completo en la trascendencia quizás nos la encontremos al analizar las ideas matemáticas de sus discípulos, Eudoxo y Euclides, ¡por no decir Aristóteles!, quienes, ya niegan sin tapujos que el infinito sea un salto trascendental al vacío sideral: al mundo de las cosas en sí. No, el infinito no sería un salto que nos permitiese ir de lo particular a lo universal, de lo aparente a lo esencial, de lo imperfecto a lo perfecto, de lo condicionado a lo incondicionado y libre ¡Y mucho menos sería una cantidad! 

¿Fue el propio Platón quien descubrió otra forma de entender lo infinito o acaso la aprendió de otros y, entonces, la usó para replantear todo su pensamiento? Es difícil saberlo, pero a partir de Platón y sus trabajos de madurez, el infinito deja de concebirse como algo a alcanzar entre la inmensa mayoría de matemáticos griegos ¡Ya no se concibe como un estadio al que llegar mediante un salto inmortal definitivo! 

A partir de ese momento, primera mitad del s IV ac, el infinito deviene, sencillamente, una forma de tratar las ideas ¡Un poder! El poder acercarte o alejarte de una idea tanto como se quiera; el poder crecer o empequeñecerse tanto como se quiera; el poder romper o recomponer una idea tantas veces como se quiera ¡Y nada más! 

En definitiva, a criterio de los antiguos platónicos el infinito sería, en exclusivo, una potencialidad, jamás una realidad; como sí los parece ser para Cantor y Hilbert. Y no me escondo: me sorprende que se hayan tomado en serio los trabajos de Cantor sobre el infinito, dado que niegan la noción matemática de "límite al infinito" heredera directa, precisamente, de los antiguos al definirse como pura potencialidad: un poder acercarse a algo tanto como se quiera, y nada más. 

Y me sorprende aún más cuando Cohen, a mediados del s.XX, dejó patente que la hipótesis del continuo resulta completamente trivial. ¿No pone eso ya de manifiesto que el propio trabajo de Cantor no nos dice nada esencial de las matemáticas y sólo presenta una interpretación entre otras posibles? 

Mejorando la escalera de Eudoxo: la superfracción.

Honestamente, no quería extenderme tanto con este post, pero una cosa me ha llevado a la otra y, ahora mismo, me parece adecuado contar algo que me quería guardar un tiempo más. Así pues, lo dejo y ya está. 

Es curioso como funciona la mente porque cuanto acabo de escribir viene a coalición de ciertos "juegos" matemáticos que llevo realizando estos días por mera curiosidad sin haberme preocupado por los intríngulis que acabo de escribir. Es decir, lo que voy a contar es fruto, sólo, de pasar el tiempo buscando distintas formas de representar un número cuadrado, para luego jugar a buscar formas distintas para resolver raíces. No había ninguna pretensión más que un pasatiempo. Y sólo ahora que he encontrado, sin más, algo quizás interesante me doy cuenta de todo lo que he apuntado a vuelapluma en este post.

Lo primero: tanteando distintas formas de resolver raíces he encontrado una escalera alternativa a la de Eudoxo para raíz(2). Vale decir que desconocía este trabajo del griego, hecho que me ha permitido entrar un poco más a fondo en su pensamiento al alertar que él ya había descubierto algo similar hace 2.500 años. Y sí, un tipo muy interesante el discípulo de Platón.

Mi escalera es esta:

Y si recordamos la de Eudoxo es la siguiente:

A simple vista parecen de algún modo inversas: los denominadores de mi escalera son los numeradores de la de Eudoxo. Y ambas "persiguen" el valor de raíz(2) mediante una aproximación alternada de valores. 

Además, se observa como ambas escalas se pueden construir mediante una misma fracción algebraica generatriz; ésta:

Ahora bien, por lo que he podido leer no parece que Eudoxo, ni otros como Rafael Bombelli, que según parece también trató los trabajos de Eudoxo, hayan hecho ya mucho más al respecto. Pero me parece a mí que sí es posible hacer algo más. De hecho, parece posible hacer dos cosas más:

1) Generalizar esta fracción algebraica para todas las raíces cuadradas.

2)Encontrar una superfracción algebraica general capaz de definir todas las raíces cuadradas.

1: Para generalizar esta fracción algebraica sobre todas las raíces cuadradas simplemente hay que partir del método de Bombelli para generar fracciones continuas sobre raíces cuadradas y convertir cada paso en una fracción, tal que así:

2)Para hallar una superfracción general basta con desarrollar algebraicamente lo anterior de tal forma:

Pongamos 2 ejemplos tomando la superfacción a s = 7:

OBSERVACIONES:

Lo primero que salta a la vista es que definimos la raíz cuadrada de un número no cuadrado como el límite al infinito de la superfracción. 

Ya hemos comentado como el límite al infinito matemático es una noción en esencia platónica y significa potencialidad. Con lo cual, el límite de la superfracción cuando "s" tiende a infinito significa que "s" puede crecer tanto como se quiera, de manera que resulta la mar de fácil pensar en modo platónico total y deducir, de ello, que la fracción puede dar valores tan próximos a raíz(2) como se quiera. Aunque, eso sí, el límite para nada significa que "s" tenga que llegar a un punto infinito donde la fracción adquiriría, entonces ya de golpe, un valor final metafísico y de por sí: el propio valor de raíz(2).

Excepto las mentas más lógicas, la mayoría suele interpretar el límite matemático a lo platónico. Pero quizás aquí sería interesante pensarlo de forma algo distinta; a saber: que al tender "s" a valores cada vez mayores el propio valor de raíz(2) se va haciendo más preciso ¡Va tomando cuerpo y creciendo! Pues, quizás, valga la pena presuponer que no preexiste un valor de raíz(2). Es decir, quizás sea interesante partir de una visión algo más constructivista o bien, operativista.  

En los trabajos de Dedekind se aprecia sin dificultad como el alemán hace una interpretación matemática basada, estrictamente, en esta idea platónica de límite cuando apunta que un número irracional vendría a ser el límite al infinito de un conjunto de fracciones. En otras palabras, como platónico interpreta este límite como un aproximarse más y más hacia un punto concreto y con valor propio ya preexistente, al que llama cortadura. ¿Acaso no es eso vendernos como real algo que, matemáticamente hablando, sólo sería una pura potencialidad?

En cualquier caso, a nivel matemático definir los irracionales como límites al infinito de conjuntos de racionales parece ser perfectamente coherente y evidente con solo observar las fracciones continuas, la escalera de Eudoxo o la superfracción aquí presentada. En este sentido no habría ningún problema en concebirlos, ya no como puntos con un valor prefijado y concreto de antemano a los que aproximarse, sino como puras potencialidades.

Ir al límite

Cada cual lee y comprende las cosas a su manera. Las nociones matemáticas no son ninguna excepción, aunque haya un control férreo en intentar establecer consensos amplios, claros y firmes para definir sus conceptos de forma que sean aceptados para todos los matemáticos y así intentar evitar lo inevitable: que en las matemáticas surjan destellos arbitrarios y discutibles, dando la imponente sensación de mostrarnos la divina certeza que esconderían las cosas.

Lo reconozco, a mi parecer la visión de Cantor sobre los infinitos no me sabe mal. De hecho me resulta fascinante y quizás útil en ciertos ámbitos; por el ejemplo el computacional. Simplemente destaco que no es la única. Además, me extraña que se haya tomado en serio durante un siglo largo, como ya he comentado, cuando abandona impunemente la noción de límite en la interpretación que hace del infinito para, luego, interpretarlo empleando métodos finitistas; como por ejemplo la diagonalización. 

En tal sentido, me parece que Cantor trata el infinito más bien como un lógico, es decir un mecánico del pensamiento, y no como un matemático, cuando nos lo presenta como si fuera una entidad coherente, precisa y bien estructurada; en vez de tomarlo como pura potencialidad.

En tal sentido, tratar "el límite al infinito" como pura potencialidad nos permite pensar y definir los "números irracionales", ya no como números reales, es decir, como supuestos puntos sutilísisimos escondidos en la recta real entre los racionales, sino como valores potencialmente emergentes de entre los racionales, los cuales a su vez serían valores potencialmente emergentes de entre los reducibles a la unidad, es decir, los números divisibles de forma exacta. Éstos, entonces, ya sí serían los únicos números reales por estar perfectamente definidos.

En fin, seguramente sea inevitable tener distintas formas de interpretar lo infinito, y aunque quizás la de límite sea de las más potentes no es la única posible, como muestra Cantor. Es más, quizás incluso serían posibles otras formas aún inauditas de interpretarlo, tal y como de algún modo parecen vislumbrarse entre algunos trabajos de Euler, Riemman o Ramanujan. 

Crítica a los números

Acabamos de ver como Dedekind se basa en un prejuicio principal ya muy antiguo: que las raíces son números, que los números son puntos aislados y con valor propio, y por consiguiente deben de ser visualizados como átomos constitutivos de la recta imaginaria que se llama "real" y que mediante nuestras operaciones al límite podemos aproximarnos a ellos tanto como queramos. 

A mí parecer, no estamos ante puntos ni tan siquiera ante valores prefijados; simplemente estamos ante puras operaciones. Operaciones que no nos han caído del cielo, sino que las hemos creado nosotros, perfeccionándolas, en la medida que nos han sido frutíferas y necesarias, inquietantes, incluso atractivas.  

Entiendo que no somos conscientes de que, cuando decimos "raíz(2)", no estamos anunciando ningún número, sino dando una orden para llevar a cabo un tipo de operación muy concreta. Y en este caso, son operaciones de cierta complejidad que, para hallar un valor fijo, no podemos reducirlas a operaciones más simples como una suma o una resta ¡Ni tan siquiera la podemos reducir a una simple división irreducible equivalente! Este pensamiento me ha llevado a las siguiente reflexión:

Los números son definidos por operaciones, nunca por supuestos valores intrínsecos y esenciales.

Ya en algún otro post había tanteado por encima la siguiente idea:

 

Los números son operaciones y toman valor como operaciones. Sé lo que vale 3 cuando sé que representa ciertas operaciones posibles. Por ejemplo al definir la siguiente operación: 4 - 1 = 3 = 2+1, queda claro y sin duda alguna que 3 es un valor una unidad menor que 4, y una unidad mayor que 2. 

Son las operaciones, pues, que determinan el valor y la magnitud, el orden y la naturaleza de lo que llamamos números. De hecho, cabría pensar que los números no son más que una operación. 

Preguntarse: ¿qué número sigue de forma inmediata al número 3? Es una pregunta sin sentido, a no ser que establezcamos una operación que la defina de forma precisa y clara, como hemos hecho arriba al decir que el 4 sigue de forma inmediata a 3, al tener la acción "inmediata" aquí mismo definida mediante la noción de unidad. Si no está definida una operación de orden no hay forma de saber cuál es el número que sigue a 3 de forma inmediata. Tan siquiera pensarlo ya resulta, de hecho, completamente absurdo.

Es cierto que siempre podemos introducir nuevas operaciones y redefinir este "inmediato" considerando que entre 4 y 3 habrán otros números. De hecho, potencialmente podríamos definir que habría una infinidad al estipular que podríamos sacar tantos como quisiéramos. Pero para pensar eso hay que generar una operación para definirlo, acaso una operación de límite, y sólo a través de ella tomaría sentido lo que decimos. 

Axiomas para determinar los números naturales como operaciones

 

Impulsado por la curiosidad despertada al jugar con estas ideas, raras, selectas y profundamente filosóficas, estos días he perdido un poco el tiempo desarrollando algunos axiomas para fundamentar la aritmética. Son axiomas algo distintos a los famosos de Peano (ver aquí), que parten de la idea de que ya preexiste un número natural llamado "unidad de los naturales". Pero Peano no definen las propiedades de este primer número natural llamado "unidad de los naturales". Se limita a decir que es un número natural (y vete a saber qué significa eso) y que no es sucesor de ningún otro número natural: 

Dado que esta "unidad de los naturales" no está casi definida en Peano, entonces no queda claro si estamos hablando del 1 o el 0; además de presentar otras muchas oscuridades. Los axiomas de Peano saben rudimentarios. Sin embargo, vale destacar como este sistema axiomático ha sido usado por los lógico-matemáticos durante 150 años como pilar sobre el que justificar gran parte de sus trabajos de axiomatización matemática. Sí, lo rudimentario es siempre fácilmente manejable si funciona un poco, pues no es muy complicado.

Dicho esto me sabe preciso añadir algo más. El intento de axiomatizar la aritmética viene ya de muy lejos: en el Parménides Platón presenta una axiomatización de la aritmética empleando un lenguaje "filosófico" como ejemplo, precisamente, de la importancia de axiomatizar el conocimiento para acceder a la certeza. En efecto, la axiomatización matemática ha sido una gran contribución platónica; al menos así se aprecia en el trabajo que nos ha llegado de su discípulo Euclides. 

Esquema sobre el Parménides de Platón sobre las hipótesis de lo Uno

Todo seguido, cuelgo una axiomatización muy sui géneris basada en la idea de que un número natural es una operación muy concreta, además de básica, y de como a partir de ella se desarrollan las demás operaciones que llamamos números -hasta las raíces. Ver axiomatización aquí. 

Lo más simple es siempre lo más difícil de definir.

Aquí termino el post, dejando una idea que servirá para empezar otro día: no es fácil definir qué es un número natural y cómo de tal definición, luego, se puede lograr definir gran parte de la matemática como un juego de operaciones.  Y no es fácil porque para definir los números naturales es preciso definir, antes, "qué es la unidad natural", lo común a todos los naturales y por tanto, a lo que todos ellos pueden ser reducidos.

Y así mismo sucede también en geometría. Lo más difícil de definir ha sido el punto, hermano gemelo de la unidad y del número para los matemáticos durante los últimos siglos. Y la forma que tenemos ahora de definirlo es empleando aún un grado importante de indefinición. Por tal motivo, he empezado a esbozar unos axiomas geométricos para definirlo de otra manera, pero ya veremos...

 

 

 

 

 

Creación, causalidad y libre albedrío. Entre la ciencia y la ética.

 Con los últimos post se ha puesto al descubierto un concepto muy antiguo: el de "crear".

¿Qué significa crear?

Durante milenios este concepto se ha tendido a definir, por lo general, desde un punto de vista estrictamente mecánico.  

Digo "mecánico" porqué la noción de crear se ha interpretado como un mecanismo de causa-efecto:

Algo (la causa) crea algo distinto (el efecto). 

Un mecanismo al que fácilmente se le han introducido, de forma reptil y oculta, otras nociones abstractas para darle aún mayor sentido para nosotros; como la noción de responsabilidad: toda causa es responsable de su efecto.

¿Cómo se concibe de ordinario "que un sujeto crea algo"? 

De entre el confuso devenir nos imaginamos, a bote pronto, dos sujetos, entidades o hechos distintos. A uno primero lo identificamos como causa del otro, que identificamos como efecto o creación. Además al sujeto causante se le introduce una supuesta e imaginaria "responsabilidad". ¿Una responsabilidad? Sí, una intención, un motivo y una finalidad.

El sujeto que crea algo lo hace bajo un motivo, una intención y finalidad ¡De modo que él es responsable de su creación!   

¿Qué significa esto? Se fantasea con que semejante proceso mecánico (una mala copia o modelación del devenir) será gestionado por una "vida interior" de intenciones, finalidades, intereses ¡Por una "voluntad" secreta! Por Dioses ocultos...

Toda creación es el reflejo de la voluntad del creador.

Todo acción refleja la voluntad del agente causante.

La introducción imaginaria, pues, de una voluntad en todo acontecer no es más, parece ser, que la introducción de la noción de libertad, en la medida que se asume que actuar a voluntad es sinónimo de actuar libremente:   

Todo creador (sujeto causante) genera algo (efecto causado) de forma voluntaria (bajo una intención, un motivo y una finalidad), y por tanto de forma libre. 

¿Qué significa "libre" aquí? Que sus acciones reflejan su voluntad, es decir, un sentido, una finalidad, un motivo o intención determinada. Pero esto no es todo; también se presupone que un sujeto causante podría haber actuado de otro modo.

-Soy libre cuando hago lo que quiero- Sobre esta suposición ético-psicológica se configura la noción de libertad ¡O de libre albedrío! Y sobre ella se estructura, por ejemplo, toda la teoría política moderna, como la democracia.   

Y por contra -Soy esclavo cuando hago lo que no quiero porque algo o alguien me obliga a ello-. Aquí vemos, de nuevo, como se introduce un sujeto causante como responsable imaginario de la acción.

Por ejemplo, el cristianismo, que es una ideología descaradamente mecanicista, a grosso modo pensaba así:

-Quiero ser feliz (finalidad y por ello, un reflejo de la voluntad)

-Para ser feliz hay que seguir la palabra de cristo (causa)

-Si sigo la palabra de cristo mis acciones serán libres, puesto que responderán a mi voluntad o finalidad.

-Si no sigo la palabra de cristo es porque soy esclavo de mis inclinaciones, del mal, o porque las circunstancias me lo impiden, etc. 

Y el pensamiento moderno, fruto del cristianismo por cierto, también se fundamenta sobre esta mitología ético-psicológica mecanicista. Newton mismo interpreta "la fuerza de la gravedad" como el reflejo de la voluntad divina sobre la materia. 

Nota: la importancia del cristianismo no son ni sus dogmas, ni sus reliquias, ni mitos o tradiciones, sino las estructuras cognitivas y emocionales que ha promocionado y potenciado generación tras generación, y que nuestra atea sociedad es heredera directa sin duda alguna. 

Otro ejemplo de como no podemos valorar el cristianismo por sus superficialidades lo encontramos en Sartre, quién siempre me ha parecido un teólogo atrapado en esta estructura cognitiva mecanicista cristiana. ¿Cómo? Sí, Sartre aún concibe el "crear" como la acción voluntaria y libre de un sujeto causante. Y toda su filosofía parece dar vueltas a esta idea básica simple y rudimentaria.   

Me parece evidente, pues, que nos encontrarnos ante pura mitología, interpretación y relato. No hay realidad ni verdad trascendental tras de ello. Por tanto, la cuestión no es si este relato mecanicista es cierto o falso, sino qué nos aporta, y si podemos crear otros relatos distintos que nos aporten más cosas. 

¿Qué entendemos nosotros por crear?

Al hablar de "crear" nosotros hablamos de "un determinismo aleatorio"; o lo que es lo mismo: "un determinismo no causal". ¿Qué significa eso?

En el fondo la idea consiste en eliminar cualquier atisbo de "voluntad secreta" en el devenir. Y de tal guisa eliminamos de un golpe la idea, tan antigua en occidente, de que cuanto sucede respondería a un sentido, una intención, una finalidad, un motivo o una razón de ser. 

Pero hay más, con ello se nos vuelve preciso reformular de raíz la vieja convicción libertaria que nos lleva a imaginar que los hechos podrían haber sido distintos. O resumiendo: que nosotros podríamos ser distintos o, al menos, podríamos haber actuado de otra forma en una determinada situación. 

En definitiva, ya no analizamos los hechos ni fenómenos presuponiendo que suceden por algún motivo. 

De hecho, recordando de algún modo a Hume, pensamos que la noción de causalidad debe tratarse, más que como una realidad física como una falacia lógica; un "cum hoc ergo propter hoc" de manual. Sin embargo, anda tan arraigada en nosotros que nos sale de dentro y por ello nos parece tan "sólida" y "real".

Y como no puede ser de otro modo esta forma de comprender la realidad conlleva una profundo cambio ético: nos lleva a criticar, y a desconfiar, de la noción "responsabilidad" y con ella, la de mérito y culpa. 

¿Si nada obedece ciegamente a una voluntad, a un sentido interno y esencial o a un motivo concreto, como va tener responsabilidad alguna de ser como es, de suceder como sucede y de comportarse como lo hace? ¿Es más, como podría haber sido de otra forma?

En efecto, entendiendo tan capital dilema nos vemos evocados a desechar esa antigua superstición moral de la elección libre, que concibe al sujeto causante como responsable único de sus acciones, e incluso de las consecuencias de sus acciones -ya para bien ya para mal. 

Ya no vemos las acciones como libres ni como obligatorias ¡Qué rareza!

¿Qué implica desechar la idea de elección libre? 

De inmediato se abandona también su idea contraria: la de obligatoriedad.  No, no hay acciones obligadas. El devenir no acontece, pues, ni por libre decisión de nada ni nadie, ni tampoco por obligatoriedad de nada ni nadie. El devenir simplemente acontece. 

Sin embargo, vale reconocer que el pensar de esta forma nos resulta sumamente raro y difícil. Choca de forma directa y violenta contra nuestras preconcepciones más primitivas, antiguas, arraigadas y que tantas ventajas nos ha proporcionada al gestionar nuestra vida.

Sí, nos cuesta mucho pensar que el sol, nuestro astro rey, no sea el responsable de la luz y el calor que gozamos en la tierra: -Si el sol desapareciera ahora mismo el planeta se quedaría congelado en un instante y la vida desaparecería- Y de este razonamiento se deduce una conclusión directa: -Por tanto, el sol es la causa y el responsable de la vida en la Tierra-

Cuando un gobernante empieza a tomar decisiones que el pueblo percibe como perjudiciales, entonces se identifica al gobernante como el sujeto responsable de sus infortunios. Entonces el pueblo cree y piensa que cambiando al gobernante cambiará su suerte.

Cuando una persona enferma y se le detecta un patógeno, entonces el patógeno es identificado como la causa responsable de su enfermedad, aunque ésta no sea más que un cúmulo de síntomas y afecciones indispuestas. De modo que el razonamiento que se hace es: si el patógeno es el responsable entonces eliminando el patógeno se eliminan los síntomas que llamamos enfermedad. 

Cuando tomamos tóxicos, como el alcohol u otras drogas, apreciamos claramente una correlación entre su toma y una serie de alteraciones en nuestros afectos y por tanto, en nuestro comportamiento. Entonces identificamos la causa responsable de estas alteraciones a los narcóticos. De modo que si buscamos gozar de estas alteraciones nos tiramos a tales narcóticos, y si preferimos evadirlos los rehusamos.

En fin, este instinto racional de buscar causas y deducir implicaciones es tan básico y primitivo en nosotros... ¿Podemos desprendernos de él sin más? 

Ciertas tribus del áfrica al poco de nacer cogen la mano de los bebes y la ponen en el fuego para que se quemen. Entonces ya de pequeños les queda grabado que el fuego, precisamente, es la causa de su dolor; a partir de ahí ya vigilan de no caerse en las hogueras.

De hecho la teoría psicológica del condicionamiento se sustenta sobre ella: nuestra capacidad de establecer relaciones causales entre sucesos, percepciones y afecciones, con las reacciones consecuentes ¡Así generamos las expectativas, que controlan y dominan nuestra vida emotiva! Y precisamente con ello apreciamos como nuestro cerebro se engaña de forma brutal; de hecho, nos preguntamos: 

¿Acaso no llamaremos "causas" a nuestras expectativas?

El famoso ejemplo del perro de Pavlov es inesquivable: el perro transforma estímulos neutros en estímulos condicionados de forma inconsciente y ciega, de modo que termina concibiendo instintivamente y sin darse cuenta meras correlaciones como relaciones causales de pleno derecho. 

Siempre introducimos causas imaginadas en correlaciones de forma completamente ciega e inconsciente.

De hecho, es tan primitivo este instinto racional y causal nuestro: algo es feo y desagradable, lo aparto. Algo es bonito y agradable, me acerco e intento repetirlo ¡Y qué bien nos funciona aunque sea una mistificación!

Una mistificación que, por cierto, ponemos de manifiesto con el lenguaje sin alertarlo tan siquiera: -"esto es bonito o desagradable"-, decimos sin atender que somos nosotros quienes le adjudicamos nuestros gustos a las cosas mismas ¡Cómo si el poder de gustar, o de disgustar, fuera una facultad intrínseca suya! Y así hacemos también con nuestros patéticos juicios morales: esta persona es buena o bien es tóxica ¡Ahí le introducimos ficticia y arbitrariamente una propiedad innata a esa persona según como sea nuestra relación y experiencia con ella! 

Nuestro mundo moral es un reflejo de nuestro mundo de afectos, apreciaciones y pensamientos.

En definitiva, que al pensar solemos intuir en seguida una causa a nuestros afectos y experiencias, muchas veces de forma inconsciente, por pura sed de gestionar cuanto vivimos de forma más o menos efectiva. De hecho, aprendemos este proceder cognitivo desde los pocos meses de vida, como ya señalaba Piaget. 

La causa como ficción imaginaria

Parece tratarse de un proceso de millones de años: nuestras estructuras cognitivas crecen, se desarrollan y se nutren sobre la firme convicción de que todo suceso precisa de una causa, o al menos de unas condiciones iniciales que lo hagan posible. 

De nuevo, esto ya lo observó Hume: siempre convertimos correlaciones en causalidades ¡Siempre nos imaginamos un mundo mecánico detrás del acontecer, el fluir y devenir!

Hecho es que ya desde pequeños suele despertarse en nosotros una sed insaciable por preguntarnos el porqué de las cosas. 

¡Sin darnos cuenta suponemos ya de antemano que tiene que haber un porqué, una lógica y una mecánica detrás!: 

-¿Por qué esto es así? ¿Por qué ha sucedido aquello? Por qué, por qué...- y así hasta el absurdo. 

Si nos hemos convencido de que existe un tesoro (una causa), claro que lo vamos a buscar, pues esperaremos encontrarlo ¡Y al primer indicio pensaremos haberlo descubierto! 

Haced el juego con un niño: mentidle diciéndole que habéis escondido un tesoro por el jardín y no tardará en encontrar un tesoro. ¿Y acaso los adultos somos muy distintos? Sí, muy niños han sido siempre los científicos.

En este sentido, vale observar como los niños empiezan a bombardearnos a base de preguntas y porqués de forma ciega y torrencial, pero sin realmente importarles mucho si la respuesta dada será cierta o falsa. Con tener una respuesta les basta para satisfacer tan gran hambre de razón. 

Dar razones, justificarse... es un viejo truco que usan todos los farsantes para someter la inteligencia de la gente cuando ésta se hace preguntas, duda o se inquieta por algo.

En efecto, cuando sucede algo que nos altera, le buscamos un motivo, un sentido y una razón ¡Le buscamos una causa! Y un responsable sobre el cual dirigir nuestra atención y, sobre todo, el flujo de nuestra acción.

  Nos tropezamos con una piedra y descargamos sobre la piedra el dolor experimentado mientras le atribuimos "la culpa" de nuestro mal.

Sí, llega tan lejos nuestra dependencia a la noción de causa que si no encontramos nada para tomarlo como causa de los sucesos, entonces, nos la inventamos para quedarnos tranquilos. 

Y en el summum de la invención hemos llegado a contestar -¿Cuál es el porqué de las cosas? Nada... el sin porqué. 

Nuestro pensar tiene mucho de máquina

No pocos de nuestros procesos cognitivos actúan de forma automática e instintiva para ahorrar energía y agilizar la toma de decisiones. Y el hecho de alertar cómo la gente preconcibe las cosas nos permite intentar tomarles ventajas sin que tan siquiera lo puedan adivinar. Así me lo contó un pájaro de cuidado una vez siendo yo bastante joven: 

Incluso el más tonto del pueblo tiene clarísimo que 2+2=4; por tanto haciendo que 2+2 te dé 4 nunca ganarás nada. Si quieres tener éxito la clave reside en conseguir que 2+2 te dé 5, porque todo el mundo esperará que salga 4 y entonces te puedes quedar el uno restante tranquilamente. 

Así han actuado durante milenios religiones e ideologías: todo el mundo esperando una causa que explicara el porqué de la vida y el universo entero y los listos entregándosela en bandeja con mil condimentos a gusto de los espectadores; espectadores que terminan adorando y defendiendo a muerte a quienes les engañan y defraudan, simplemente porque sus estructuras cognitivas no les permiten comprender nada más allá. 

Pero como no todos somos iguales, no todos sentimos y pensamos empleando los mismos procesos cognitivos ¡Sí, son posibles otras interpretaciones! De hecho, algunos vamos hacia interpretaciones muy distintas a las que han dominado a lo largo de los últimos milenios entre la gran mayoría. Pero se precisa de tiempo. Y lo expuesto aquí es muy preliminar.

El crear como un afectar

Aún hay otro elemento más a tomar en consideración: al identificar la noción de "crear" como un mecanismo de causa-efecto, ello se hacía de la forma más simple y fácil posible. ¿Cómo? Se identificaba la causa como un sujeto distinto al efecto: -¡La causa y el efecto deben ser dos entidades distintas!-  Esgrimía por ejemplo Kant en sus famosos paralogismos de la razón, para dejar claro que el famoso "causa suí" con el que se definía a Dios era una paradoja incomprensible y absurda: -¡Demuestra que la noción de "Dios" sobrepasa nuestras limitadísimas capacidades cognitivas!- Razonaba Kant.

En efecto, el relato teológico que ha imperado durante milenios en occidente consideraba que el mundo de los afectos, del devenir, de las experiencias y vivencias, el mundo corporal y sensual, es el efecto creado por una entidad que debe de tener unas propiedades muy distintas. Hablamos de Dios o del Ser (la realidad).

Así se razonaba: si este mundo sensual es efímero y cambiante, su causa será eterna e inmutable. Si este mundo está constituido por cosas que se limitan siempre unas con otras, entonces su causa estará formada por entidades que no limitan con nada sino consigo mismas, y por consiguiente expresan lo infinito e inconcebible. Y de semejante forma de razonar emergió la noción fundamental de la metafísica: la transcendencia.

Todas las filosofías metafísicas han sido relatos que explicaban, o al menos intentaban explicar, cómo se puede trascender: como el efecto puedo trascender hacia su causa (el ser humano puede trascender y unirse a Dios por ejemplo), como lo finito puede trascender y volverse infinito, etc.

Si vamos al detalle, pues, apreciaremos precisamente como la metafísica surge de esta visión o interpretación mecánica y simplista del devenir, al tomarlo como el efecto de una supuesta e imaginaria causa. Al considerar "incomprensible y prohibitivo" que el efecto y la causa representen una misma cosa o propiedades. 

Pero hay algo más. Dentro de la gran simplicidad de este relato causal que ha dominado las consciencias occidentales durante siglos, precisamente por su simplicidad y facilidad de concepción, hay otro elemento a tener en cuenta: no sólo la causa y el efecto se conciben como dos entidades que deben ser distintas, sino que se considera que el sujeto causante genera y determina como será el efecto sin que por eso ello le afecte para nada. 

"Dios crea el mundo: lo genera y lo determina a voluntad", Se ha creído ciegamente siglo tras siglo. Y hoy nosotros nos preguntamos: ¿Pero el hecho de haber creado el mundo no le afecta para nada a Dios? ¿Dios continua siendo el mismo Dios antes y después de crear el mundo? ¿Es el Ser algo realmente inmutable?

Esta idea de inmaculación creadora y transcendentalidad  ha dominado todo el pensamiento occidental a fondo. Y sabemos que es falsa, rotundamente falsa. De hecho, quizás por ello empecemos ya a usar otra interpretación.

Muy poco a poco algunos empezamos a comprender y asimilar que el "crear" es un afectar, que un afectar no tiene porque implicar un mecanismo causal (no tiene porqué haber una causa y un efecto), y que afectar es un devenir. Por tanto, aunque de forma ortopédica y rudimentaria identifiquemos el devenir mediante causas y efectos para comprenderlo un poco y hacernos una idea vaga, ya hoy empezamos a comprender que, en tal caso, toda causa siempre se verá afectada y determinada por su efecto.

Todo artista cambia y evoluciona por el efecto que genera su propia obra sobre él

 

  

   

¿Importa el presente?

Llamamos "presente" a lo que somos conscientes de estar viviendo. Y el presente nos tiene atrapados, mientras nos arrastra cual río bravo. Eh ahí su fuerza salvaje.

Los seres humanos tenemos un problema psicológico fascinante a destacar: tendemos a creer ciegamente que sólo el presente es lo real. En otras palabras, tendemos a creer que las cosas, de algún modo, son como se viven ahora.  

De modo que cuando hacemos planes de futuro o soñamos con el mañana lo hacemos pensando en como percibimos "ahora" las cosas: Tomamos lo presente, lo mezclamos con nuestros deseos y expectativas, y con tal coctel en los labios proyectamos un futuro al que nos lanzamos -a veces con esperanza y a veces completamente derrotados de antemano.

Miro a mi alrededor y me maravillo al ver la gente incapaz de sospechar los profundos cambios que  vamos a experimentar; pues el presente nos tiene siempre aturdidos, tan aturdidos que no vemos ni escuchamos nada más que el ruido envolvente que nos ensordece y remueve, y así nos arrastra. 

Pero el presente pasa y con él este mundo de hoy se desvanecerá engullido por otro mundo distinto al sabroso coctel que una vez en sueños sorbimos. 

No te fíes de quienes afirmen "hechos" del futuro. ¿Qué podemos jamás saber del futuro si no existe? 

Sólo podemos saber que todo sobre el futuro es incierto. Hecho que resulta capital, porque ello nos lleva a cuestionarnos: ¿Y de qué sirve, entonces, que hagamos planes de futuro y tengamos sueños? 

Hacer planes de futuro aún a sabiendas de que el futuro siempre será incierto y caprichoso es un plantarle cara a la vida, un querer jugarle de tú a tú; es un decirle: -Vida, ya tengo mis planes para mañana, sabiendo que tu harás lo que te venga en gana. 

Aprender a hacer planes tomando consciencia de que el futuro se oculta siempre bajo el velo de la incertidumbre quizás sea la piedra fundamental de una ética vital. Y vale reconocer que griegos y romanos supieron ir bastante lejos a lomos de su "fatum".