El valor de las cosas. El dogmatismo en la aritmética

No sólo creemos que existen entidades y cosas medio escondidas en el devenir, sino que éstas poseen un valor u otro. En tal sentido, consideramos con gran inocencia que existen cosas buenas y siempre deseables, mientras otras las tachamos de malas, tóxicas y perjudiciales; juzgamos ciertas cosas de caras o difíciles de obtener, mientras otras de fáciles y poco valor; o que algunas son útiles e imprescindibles, mientras otras completamente caprichosas y fútiles; incluso que algunas son grandes y evidentes como el sol, mientras otras imperceptibles como una mota de polvo perdida en medio del inhóspito vacío sideral; o bien, que algunas son firmes, ciertas e inquebrantables, mientras otras frágiles, confusas e inciertas. 

El ser humano es incapaz de escapar del extraño y fascinante mundo de las valoraciones, los juicios, las consideraciones, las ponderaciones, las evaluaciones. Con motivo ha creído, durante milenios, que las cosas, de por sí, tienen un valor propio y objetivo, el cual puede o no coincidir con el valor que nosotros les otorgamos según nuestras consideraciones y circunstancias. Según nuestro gusto y punto de vista. A esta creencia se la ha llamado "dogmatismo". Y está muy apegada como prejuicio ancestral nuestro.

Kant fue el primero en intentar luchar contra "el dogmatismo". Al menos es el primer pensador moderno en reconocer que las cosas, en realidad, no tienen valor y si lo tuviesen sería incognoscible e inaccesible para nosotros. 

Para el alemán toda valoración y juicio humano sobre las cosas es subjetivo, y como tal aparente e hipotético. Por ello critica que se use nuestro juicio sobre las cosas como criterio de moralidad, dado que la ética se limitaría a meros imperativos hipotéticos, con lo cual promueve que nuestras decisiones, y acciones, se aparten de todo valor y juicio humano sobre las cosas. Sin embargo, preferir y desear eso ya es una valoración que hace el propio Kant, a despecho de lo que precisamente pretendía hacer. Y, además, se trata de valoración bastante desafortunada a mi juicio.

En cualquier caso, después de Kant los idealistas alemanes intentaron defender la existencia de un método o un criterio a partir del cual podamos hacer valoraciones y juicios objetivos y esenciales de las cosas. Esta forma de idealismo tuvo una dilatada influencia en todos los ámbitos del pensamiento del siglo s.XIX y XX. 

En Marx, por ejemplo, se aprecia como a su entender "el valor del trabajo" sería completamente objetivo e intrínseco del propio trabajo, y éste no siempre terminaría coincidiendo con el precio que al final obtiene el trabajador según lo pautado por el mercado de trabajo. A partir de esta creencia en la existencia de un valor objetivo y esencial del trabajo, a parte del valor "relativo", "circunstancial" o "efectivo", Marx desarrolló su crucial concepto de "plusvalua", y sobre él la tesis de que el capitalismo siempre intenta "robar" a los trabajadores parte del valor real y objetivo de su trabajo a fin de reinvertir y hacer crecer el propio capital. En otras palabras, Marx construyó toda su cosmovisión comunista sobre la creencia en valores objetivos, intrínsecos e "inhumanos" de las cosas. Un motivo más para identificar su pensamiento como metafísico. 

Pero más allá de la economía y la política, donde los espejismos y las fantasmagorías de las valoraciones  y los juicios humanos campan a sus anchas, me gustaría señalar como éstas también afectan a las matemáticas; las supuestas ciencias más objetivas e imparciales. De hecho, me gustaría esparcir un poco de nihilismo y desconfianza para con ciertos juicios y valores matemáticos.

De las matemáticas

Toda la matemática se fundamenta en una cuestión de valorar y poco más. La matemática es un constante ejercicio de juzgar, valorar y medir las cosas. La noción de número, sobre la cual se erige todo el edificio, surge de la necesidad de contar. Y contar es un medir y evaluar. Un juicio. 

Para valorar algo es necesario partir de alguna referencia, una base sobre la cual comparar. En matemáticas a tal referencia se le llama "unidad". Contar, pues, es la operación de poner las cosas en relación a esta unidad o referencia. 

Por otro lado cabe señalar cómo el concepto de unidad no es empírico o sensible. Es decir, no hay nada palpable que determine qué es una unidad, o qué debe ser la unidad de algo. La noción de unidad tiene sentido lógico, es decir, por la estructura dentro de la cual se articula. Ya luego podemos identificarla arbitrariamente con cuanto queramos a nivel empírico.

En el mundo de los números la unidad fundamental la simbolizamos mediante el "1". Y, como se ha dicho, a nivel empírico "1" no tiene ningún sentido ni significado, con lo cual le podemos atribuir el que queramos según qué queramos contar o juzgar, valorar o medir. 

Por ejemplo, si queremos contar lo que cuesta un coche, entonces la unidad de dinero la establecemos nosotros, acaso dando el precio del coche en euros, dolares, pesos argentinos, etc. Y en caso de darlo en euros, entonces establecemos cosas así: "1€= x barras de pan en tal tienda que siempre voy" o bien "1€=x minutos de mi trabajo actual", etc.  

A partir de semejantes estructuras lógicas de equivalencia va tomando peso y valor un coche, es decir, toma sentido para nosotros lo que vale un coche. Un sentido, ciertamente, completamente artificial, contextual e impuesto por nosotros mediante nuestras capacidades de comprensión.

Por tanto, la unidad, como concepto abstracto y artificial nuestro, no toma sentido realmente por nada empírico. Es ella, en cambio, la artífice de dar sentido y valor al mundo, convirtiéndolo en algo comprensible y con significado para seres como nosotros. O, al menos, para seres que razonan como razonamos nosotros. Y no le da sentido porque tenga, supuestamente, un valor y un significado propio y metafísico, cómo fantaseaban Pitágoras, Platón o Descartes por ejemplo, sino porque la unidad es "el resultado" de una serie de operaciones mentales fundamentales cuyo único valor es que nos permiten pensar y comprender cosas; aunque luego estas sean falsas, erróneas, artificiales y fictícias.

Estas operaciones fundamentales de la matemática son la adición (sumar) y la substracción (restar). Pero sobre ellas se pueden desarrollar muchas otras de más complejas, como multiplicar y dividir, la potenciación (y hacer raíces), el logaritmo, la diferenciación e integración, etc. De hecho, todo el cálculo se puede reducir, básicamente, a sumas y restas.   

Por tanto, la unidad toma sentido a partir de estas operaciones. Hecho es que los axiomas de la aritmética, como los de Peano por ejemplo, se fundamentan en la existencia de la "adición" como premisa inicial. La otra premisa inicial, luego, es que existe la unidad, y que se puede definir como la entidad necesaria sobre la cual se puede aplicar una adición o substracción.

Cabe señalar que estas 2 premisas iniciales no son ni ciertas ni falsas, simplemente son las mínimas exigencias necesarias para que tome cuerpo y sentido la aritmética habitual que usamos como constructo cognitivo. Nada más. De hecho, se pueden introducir otros axiomas para generar aritméticas especiales, como la modular o la lunar. 

En resumen, cabe entender que de ordinario contar es una operación que a partir de la unidad y la adición nos permite obtener toda una multiplicidad de valores:

1+1=2

2+1=3

3+1=4 

1-1=0

0-1=-1

etc.

Cada uno de estos valores que obtenemos en las diferentes operaciones se llaman "números". Insisto, estos valores o números no hacen referencia a nada empírico ni físico, simplemente expresan una operación bien definida; bien definida mediante esos dos axiomas iniciales. Nada más.

El problema, a mi entender, es cuando tenemos una operación aritmética que no tiene solución por ser irresoluble ¡Está lleno de operaciones sin solución! Por ejemplo, dividimos 1 entre 7 (tomando base decimal). Esta operación irá iterando dando restos de forma indefinida. ¿Tiene realmente un valor y una solución semejante operación? ¿1/7 da un número en base decimal? No. Pero se puede resolver cambiando de base: en "base 7" la operación 1/7 ya sí solución concreta. Todo esto, de una forma u otra, se conocía desde los Sumerios hace 7.000 años.

Sin embargo, hay operaciones que parecen ser siempre irresolubles; acaso x·x = 2, que es una forma de representar la operación que conocemos como raíz de 2. ¿Raíz de 2 tiene solución, tiene un valor, da un número? No, nunca.

Sin embargo, hoy en día, después de los trabajos de Cauchy y Dedekind, tenemos sumamente asumido que raíz de 2 o Pi son números. De modo que afirmar que no son números sino operaciones irresolubles y por tanto, sin solución, chocará.

Una de las argumentaciones que se puede esgrimir contra cuanto se plantea aquí es que si dibujamos un cuadrado de lado una unidad (1), entonces, la diagonal medirá, exactamente, raíz de 2. O si dibujamos una circunferencia de diámetro una unidad (1), entonces el perímetro medirá, exactamente, Pi. Se supone, sin más, que toda operación, por ser una operación, debe de tener un resultado y por ello cabe entenderla "ipso facto" como un número.

Vemos claramente como aquí nos habla de nuevo ese viejo y ancestral dogmatismo que tenemos ocultamente apegado en nuestra rudimentaria psique; esa vieja y ñoña fe en que las cosas tienen un valor y una medida intrínseca y objetiva. En este caso se cree que una figura geométrica, de por sí, tienes unos valores geométricos. ¿No resulta eso fascinante y digno de indagar un poco? 

Pero aquí se entiende todo esto de otra forma. Para empezar se parte de la premisa inversa: que una figura geométrica carece de valores geométricos de por sí. Por consiguiente, si tomamos un cuadrado, no es cierto que su lado mida (1) y su diagonal mida raíz de 2. Podemos imponer o convenir que la diagonal mida (1), de modo que los lados medirán, entonces, la mitad de raíz de 2.

En definitiva, constatamos que por el mero hecho de que se pueda dibujar una figura no significa que esa figura tenga unas medidas propias. Las medidas y los valores de la figura son un atuendo moldeable y sólo siguen la lógica de las propias operaciones que las definen.

La recta ideal

Los matemáticos se imaginaron los números mediante una recta ideal compuesta por puntos atómicos  (indivisibles) que se distribuyen de forma super densa, es decir, resulta imposible desgranarlos todos, absolutamente todos, para generar una secuencia fundamental donde, dado un punto, obtengamos el que viene inmediatamente después. Entonces, consideraron que cualquier punto dado de esta recta super densa, determinaba un valor, o resultado, para una operación bien determinada y precisa. Por eso supusieron que toda operación, en el fondo, debe tener una solución y por tanto, definir un punto de la recta. 

En otras palabras más ilustrativas: consideraron que los números eran el resultado de partir esta recta ideal en trozos más pequeños hasta pulverizarla en átomos -Como hizo Cantor con su monstruo (ver), que a partir del segmento [0,1] se va partiendo en 3 partes iguales de forma recursiva e indefinidamente, y se elimina la parte del medio. Con cada 3 partes se generan 2 puntos más: 

En tal sentido, cada partición era una operación, y esta partición se suponía que siempre presentaba un resultado claro y preciso ¡Un número! De modo que podíamos generar distintos tipos de particiones o operaciones; las racionales y las irracionales. 

Así pues,  consideraron viable iterar sin límite las distintas operaciones posibles obteniendo, con ello, la secuencia de todos los "puntos" o "soluciones" posibles de la recta ¡Todos los números que existen! Y eso era, a su entender, el continuo real.

Ciertamente, a su modo esta idea nos devuelve de nuevo a Zenón de Elea, quién mostró con la sencillez  y naturalidad característica de los griegos cómo éste intentar reducir la recta a puntos atómicos (números o soluciones) conllevaba profundas paradojas y limitaciones racionales ¡Y ciertamente las lleva! Aunque Demócrito intentó solventar estas paradojas diciendo que no es posible partir nada indefinidamente. 

Dar solución a lo que no tiene solución

Al descubrir los irracionales en tanto que operaciones irresolubles, así raíz de 2, se constató entre los griegos lo simplona que era esa visión atomista de Demócrito que pretendía reducir lo real a puros números o puntos indivisibles y atómicos: a un mundo perfectamente mecanicista donde todo cuanto existe se estructuraría mediante operaciones con soluciones perfectamente definidas -racionales (escogiendo bien la base).   

Platón, mucho más profundo que Demócrito, entendió que los irracionales (las operaciones imposibles de resolver) llevaban al traste el atomismo, y por tanto al mecanicismo puro y duro; tal y como expone en el Sofista. Y de hecho, va má allá: plantea una visión de la existencia donde el mecanicismo sólo sería aparente e imperfecto -la racionalidad siempre sería algo superficial-: 

¡El universo no sería una máquina autónoma y perfecta donde toda acción que acaece, por más caótica y compleja parezca, esté en el fondo bien definida y, por tanto, tenga una razón de ser! A lo sumo, sólo podría aspirar a comportarse como una máquina perfecta -sería su ideal-, sin llegar jamás a serlo, porque resulta imposible eliminar la incertidumbre y la irresolución, la contradicción y la indeterminación en cualquier proceso físico. 

La escuela platónica (Euclides, Eudoxo, Arquímides, etc) dominó las matemáticas antiguas hasta la edad moderna, mientras las matemáticas de Demócrito quedaron bastante olvidadas.  

Sin embargo, en el s.XIX, con Cauchy y Dedekind, y después de largas discusiones, sucedió algo, a nivel histórico, extraño: se decidió imaginar que estas operaciones irresolubles sí tienen solución, pero es una solución que está más allá de toda solución posible. Son soluciones ideales o metaempíricas (imposibles de hallar calculando, incluso mediante una calculadora puramente teórica).

La metafísica moderna permitía imaginar estos saltos de la razón hacia la esfera de las soluciones más inaprensibles, fantasmagóricas e hipotéticas. Y todo ello sazonado por el viejo prejuicio, o necesidad psicológica, de creer que debe de existe siempre solución para todo, una razón de ser, aunque ésta esté sumamente oculta y debamos pelearnos con nosotros mismos hasta la muerte de nuestros sentidos, y nuestro entendimiento, para revelar tan maravilloso secreto. 

No obstante eso, aquí, hoy, se intenta tomar consciencia de que los números no son más que soluciones a ciertas operaciones, y que no todas las operaciones se pueden resolver. Y, además, sabemos otra cosa más al respecto... que se contará en el siguiente post.