El infinito (IX). Revisión de Cantor: el conjunto de naturales no tiene por qué ser menor al de reales.

 En el post VI y VII del infinito hemos visto como el teorema de Cantor no es cierto cuando se aplica el límite al infinito, porque la paradoja que sí aparece en cualquier conjunto finito A, se pospone "sine die" al llevar el teorema a dicho límite.

Hemos visto como no existe un conjunto infinito A; es decir, no hay un conjunto de infinitos elementos bien definido, con un tamaño comprensible y por consiguiente, sobre el cual podamos establecer relaciones lógicas como pretendía Cantor ¡No se puede concebir ninguna "cosa infinita" que pueda ser ordenada de una determinada manera! 

En todo caso, podemos hablar de conjuntos indefinidos que muestran la propiedad de no cumplir los principios básicos de la lógica. Estos, en raíz, no son más que principios para determinar el ordenamiento y la relación entre las "cosas". Los más importantes son: 

-El principio de razón suficiente.

-El principio de no contradicción

-El principio de identidad

-El principio del tercio excluido

-El principio de transitividad

-El principio de "el Todo es mayor que las partes". 

De hecho, en seguida vimos ya como el mismo Cantor se dio cuenta que el principio "el Todo debe ser mayor que las partes" no se cumple al infinito, generando situaciones fascinantes, como la paradoja del hotel de Hilbert.

Por tanto, vimos que si al infinito no se cumplen los principios lógicos entonces ello conllevaba, al menos, 3 consecuencias a constatar:

1) Un conjunto infinito no tiene porqué ser idéntico a sí mismo, dado que no es una cosa o entidad.

2) Como no es una entidad, no mantiene ningún orden o relación determinada y fija, ni con otros infinitos ni, incluso, con entidades (cosas finitas, con tamaño y bien definidas).

3) Como un conjunto infinito no tiene porque respetar la transitividad, ni ningún orden, entonces al fijarnos en el caso concreto del conjunto de números naturales y el conjunto de los números reales, vemos que hablar de si uno es mayor que otro resulta trivial. Y si ello resulta trivial, entonces "la hipótesis del continuo" resulta trivial. Es decir, tal hipótesis puede ser cierta o falsa según queramos: podemos considerar que el conjunto de naturales es menor, igual o mayor que el de los reales a través de distintos procedimientos. Y como podemos leer aquí, desde hace 60 años sabemos que la hipótesis del continuo es trivial, pero no se ha entendido que eso se debe a que los conjuntos infinitos son ilógicos -no tienen porqué seguir ningún tipo de ordenamiento.

Cantor y el conjunto infinito de los números naturales

Como hemos visto en el post (VI), sobre el teorema de Cantor, el matemático consideró que para contar los elementos de un conjunto desde un punto de vista lógico había que poner sus elementos en relación inyectiva y ordenada con el conjunto de los números naturales. Entonces, se justifica que se puedan contar o enumerar sus elementos.

También vimos que para saber si el tamaño de dos conjuntos era el mismo teníamos que apreciar si era posible establecer una relación biyectiva entre sus elementos.  

También vimos como Cantor presuponía, sin demostrarlo, que un conjunto infinito respeta el principio de identidad, siendo por tanto siempre idéntico a sí mismo. Por ello partía de la idea de que el conjunto de los números naturales se ponía inmediatamente, y sin más, en relación biyectiva consigo mismo. Por consiguiente, lo consideraba un conjunto infinito numerable o contable.

Aplicando esta lógica, al final terminamos por ver como Cantor mostró como el conjunto de los números pares, de los múltiplos de 3, 4, 5, 6, 7 o el conjunto de los primos también podían ponerse en relación biyectiva con el conjunto de números naturales. Se demostraba como todos estos conjuntos tenían el mismo tamaño y por tanto, eran conjuntos infinitos numerables.

Después de todo esto, ahora viene lo nuevo: Cantor hizo lo mismo con el conjunto de números racionales (las fracciones) ¡Y vio que podía establecer una relación biyectiva entre él y el conjunto de naturales! 

Quedaba demostrado que el conjunto de los racionales también es un conjunto infinito contable:

Pero entonces intentó hacer lo mismo con el conjunto de los reales (los decimales), y mediante un método muy ingenioso llamado, diagonalización de Cantor, encontró que aplicándolo a la relación entre los números naturales y los reales, entonces aparecía una contradicción muy parecida a la que también aparecía ya en su teorema. Su conclusión, por supuesto, fue la misma: el conjunto de los números reales es de un tamaño mayor que el de los naturales y por tanto, es un conjunto infinito no numerable.

De aquí surgió la tesis cantoriana de que existen números transfinitos y, con ella, la hipótesis del continuo, la cual sedujo profundamente a un joven Hilbert; hasta el punto de considerarlo el problema matemático a resolver más importante del s.XX -curioso que luego sea trivial, y me parece que dice mucho de estos idealistas lógicos. 

En definitiva, a continuación expondremos una revisión a la diagonalización de Cantor y a la idea de que el conjunto de números naturales es menor que el conjunto de números reales. En todo caso, aquí podéis leer un "paper" más técnico (hacer clik), pero siguiendo el post encontraréis una breve exposición divulgativa. 

Diagonalización de Cantor

Suponemos el conjunto de todos los reales entre 0 y 1, formado por tantos elementos como queramos, como por ejemplo el 0.1, el 0.141592... (Pi menos 3) o bien 0.00345. Hacemos, pues, una lista con dos columnas: en una estarán los números naturales y en la otra los números reales de 0 a 1. Vamos a mirar si es posible establecer una relación biyectiva entre ambos:

Una vez establecida esta relación, Cantor quería comprobar si era o no biyectiva. Para ello destacó que si seleccionamos en rojo los decimales de la posición que marca el número natural, entonces obtenemos otro número real entre 0 y 1. En este caso obtenemos el 0.1437003. Se trata del número decimal que tenemos en diagonal. 

Luego cantor nos dice: a este número real de la diagonal le cambiaremos todas sus cifras, por ejemplo sumando 1 a cada una de ellas. Así tendremos otro número real entre 0 y 1. En este caso obtenemos el 0.2548114

Cantor, entonces, observa que este número es imposible que esté en la lista, porqué si estuviera en la lista, entonces uno de sus decimales formaría parte del número que hemos sacado de la diagonal, y como luego hemos cambiado todos sus decimales resulta imposible que esté en la lista ¡Y si no está en la lista no tiene imagen en los naturales! Además, cabe observar como esta situación se irá repitiendo  siempre igual aunque le vayamos añadiendo elementos a la lista: con la diagonalización construiremos un número real entre 0 y 1 que no tendremos en la lista y por tanto, carecerá de imagen en los naturales. 

Este razonamiento es correcto. Pero luego Cantor hace sus típicos saltos mortales y da por hecho que así sucederá también para cualquier lista finita que tengamos, por más grande que sea ésta; y deduce sin más que también sucederá así si la lista "puede crecer tanto como queramos sin que tenga jamás un final". 

Conclusión a la que llega el matemático: que siempre habrá, como mínimo, un número real que no puede ser emparejado con un natural, por consiguiente, el tamaño del conjunto de naturales es un infinito menor que el de los reales.

NOTA: Dejando de lado de que si la lista puede crecer tanto como queramos sin llegar nunca a un valor final entonces esta contradicción, por la misma noción de límite la infinito, se disuelve como se disuelven las paradojas de Zenón, ahora veremos como en realidad SÍ podemos crear una lista que contenga todos los reales entre 0 y 1 que queramos y emparejarlos con un número natural único. 

El método del espejo

Llamamos "método del espejo" al siguiente método: cada número decimal entre 0 y 1 tiene una imagen especular en los números reales. 

Por ejemplo: 

-La imagen especular de 0.1000000... es el ...0000001 (el 1)  

-La imagen especular del 0.141592.. es el ...295141   

-La imagen especular del 0.00345000... sería el ...00054300 (el 54300). 

Por tanto, si tenemos una lista con todos los reales de 0 a 1 y de todos los naturales que queramos, siempre los podemos poner en relación especular:

En este ejemplo vemos que en el conjunto de reales podemos formar un número real diagonal tan largo como queramos del tipo 0.209102... Y dejando de lado que por parte del conjunto de naturales podemos hacer lo mismo, vemos como este número real diagonal siempre tendrá por imagen especular un número natural, en este caso concreto su imagen será el ...201902 

Y si a este número real diagonal le sumamos +1 a cada una de sus cifras, obteniendo este otro número real 0.310213... vemos como este número también tiene por imagen especular un número natural. 

En resumen, mediante el método especular resulta imposible crear un número real entre 0 y 1 que no pueda tener por imagen especular única un número natural. 

Con ello se "demuestra" que el conjunto de naturales puede ser del mismo tamaño que el conjunto de los reales en el intervalo 0 y 1. Pero es que hay más.

A través del método de espejo, e introduciendo algunas "cosillas" más como se muestra en el "paper" colgado (ver aquí), es posible demostrar como, no sólo podemos emparejar cualquier número real que queramos con un número natural, sino que lo podemos hacer con un número natural que será múltiplo de 2,3 y/o 5. En otras palabras, podemos demostrar que el conjunto de naturales puede ser de un tamaño mayor que el de los reales ¡Todo lo contrario que había "demostrado" Cantor!

Y llevando este método un poco más lejos podemos llegar a demostrar que el conjunto de todos los números complejos siempre se puede emparejar con un único número natural múltiplo de 2,3,5 y/o 7. de modo que se demostraría, entonces, que el conjunto de los naturales puede ser de un infinito mayor que el de los complejos. 

Resumen

El trabajo de Cantor, con su teorema como fundamento, es correcto para cualquier conjunto finito, pero resulta incorrecto al límite en el infinito; del mismo modo que la paradoja de Aquiles y la tortuga, de Zenón, es cierta para cualquier intervalo finito de tiempo, por menor y ínfimo que sea éste ¡Pero no es cierta al infinito!

En cuanto al método de la diagonalización; es un método que falla más que una escopeta de feria, al llevarnos siempre a un absurdo y una contradicción. Sinceramente, me extraña que en 100 años no se haya alertado de ello. De hecho, lo absurdo del método se aprecia cuando lo aplicas para comparar el tamaño del conjunto de naturales consigo mismo; así se muestra en el paper (ver aquí). 

Se deduce de todo esto, que el supuesto tamaño de un conjunto infinito depende del método empleado para relacionar los elementos de este conjunto con otro. Por ejemplo, se puede demostrar que el conjunto de naturales es de un tamaño mayor, igual o menor que el de los reales; sólo nos basta escoger un método apropiado para ello. Eso se debe a lo que ya hemos estado diciendo a lo largo de los post: que un conjunto infinito no es un conjunto, es decir, no tiene tamaño ni identidad, pues no cumple los principios lógicos; en fin, que no es ninguna cosa o entidad, sino un limite y un "movimiento hacia" interminable. 

COSAS INTERESANTES A RESALTAR

Con todo, ¿qué hemos descubierto? 

1) El infinito no es una entidad, no tiene ningún valor, ningún tamaño, ningún significado intrínseco. El infinito es un "moverse hacia", un aproximarse tanto como se quiera hacia... un límite. 

3) Como el infinito no es ninguna entidad y la única manera de tratarlo es mediante límites y aproximaciones, siempre puede adquirir un valor a través de sumaciones; como las sumas parciales, las de Cesaro o Ramanujan . Las sumaciones no son más que distintos métodos de aproximación al límite. 

2) Como el infinito carece de tamaño, entonces no es cierta la idea popular según la cual lo infinito, por definición, tiene que ser siempre mucho mayor que cualquier cosa finita.

3) Como el infinito no tiene entidad ni tamaño, entonces puede ser igual o distinto a sí mismo. De modo que al llevar al límite infinito a dos conjuntos cualquiera estos pueden ser iguales o distintos según el método con qué relacionemos sus elementos. 

2) El infinito es un "torear" los principios de la lógica y, por ello, de cualquier forma de comparación y ordenamiento determinado. 

3) Infinito y nada son dos nociones fuertemente emparentadas a través del principio de identidad, al actuar, precisamente, de forma antagónica dentro del propio principio. Como hemos visto por encima en post anteriores, y por poner un ejemplo, si la energía neta del universo es 0 (la diferencia entre energía positiva y negativa...ver aquí), de algún modo eso significa que determinar el valor de la energía positiva del universo es irrelevante y trivial; podríamos adjudicarle cualquier número finito y sin embargo, nada cambiaría. Pero por esta misma razón, entonces podemos afirmar que la energía del universo nunca será "infinita". Lo que sí podría ser infinito es el tiempo, pero éste es otro tema. 

Sobre el infinito siempre hay muchas más cosas por decir e investigar, pero por el momento aparcaré el tema aquí. 

  

 

El infinito (VIII) La Nada, el cero y el principio de identidad

 Venimos de aquí

Quería hablar hoy sobre la capacidad del infinito por torear con gran elegancia el sacrosanto principio de identidad; que A=A; es decir: que "yo soy yo". 

Orígenes

¿Cómo surge tan fundamental principio de la lógica? 

Según mi tesis, que hemos visto en el post (el infinito II), surge de nuestra capacidad racional de comparar, y con ello de establecer símiles, dado que la "similitud" es un presuponer, establecer o imaginar que "algo concreto" existe y que este "algo" es similar, igual o equivalente con otra "cosa concreta" que también existe. 

Refinando semejante pensamiento complejo, se llegó a pensar que las "cosas" no sólo se pueden parecer a otras "cosas", sino que, en el fondo y en esencia, las cosas sobretodo tienen que poderse parecer a sí mismas ¡Y al hacer eso todo lo que "dicen" las cosas sobre sí mismas tiene que ser una verdad irrefutable -una tautologia!

También hemos visto como con Parménides este principio se eleva hasta las divinas alturas y bajo el regazo de la Diosa "Niké" se nos promete contemplar la realidad desde fuera, objetivamente, como quien mira una manzana dorada, redonda y perfecta entre sus manos. En efecto, con tal principio etéreo y superior Parménides soñaba poder terminar definiendo la realidad en sí misma (El Ser) 

¡Con qué sobriedad el "descubridor del Ser" predicaba haber encontrado la verdadera vía para alcanzar la verdad!"Methodos epistemai" dice en griego.

 De modo que, con este principio se fundamenta toda la metafísica: la ciencia que estudia las cosas en sí mismas, y no en relación con otras cosas -esto lo haría la física. Pues se supone que cuando se estudian las cosas por sí mismas, uno sólo descubre verdades -tautologías-, mientras que cuando estudia las "cosas" según su relación con otras, y por ello según las circunstancias y las condiciones, sólo obtiene un conocimiento relativo, circunstancial, siempre incompleto y susceptible de cambiar-contingente.

Dejando de lado que el primero que tacha la metafísica de absurda, trivial y redundante, mientras la aparta del ámbito científico, es Nietzsche, al darse cuenta de las limitaciones del principio de identidad al resultar imposible poder "mirar" jamás nada por sí mismo, lo cierto es que nos cuesta mucho no usar aspectos metafísicos y tautológicos en nuestros relatos, incluso en los relatos de la física, la lógica o las matemáticas. 

Y así sucede en matemáticas. Todo el álgebra se fundamenta en una idea metafísica, es decir, una verdad que se toma por irrefutable al ser tautológica; a saber: que dada una variable, ésta tiene que ser idéntica a sí misma.

Por ejemplo, dada x, entonces x = x

Ciertamente, esta igualdad no es más que una relación de similitud o equivalencia, y resulta completamente redundante ¡No nos aporta ninguna información! Pero es una definición y como tal, nos permite empezar a articular un relato. Aunque para ello necesitaremos alguna otra definición más; al ser precisamente redundante.

Por ejemplo, podemos usar esta otra definición: 

x= 5-2

y entonces podemos usar esta otra definición: 5-2=3

Al final obtenemos 3 definiciones:

1) x = x

2) x = 5-2

3) 5-2 = 3

Con estas 3 definiciones aplicamos algunos razonamientos y comparaciones, y llegamos a otra tautología como conclusión:

x= 3 o 3= x, y con ello que 3=3

¿Hemos descubierto aquí una verdad?

Se aprecia como a partir de una definición tautológica (x=x), otra definición  aritmética arbitraria (x=5-2), y otra definición matemáticamente arbitraria (5-2=3), obtenemos otra definición concluyente (x=3), la cual nos lleva de nuevo a otra tautología final (3=3). 

¿Es esta conclusión final cierta? No lo sabemos. De momento es una exigencia, una suposición, que se fundamenta en las otras tres definiciones iniciales. Si estas fueran ciertas, la conclusión también lo sería. Pero, ¿son ciertas? Veamos:

-Que x=x , no sabemos si es cierta, pero no es contradictoria o absurda.

-que x = 5-2, tampoco sabemos si es cierta, pero tampoco es contradictoria o absurda. 

- que 5-2=3 es cierta según la normas establecidas de la aritmética habitual y por tanto por conveniencia.

En fin, damos por cierto que x=3 es cierto porque de las 3 definiciones con las que razonamos una de ellas se considera cierta por normativa aritmética. Curioso. 

Observaciones sobre la tautologia; x=x

- Toda tautologia es una definición (una contradicción también es una definición). 

-Toda definición es una afirmación, con lo cual puede ser juzgada como cierta o falsa -ello dependerá de la argumentación y las evidencias. 

-La tautología es una definición que los metafísicos siempre han intentado validar a partir de una "petición de principio". "x es x, es una afirmación cierta porqué es evidente que x es x". Estamos ante un argumento completamente circular que pretende usarse a sí mismo como evidencia probatoria. ¿Es esto legítimo?

-Primero cabe preguntarse: ¿La definición "x es x" es cierta o falsa? Siendo honestos, no lo sabemos, dado que nos falta información, precisamente, sobre x. 

- "x es x" no nos permite adquirir información nueva sobre x, de modo que no nos permite saber nada sobre x. Y decir que "x es x porque es x", cuando no sabemos qué es x, sinceramente, es no decir nada sobre x. En este sentido la tautologia no puede ser ni cierta ni falsa.

-Que la tautologia "x es x" no pueda ni ser cierta ni falsa por falta de información, en principio, es una característica destacada, y por ejemplo la distingue de la contradicción (x≠x); que es una afirmación que siempre puede ser cierta y falsa a la vez -una autonegación. 

-Una definición tautológica al no poder ser ni cierta ni falsa es redundante, trivial y en tal sentido una definición "vacía". 

-Toda tautologia nos funciona en la medida que siempre es, precisamente, redundante y vacía. En otras palabras, actúa como una eterna suposición  ¡Estamos ante una eterna hipótesis! De aquí su poder en todo relato: no la podemos verificar, pero tampoco refutar. Se supone y andando... 

-¿Que una hipótesis nunca pueda ser ni verificada ni refutada acaso implica, necesariamente, que debe de ser más cierta que una afirmación cuya validez sí es comprobable, como "hoy llueve"? Así han juzgado siempre todos los metafísicos. ¿Pero no es un juicio muy subjetivo este? En cualquier caso, nosotros lo juzgamos de otro modo: al ser una eterna hipótesis nos resulta lícito usarla si nos conviene.

-Es por este motivo que las tautologías, como eternas suposiciones vacías y triviales actúan como piedras elementales de los relatos humanos ¡Y muchas veces se omiten, de tan elementales que son para el relato! Y ya no hablamos aquí sólo de relatos matemáticos, sino de cualquier ámbito. 

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Hemos visto, pues, como una afirmación tautológica no incrementa jamás nuestro conocimiento sobre lo definido. En este sentido nunca puede ser ni cierta ni falsa, dado que no hay nada "sobre qué" validarla o refutarla. Simplemente es una petición de principio; en otras palabras: una exigencia lógica inverificable. Con motivo estamos ante una entidad metafísica. Hecho es que un mundo de puras tautologías, como soñó Parménides (con su Ser), Platón (con sus ideas), Descartes (con su Dios), Leibniz (con sus mónadas), Kant (con su "cosa en sí") o los logicistas de principios de s.XX (con su torre lógica de Babel) es un mundo inverificable y trivial, vacío y completamente redundante.  Como decía Nietzsche: un mundo superfluo de nueces vacías, que sin embargo quieren ser cascadas. 

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La tautologia en las matemáticas

La suposición fundamental de las matemáticas es que x = x ¡Sea lo que sea x! Sobre esta nube de eterna redundancia y trivialidad, se han construido las catedrales más impresionantes de las matemáticas y por ende, del conocimiento humano. No deja de impresionar tal habilidad.

Su éxito justifica su uso, pero no demuestra su "certeza". Hecho que nos lleva, otra vez más, al dilema que ya abrió con fuerza inaudita Nietzsche: ¿cómo la verdad puede surgir de la suposición y la incertidumbre? ¿Será una locura sin más? ¿O es que, no hay verdad... ni por tanto mentira?

Sea lo que sea, esta definición fundamental, que "x = x", no es más que un principio para definir el siguiente  proceso recursivo reversible:

(0 = 0) ↔ (0+1 = 0+1 = 1 = 1)↔(1+1 = 1+1 = 2 = 2)↔(2+1=2+1=3=3)↔(3+1=3+1= 4 = 4)↔(4+1=4+1=5=5)↔(5+1=5+1=6=6)↔ ...↔ (x = x)

De hecho se observa lo siguiente:

(x = x) ↔ (x - x = 0) que es propiamente la definición de principio de identidad.

De algún modo, pues, el "principio de identidad" nos introduce la noción de "nada" o "vacío", al querer decir que una cosa es idéntica a sí misma cuando se niega a sí misma emerge la nada. 

Pero a la vez nos dice, si lo "leemos" al revés, que de la nada puede surgir cualquier cosa, dado que:

0 = 0 es la misma expresión que 1=1, y que 2=2, y que 3= 3 ... y que x=x

En otras palabras: 0= 1-1=2-2=3-3=4-4 =...= x-x

Este fue el pensamiento filosófico que propuso Anaximandro y llamó "apeiron" (indefinido), puesto que todo era Nada y de esta Nada, podía surgir cualquier cosa por oposición de identidades. Y si recordamos, luego Parménides luchó contra ello al defender el Ser. Sin embargo fue Gorgias, el sofista, quien puso de manifiesto cuan absurdo era el Ser de Parménides y esa ciencia nueva que decía haber descubierto (la metafísica). Fue Gorgias quien advirtió que el "principio de identidad" no demuestra el Ser cuando lo llevas "al infinito", sino más bien demuestra la existencia de la Nada, y de como todo surge de la Nada. 

Hoy en día los cosmólogos, como Lawrence Krauss, han terminado defendiendo lo mismo que Gorgias: el universo, antes del Big Bang, surgió de la Nada, porque en esencia es Nada. Sí, volvemos de nuevo al nihilismo sofista ¡Y con mucha razón!

En efecto, este nihilismo es inevitable, en la medida que basamos toda nuestra interpretación en el principio de identidad: un principio vacío, redundante y trivial ¡La eterna suposición! Por tanto, cabe comprender que cuando los cosmólogos nos dicen que el universo es Nada, lo que nos dicen es que en esencia tratan al universo como una cosa que es idéntica a sí misma. ¿Cómo lo hacen? Apelando al principio de conservación de la energía: el universo, sea lo que sea, siempre es energéticamente idéntico a sí mismo ¡Siempre se contiene en sí mismo! Y esto significa que, sea lo que sea el universo, es equivalente a decir que es Nada.

¿Es pues el principio de conservación de la energía una eterna suposición? Desde luego. Es una petición de principio que sirve como fundamento y guía a la hora de estructurar nuestro relato de la física (leyes y teorías físicas). De hecho, podríamos hacer cierto seguimiento evolutivo e histórico de esta petición de principio a la que llamamos "principio de conservación de la energía" y sobre el cual definimos qué es un sistema físico aislado -inercial, único, con unas leyes propias inherentes, etc.  

La aparición del infinito como movimiento de la nada.

Pero hay un "pero". El principio de identidad, y así bien se observa con la simplicidad del relato matemático, no sólo nos lleva de golpe a la Nada como fundamento, sino que expresa un proceso recursivo sin final -además reversible. 

Por tanto, nos aporta la idea de nada y al mismo tiempo, la idea de infinito ¡Y lo hace de una forma sutil y sorprendente a la vez!

Es decir, tenemos que x-x=0, o lo que es lo mismo: cualquier valor por grande o pequeño que sea, menos sí mismo, da cero siempre, dado que será siempre idéntico a sí mismo. Sin embargo, ¿qué sucede si aplicamos el límite al infinito?

Veámoslo a través de pasos parciales o aproximaciones:

0=0

0=1-1

0=(1+1)-(1-1)=1-1+1-1

0=((1+1+1)-(1+1+1)=1-1+1-1+1-1

... así indefinidamente

Apréciase que aproximando indefinidamente el principio de identidad obtenemos la famosa serie de Grandi: 1-1+1-1+1-1+1-1+...

Observaciones sobre la serie de Grandi:

1) Esta serie es fundamental porque representa el límite al infinito del principio de identidad.  

2) Para aproximarnos hacia un valor para esta serie, primero usamos sumas parciales. Y por sorpresa nuestra, apreciamos que no tiene porqué dar 0 ¡También puede dar 1! ¿Se romperá el principio de identidad? ¿Significa que la nada no puede ser algo infinito? 

3) Podemos aplicar otra aproximación a la serie, se llama sumación de Césaro. Según esta sumación la serie de grandi tiende a un valor concreto ¡Pero no es 0! Es 1/2. Y esta sumación concuerda, luego, con otras. Es muy fiable como límite.  

4) Hemos "descubierto" algo fascinante, algo que de nuevo rompe con los trabajos de Cantor y sus suposiciones:  que lo infinito, sea lo que sea, no debería tratarse como algo idéntico a sí mismo, sino en casos muy arbitrarios. 

Lo infinito toreando impunemente el principio de identidad 

En resumen:

Principio de identidad: (x = x) ↔ (x - x = 0)

Límite al infinito del Principio de identidad (por Cesaro): 

Lim (x-x)= 1/2  ↔  Limite (x) =1/2 + Limite (x)

Se aprecia como al infinito "el principio de identidad" desaparece, al igual que la noción de nada. De modo que el infinito ni es una cosa, ni es nada; es decir ni se contiene en nada ni en sí mismo como supone toda la metafísica desde Parménides.

¡El infinito, por tanto, ni es "algo" ni por eso conlleva tampoco la nada!

¿Y qué significa esto? El infinito es movimiento, aproximación, simplemente no es una entidad. 

Ver el post siguiente: el infinito (IX)

 

  

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El infinito (VII). Repasando algunas ideas -El infinito como una película.

 (para ver el primer post sobre el infinito aquí)

Venimos del post anterior (ver aquí), del cual he retocado algunas imprecisiones, ya de la revisión adjuntada como de comentarios y anécdotas, a fin de hacerlo algo más claro y ameno. Empresa difícil, la verdad. 

El trabajo de Cantor fue importante porque:

1) Pone de manifiesto (demuestra) que la premisa lógica "el Todo es mayor que las partes" se puede violar tranquilamente en el "infinito".

2) Descubre un elemento extraño y singular que pone en jaque a todas las convicciones lógicas y racionalistas establecidas hasta principios del s.XX. Se trata de un elemento lógico que pone de manifiesto, precisamente, que toda lógica se fundamenta en algo paradójico e ilógico -Con los trabajos de Gödel, Tarsky, Wittgenstein, etc, el aspecto paradójico de todo lo lógico se acentúa, hasta poner en jaque la noción misma de "verdad" para las mentes lógico-matemáticas. 

3) Con su hipótesis del continuo establece la idea de que "el infinito" puede petrificarse, para luego estructurarse y ordenarse de forma transitiva; es decir, puede tomar cuerpo y hacerse lógico. 

La revisión al teorema de Cantor

En el post anterior hemos visto una revisión al teorema de Cantor, en base a la noción de límite. Me gustaría comentar algunas ideas más al respecto:

Como ya se expuso, Cantor parte de la idea de que para cualquier conjunto (A), su conjunto potencia tendrá siempre un tamaño mayor al tener, como mínimo, un elemento más -el elemento B. Y como vimos esto es cierto para:

- un conjunto (A) de 1 elemento 

- un conjunto (A) de 2 elementos 

- un conjunto (A) de 3 elementos 

...

- un conjunto (A) de 150 elementos

...

- un conjunto (A) de 100.000.000.000 elementos 

Y así indefinidamente.

En otras palabras, partiendo de un conjunto cualquiera (A) de 1 elemento, Cantor observa como el elemento B ya aparece en su conjunto potencia y genera una contradicción con los elementos de A, con lo cual se convierte en un elemento desparejado; y también sucede así si le agregamos un elemento más al conjunto (A); y vuelve suceder si agregamos otro elemento más; y vuelve a suceder si le agregamos otro más... y así indefinidamente. 

En resumen,  Cantor observa que para cualquier conjunto finito (A) siempre aparece el elemento B en su conjunto potencia, por más grande que se vaya haciendo el conjunto (A). Y sin embargo,  nunca encontramos ningún elemento de A que sea capaz de relacionarse con él, porque siempre se genera una contradicción al intentar encontrarlo. De modo que B siempre queda desparejado. 

¡Y es aquí cuando Cantor realiza un salto mortal! 

De todo ello deduce a su arbitrio que, este proceso recursivo TERMINARÁ cuando el conjunto (A) alcance los infinitos elementos. 

En efecto, para Cantor existe un conjunto (A) de infinitos elementos, el cual no deja de ser otro conjunto más de la serie, y que actúa como "el último conjunto (A) de todos los posibles".  

Cantor, pues, desde un principio trata el conjunto infinito (A) tal que si fuera como cualquiera de los otros conjunto finitos (A) que hay de posibles - acaso sería simplemente el último de todos los posibles.

Críticas a esta idea

Primero; al considerarlo un conjunto como cualquier otro Cantor generaliza sin más. ¿Es lícito hacerlo? 

Fijémonos: da por hecho que con un conjunto infinito (A) también aparecerá un elemento B que quedará desparejado, dado que así ha sucedido en las "infinitas" veces anteriores. Y bajo tal suposición, da por hecho haber demostrado que el conjunto infinito (A) también tiene que ser menor que el de su potencia, como ocurre en todos los demás, dando entender entonces que el conjunto infinito (A) es más pequeño que el conjunto potencia de (A). 

Pero uno debería preguntarse: ¿si vamos al infinito con este proceso recursivo de ir incrementando los elementos de un conjunto finito(A), al final encontramos realmente un último conjunto? ¿Y si en efecto hubiera uno allí, acaso sería el último de todos los posibles?  ¿No será todo esto más que idealismo trasnochado?

En seguida, pues, se intuye como Cantor presupone mucho antes de demostrar nada que un proceso recursivo de conjuntos finitos desemboca en "conjunto final" y éste, por tanto, no sólo debe de tener un tamaño (el más grande posible, que llama infinito), sino también una posición (la última) ¡Ya Cantor presupone que el infinito es un número (cantidad) que está ordenado! Que luego llegue a la conclusión que así es, visto lo visto, no es de extrañar.

Ante este salto mortal, este prejuicio y "petición de principio", y que a Cantor se le ha perdonado durante más de 100 años, se nos hace preciso no perder la calma, coger los guantes de cirujano y sin nervios  seguir diseccionando esta demostración de arriba a bajo con un corte preciso.

¿Por qué pensamos que esta forma de razonar, por cierto muy extendida entre lógicos, matemáticos y metafísicos aún a día de hoy, no es nada válida? 

Por ser breve: en una serie recursiva como la descrita no hay un último termino, no hay un conjunto final con infinitos elementos deseando ser alcanzado. ¡No hay ese ideal transfinito esperando desde lo eterno ser alcanzado por una recursión pura y dura! ¿Barajar semejante opción no es sacarse un conejo de la manga?

Lo que define a una serie recursiva es que, precisamente, no hay ningún final y por tanto la serie te irá dando tantos conjuntos finitos como quieras ¡Jamás encontrarás uno de definitivo y último! Y mucho menos uno que contenga infinitos elementos De modo que jamás encontrarás un hipotético conjunto (A) final de infinitos elementos sobre el cual puedas hablar. ¡Y esto tiene consecuencias!

Sin embargo, aún hay algo más: esta serie recursiva define todos los conjuntos (A) finitos posibles. Y cuando digo todos, digo absolutamente todos los posibles. ¿Y cuantos hay? 

Aquí cabe insistir de nuevo: no hay un numero natural y "fijo" para responder a tamaña pregunta, dado que el número de conjuntos finitos puede "crecer" tanto como queramos. Y así mismo sucede, por ejemplo, con los números naturales: no hay ningún número natural infinito; todos los números naturales son finitos, pero pueden crecer tanto como queramos -Y con los decimales de los números irracionales, así Pi por ejemplo, sucede lo mismo, pero a los profesores de matemática siempre les ha gustado contártelo de forma idealista. 

No me cabe duda; estamos demasiado acostumbrados a tratar "el infinito" como una "cosa" con un tamaño (el mayor de todos los imaginablemente posibles), como una pluralidad de elementos inmensa y divina, como un número que no es un número y por consiguiente, como "algo" con entidad propia, única, fija e ideal ¡Incluso con una posición determinada -el último de un proceso recursivo-!! Pero ¿hasta qué punto nos tiene maniatados este relato metafísico y tan platónico sobre "el infinito"? 

Interpretémoslo de otra forma: cabría empezar a tomar el infinito como un "movimiento hacia...", "un aproximarse o un crecer tanto como se quiera sin alcanzar jamás ningún final"... un procesar continuo. Por consiguiente, ¿no seria interesante empezar a concebir lo finito como lo que tiene un valor fijo, sólido, único, lógico y en este sentido "cierto" e inamovible, mientras que lo infinito como lo cambiante, fluido, ilógico y en tal sentido, "incierto"?  

Sí, he dicho ilógico, porqué como ya hemos visto "el infinito" no sólo revienta la noción lógica de "El todo es mayor que las partes", sino otras. Por ejemplo, ¡torea el de no contradicción! Como hemos visto en la revisión  del teorema de Cantor.

Toreando contradicciones

Con la revisión del teorema de Cantor hemos visto de forma precisa como al llevar un conjunto finito (A) al límite en el infinito, por sorpresa nuestra, se va posponiendo de forma indefinida la contradicción que va generando la aparición del "conjunto B" con cualquier elemento de A. En otras palabras, la contradicción que genera siempre el conjunto B con cualquier elemento de (A) nunca se puede materializar cuando llevamos el conjunto A al infinito, de modo que la paradoja se deshace como un nudo al volverse lógica y coherente. Sin embargo esta resolución tiene un precio: 

El conjunto B pasa a ser completamente desconocido para nosotros al ser un "crecer tanto como queramos"; al igual que desconocemos el elemento de A que se relaciona con él porque también va creciendo tanto como queramos. Por tanto, el conjunto B y el elemento del conjunto (A) con el que debería emparejarse ya no existen como tales en el infinito, puesto que no están definidos por un valor "fijo"; sólo existen como dos límites, dado que su valor puede crecer tanto como se quiera. Y en tanto que límites, entonces, desaparece dicha contradicción entre ambos, refutando, así, la demostración del teorema de Cantor al infinito... y sus consecuencias.  

En realidad este poder que tiene "el infinito" para disolver, o deshacer, lo contradictorio, irracional y paradójico no es nuevo. También lo hemos visto ya, por ejemplo, al analizar como la ley de Weber explica la noción de infinito. La noción de infinito aparece, recordemos, cuando tenemos un sistema de percepción no transitivo, y por tanto contradictorio, e intentamos volverlo coherente y lógico aumentando su "precisión" ¡Esto nos lleva a un proceso recursivo interminable!  

O miremos la paradoja por antonomasia de la lógica, que ya abrió ampollas entre los griegos; la paradoja del mentiroso, que dice: "Esta frase es mentira". Estamos ante una expresión con una sola proposición, por tanto es finita, cuyos dos términos se contradicen generando la paradoja y la suspensión de juicio y razonamiento. Si le añadimos otra proposición antes del segundo término, el que genera la contradicción; como por ejemplo así "Esta frase y lo que cuentan en la tele son mentiras"; seguimos generando una contradicción, pero tarda más en hacer efecto. Si le añadimos otra mas, como, "Mis amigos juegan a fútbol, pero esta frase y lo que dicen en la tele son mentiras" seguimos generando una paradoja, con más retardo aún. Pero, ¿qué ocurre si encontramos un método con el que ir añadiendo proposiciones de forma recursiva? Pues que la contradicción se va posponiendo indefinidamente y no se materializa jamás. ¡La contradicción se disuelve!   

O también tenemos ahí la famosa paradoja de Zenon de Aquiles y la Tortuga, según la cual Aquiles no podrá alcanzar jamás la tortuga porque siempre que Aquiles recorre la distancia que le falta hasta la tortuga, que será finita, ésta aprovecha para separarse un poquito más del héroe. Sin embargo, cuando llevamos esta contradicción al infinito, como hicieron los primeros que empezaron a tantear la noción de límite en el s.XVII-XVIII, vieron como dicha contradicción se disuelve y Aquiles alcanza a la tortuga en un momento indeterminado -No sabemos cuando, pero lo la alcanza seguro. 

Y de igual modo esto mismo descubrió Gödel con sus famosos teoremas de incompletitud: que cualquier lenguaje lo suficientemente complejo o genera paradojas e inconsistencias, si está formulado sobre un número finito de axiomas, o bien resulta incompleto, y por tanto le faltan axiomas, cuando no genera incoherencia alguna.  

En definitiva, de repente alertamos como podemos definir "el infinito" como la forma más sutil y efectiva de disolver una contradicción, una paradoja, una locura lógica... ¡Pero eso siempre es a costa de ganar "movimiento", indeterminación, incertidumbre! 

Bien mirado, pues, igual el infinito y la contradicción son dos caras de una misma moneda; nos mostrarían dos perspectivas distintas de una misma idea: de cuanto hay de ilógico, inefable e irracional en todo relato humano; en nuestra racionalidad y capacidad de comprensión, quiero decir.

El infinito como una película

Reflexionado sobre todo ello, confieso una vez más que no veo el infinito como una "cosa", acaso un conjunto con muchos elementos, a lo sumo incontables; lo veo como movimiento y fantasía. Siendo gráficos, lo veo como una película sin fin. 

¿Acaso tal película es el conjunto de sus infinitos fotogramas? No, es más bien un pasar los fotogramas, uno a uno y tantos como queramos sin que jamás entre en contradicción... es decir, se quede colgada y deje de existir. 

En resumen, pues, veo el infinito como una idea muy natural, en su sentido más radical.   

 

   

 

 

 

El infinito (VI) El teorema de Cantor, y de como falla al llevarlo al infinito

Venimos del post anteior sobre el infinito (ver aquí) 

George Cantor (s.XIX) fue uno de los padres de la teoría de conjuntos: un relato lógico-matemático sobre el cual se aspiraba fundamentar todas las matemáticas. Una de las idea importantes que introduce Cantor en esta teoría es la de tamaño de un conjunto, al que llama cardinal (card).

El tamaño de un conjunto es el número de elementos del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de estrellas de la Osa Mayor está constituido por 7 estrellas, por tanto su tamaño o cardinal es 7. 

Una vez definido el tamaño de un conjunto Cantor era plenamente consciente de que, a nivel matemático, el tamaño de un conjunto se "conoce" al contar los elementos del conjunto, mientras que "contar" resulta algo evidente. Pero, ¿qué significa "contar" desde un punto de vista lógico? 

Cantor advirtió que, a nivel lógico, contar los elementos de un conjunto consiste, en esencia, en relacionar el conjunto que se quiere contar con el conjunto de los números naturales. En otras palabras más precisas: para contar se tiene que poner el conjunto a contar en relación inyectiva, y ordenada, con el conjunto de números naturales; como por ejemplo así:

Una vez definida la función "contar" como "un poner en relación inyectiva, y ordenada, un conjunto cualquiera con el conjunto de los números naturales", Cantor observó que si esta relación, además de inyectiva, era también exhaustiva (sobreyectiva), quería decir que ambos conjuntos tenían el mismo tamaño ¡Aunque fueran infinitos! Y así ocurría, por ejemplo, con el conjunto de números pares, o con el conjunto de múltiples de 3 o con el conjunto de los números primos, etc. 

¡Tantos números naturales hay como múltiplos de 2, de 3, de 4, de 5, de 6... o de números primos!

De repente Cantor observa que el infinito puede ser explicado, y tratado, como una cantidad. La idea de límite, de un aproximarse tanto como se quiera sin llegar jamás al final, parecía caer y evaporarse, ya que el infinito se cosificaba de nuevo; de nuevo tomaba cuerpo y características de número (de entidad). 

Pero, el "descubrimiento" de Cantor sobre el infinito hacía salir a flote una idea contradictoria, irracional y paradójica: el infinito parecía no cumplir la premisa lógica de que "el Todo debe ser mayor que las partes". De aquí surgió la divertida paradoja del hotel de Hilbert.

A fin de intentar resolver esta paradoja Cantor descubre un elemento especial y único: un elemento autorreferente que se autoexcluye. ¿Cómo lo descubre?

Cantor se da cuenta de que todo conjunto A es siempre menor a su conjunto potencia P(A) (el conjunto de todos sus subconjuntos). Un ejemplo :

A={1,2,3} tiene 3 elementos

P(A)={{},{1},{1,2},{2},{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}} tiene 8 elementos, que son los subconjuntos de todas las combinaciones de elementos de A.

Por tanto, el tamaño de A siempre es menor que el tamaño de P(A).

De inmediato Cantor se pregunta: 

¿será posible demostrar para todos los conjuntos posibles, incluso los infinitos, que, en efecto, A tenga siempre menos elementos que P(A)? 

Y al buscar una respuesta a tamaña pregunta encontró dicho elemento extraño, autorreferente y autoexcluyente, dotando de fundamento a su nuevo teorema; el teorema de Cantor. 

El teorema de Cantor y su elemento estrella

En un lenguaje un poco informal el teorema de Cantor dice:

    Para saber si un conjunto y su conjunto potencia tienen la misma cantidad de elementos tiene que ser posible establecer una función biyectiva entre todos sus elementos, es decir, tiene que ser posible establecer una relación inyectiva y luego otra de exhaustiva entre sus elementos.

1) Tenemos un conjunto de "cosas" que llamamos A. 

Por ejemplo A={1,2,3} Es un conjunto de 3 elementos, que son el 1, el 2 y el 3.

2) Tenemos, luego, el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto anterior, que llamamos P(A).

Por ejemplo P(A)={{},{1},{1,2},{2},{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}} Es un conjunto de 8 elementos, y que cada uno es un subconjunto de A

3) Establecemos una relación inyectiva cualquiera entre A y P(A)

Por ejemplo, definimos la función f(x)={x}, de modo que, 

f(1)➜{1} 

f(2)➜{2} 

f(3)➜{3} 

4) No hay problemas para establecer una relación inyectiva entre A y P(A) ¿Consecuencias? El conjunto (A) no puede tener más elementos que su conjunto potencia. Y visto esto, entonces buscamos la manera de establecer una relación exhaustiva y ver si el conjunto potencia puede tener más elementos que el conjunto (A) . 

5) Antes de nada, pero, hay que reflexionar: para que sea exhaustiva todos los elementos de P(A) tienen que estar relacionados con un único y exclusivo elemento de A, y como todo elemento de P(A) es un subconjutno de A, esto quiere decir que todos los subconjuntos de A deben de poderse relacionar con un único y exclusivo elemento de A; no vale que dos subconjuntos de A se relacionen con el mismo elemento de A. Por tanto, si existe una relación exhaustiva entonces no puede haber ningún subconjunto de A que no pueda relacionarse con un único y exclusivo elemento de A.   

6) Aquí es cuando Cantor encuentra "su" elemento excepcional. Observa que siempre se puede definir un subconjunto de A, que llama B, el cual esté formado por todos aquellos elementos de A que no se relacionan, precisamente, con aquellos subconjuntos de A que los contengan. 

7) Por tanto, B es un subconjunto de A, que a la vez es un elemento de P(A), al contener elementos de A.

Ciertamente a simple viste la definición de B parece trivial... ¡Pero eh aquí la sorpresa! 

8) Cantor observa que si este conjunto B establece una relación con un elemento de A distinto a los suyos propios, entonces este elemento debería ser, también, elemento de B; pero si pasa a formar parte de B, entonces este elemento ya no puede relacionarse con B porque B sólo contiene elementos de A que nunca se relacionan con los subconjuntos que los contienen ¡Menuda contradicción! 

Conclusión: Cantor descubre, así, que resulta imposible establecer una relación entre B y un elemento de A, de modo que P(A) siempre tendrá como mínimo un elemento más que A; este elemento de más será B, que siempre quedará desparejado. 

Y cantor deduce de inmediato que esto sucederá en todos los conjuntos A posibles, incluso los que tengan infinitos elementos. 

Ejemplo: Dado los conjuntos anteriores A y P(A) como ejemplos, entonces, definimos como B el siguiente subconjunto de A,  B={1}. Entonces, ¿con qué elemento de A se puede relacionar B cuando forma parte de P(A)?  ¿Acaso con 2? 

Si se relaciona con 2, quiere decir que 2 tiene que ser, también, un elemento de B ya que no está contenido en él. Pero si introducimos entonces el 2 como un elemento más de B, convirtiéndolo en B={1,2} o B={{1},{2}}, entonces tenemos que el 2 no se puede relacionar con B, dado que está dentro de B. 

¿Y con el 3? Pues sucede lo mismo, y si tuviéramos más números seguiría sucediendo lo mismo... ¡¿Y así hasta el infinito?! Al menos esto es lo que defiende Cantor.

En base a este teorema, aplicado a conjuntos infinitos, Cantor "descubre" 3 cosas sobre lo infinito:

1) Que el infinito tiene tamaño y por tanto se puede contener en "algún sitio", acaso en un infinito mayor.

2) Por tanto, hay infinitos más grandes que otros, es decir, hay infinitos que se pueden contener dentro de otros, y no viceversa. De modo que, también podemos ordenar los conjuntos infinitos de forma transitiva y lógica, es decir, de infinitos menores a mayores.

3) Dado que los distintos conjuntos de números (naturales, enteros, racionales, reales, etc) son conjuntos infinitos Cantor se pregunta si todos ellos son conjuntos infinitos del mismo tamaño, o bien, tendrán tamaños distintos (esto se tratará en próximos post). Si son infinitos de distinto tamaño, entonces deben ordenarse transitivamente. Y como luego "descubre" que el conjunto de los naturales es de un infinito menor que el de los reales, se lanza y propone la famosa hipótesis del continuo, que un genio de las matemáticas como Hilbert bautizó, a principios del s.XX, como la más importante de todas las hipótesis matemáticas a resolver. Hoy sabemos que es una hipótesis trivial: se ha demostrado que tan puede ser cierta como falsa.

El fracaso del logicismo y algunas miserias calladas de la lógica (Pequeño descanso)

Cuando Bertrand Russell leyó el teorema de Cantor quedó fascinado por este elemento B -¡Es pura dinamita!- Pensó al darse cuenta que reventaba sin compasión los innovadores trabajos logicistas de Frege. 

De repente parecía inviable reducir todas las verdades posibles de las  matemática a las verdades de ese lenguaje lógico supuestamente único, universal y matriz de todos los demás lenguajes, que había estado creando "poéticamente" el viejo Frege desde hacía treinta años en su "laboratorio de lógica", en Alemania  -La teoría de conjuntos no era más que un paso previo hacia este lenguaje lógico absoluto y babélico. 

¿Cómo se dio cuenta Russel del fracaso de Frege? Con este elemento "cantoriano" Russell observó cómo la propia teoría de conjuntos que estaban creando Cantor, Frege, el mismo Russell y otros, asentaba en sus bases una contradicción brutal: era posible encontrar conjuntos que no se pueden contener a sí  mismos. De aquí tenemos la famosa paradoja de Russell, que se suele explicar informalmente con el ejemplo del barbero o de la biblioteca. Aunque Marx, el bueno, fue quién supo explicarlo mejor:

Para disolver esta paradoja y poder celebrar la victoria del logicismo, Russell propuso introducir un par de axiomas más a la teoría de conjuntos a través de su teoría de tipos, pero no fueron muy bien recibidos. Los que sí triunfaron fueron los axiomas propuestos más tarde por Zemelo y Frankael, con el axioma de elección en cabeza; pero esta es otra historia.

El problema de fondo del teorema de Cantor

Todo este post, en realidad, tiene la pretensión de mostrar como lo que presuntamente demuestra el teorema de Cantor no tiene porque ser cierto cuando estamos ante conjuntos infinitos, como puede ser el conjunto de números naturales o de números reales -de hecho, no es cierto para el conjunto vacío.

Antes de nada comentar que Cantor, y los lógicos en general, tienen un problema básico de interpretación: solo ven cosas y relaciones entre las cosas. Son incapaces de comprender procesos, tendencias, aproximaciones. En este sentido parecen ser mentes anti naturales y antifísicas; incapaces de pensar sin petrificarlo y momificarlo todo. Hecho que no deja de ser sumamente curioso. Vayamos a ver tal incapacidad en directo:

Para hacer una exposición informal de esta crítica al teorema de Cantor hay que atender a lo siguiente:

-El teorema de Cantor es cierto para conjuntos de 1 elemento

-El teorema de Cantor es cierto para conjuntos de 2 elementos

-El teorema de Cantor es cierto para conjuntos de 3 elementos

...

-El teorema de Cantor es cierto para conjuntos de 150 elementos

...

-El teorema de Cantor es cierto para conjuntos de 1000.000.000 elementos

... y así indefinidamente

De este razonamiento recursivo Cantor, como buen lógico, hizo un salto mortal y dedujo que, si este teorema es cierto para cualquier conjunto finito posible, entonces el teorema también tenía que ser cierto para conjuntos de infinitos elementos: 

¡Cómo si se pudiera pasar de un número arbitrariamente grande a infinito dando un pasito y sin más! 

El razonamiento es clavado al que hizo ya Zenón, discípulo de Parménides, mientras orgulloso afirmaba haber demostrado que el movimiento y la multiplicidad no existen, más que como ilusión.

Apréciase como Cantor para nada usó la noción de límite. ¿Extraño? Todas las mentes lógicas y dogmáticas siempre han tenido este mismo vicio, y así bien lo mostraban inconscientemente al dar esos saltos mortales con los cuales "justificaban" sus metafísicas, como ya había criticado Kant, 

Para ver la demostración de como el teorema de Cantor se puede disolver en el infinito usando el concepto de límite  aquí 

Predicciones a demostrar en base a la revisión de Cantor

Ciertamente, si esta revisión es correcta, entonces tiene una serie de implicaciones o predicciones que, a su vez, se deberían de demostrar; a saber:

1) Un conjunto infinito no tiene ninguna cantidad fija de elementos, esto significa que al comparar un conjunto infinito con otro infinito no podemos establecer de forma fija cual es mayor o menor, o si son iguales. De hecho, el principio de identidad desaparece y por ello un conjunto infinito puede y no puede ser igual a sí mismo.  

2) El conjunto de los números reales puede ser igual, incluso menor, que el de los números naturales.

3) La hipótesis del continua es trivial.

Excepto la tercera, cuya trivialidad ya está demostrada, las otras dos se irán demostrando en las próximas entradas.

Ver la próxima entrada del infinito, aquí

 

 

 

 

El infinito(V) como umbral de percepción -Justificación en base a la ley de Weber

 Reflexionando sobre el infinito (ver la entrada anterior) me ha venido una idea que aprovecho para plasmar aquí; al menos por curiosa. 

Es verdad que los números infinitamente grandes o pequeños están justificados en el análisis no estándar como números hiperreales. Pero veo posible otra justificación distinta usando la ley de weber-Feschner. Es una justificación psicofísica, y por tanto no idealista. Vayamos por partes.

Cuando en matemáticas se piensa que algo tiende infinitamente a un valor, por ejemplo a 0, se suele desarrollar el siguiente argumento:

Llamamos r1 a un número real cualquiera y n0 a una entidad que puede tender tanto como queramos hacia 0, entonces se da esta relación de continuidad:

0<n0<r1

Sin embargo, pensamos así porque damos por supuesto que la relación lógica entre estas tres entidades debe de ser, sí o sí, transitiva. Ciertamente pensar otra cosa parece una locura, pero, ¿y si pudiéramos justificar de algún modo "lo infinito" a través de una relación no-transitiva? 

Ante esta pregunta me he acordado del post sobre la ley de Weber-Feschner (aquí), donde se muestra como la ley lógica de transitividad, en realidad, no se cumple a lo simple en nuestras experiencias, tanto corporales como racionales (noción de espacio, tiempo, cantidad, etc). Además he recordado este vídeo que numberphile hizo al respecto.

En efecto, vivimos sin darnos cuenta de ello, nos cuesta un montón tenerlo presente porque nos rompe los esquemas (la lógica, esa arquitecta de nuestros relatos y pensamientos), pero la transitividad  para nada  es una "relación manifiesta" de la naturaleza ¡Y cuántos matices nos esconde! 

Para ser honestos, cabe admitir que a la vida le gusta presentarse como no transitiva, hecho que me recuerda a ese aforismo de Heráclito "a la naturaleza le place ocultarse". Luego, en nuestra locura, somos nosotros que intentamos comprenderla como transitiva, para volverla lógica, simple, clara, apta para ser explicada; mientras hacemos eso, pensamos que la desnudamos. En realidad, pero, ¿no la vestimos? 

De modo que, ¿y si la existencia de lo infinitamente grande y pequeño no precisara de una justificación, más que puramente lógica y formal, psicofísica? A parte de que a Berkeley le dé por saltar de su tumba chillando, "blasfemia", ¿qué perdemos con indagar esta posibilidad? Sobretodo al alertar la profunda importancia de esta ley en el funcionamiento de nuestra mente.

Si recordamos la ley de Weber-Feschner,  dice que:

Dado que las tres definiciones nos generan un sistema no-transitivo, éste nos resulta absurdo e incomprensible. Para volverlo comprensible y lógico, suponemos la siguiente definición de sistema:

¿Qué tenemos aquí?

Tenemos un sistema no transitivo x-y=z-x, mientras pensamos que se vuelve transitivo si suponemos la existencia de un número real w, en base a un k, tal que 0 <w <<<x,y,z. Sin embargo, sólo podemos esperar confirmar este w a través de otro sistema no transitivo x-y'=x-z', donde k'<k y del cual supondremos, luego, que  a su vez tendrá un w' < w . 

Por tanto, siempre podemos deducir la existencia de un w que haga posible que un sistema no transitivo x-y=z-x, se vuelva lógico y comprensible; siendo w un número real suficientemente pequeño para el propio sistema como para volverse "indetectable". Con razón, resulta lícito despreciarlo a efectos empírico-prácticos, hecho que explica que algo continuo, cambie.   

 Algunas reflexiones sobre w

a)  w representa el umbral relativo de percepción del sistema no transitivo x-y=x-z.  

b) Al ser un umbral, w más que un número representa un hipotético conjunto no finito de números reales con unas propiedades características dentro del sistema x-y=z-x. 

c) w puede tener un tamaño tan grande o pequeño como "queramos", solo basta definir a conveniencia k y x

d) En un sistema no transitivo x-y=z-x, para cualquier numero real r, tal que r>(x+w), tenemos que w actúa como un elemento neutro en la suma y la resta: (r+w) = (r-w). Por este motivo se puede "confundir" con el 0, dado que también actúa como elemento neutro de las sumas y restas.  Pero sabemos que 2w ≠ 0

e) En el producto wr=j, siendo j un número real, se pueden dar dos casos: que w>j, con lo cual el producto se mantiene dentro del umbral; o bien, w<j, donde el producto sale del umbral y se vuelve un número real detectable para el sistema x-y=z-x. Este segundo caso sucede cuando r es lo suficientemente grande.   

f) En la división w/r=j. siendo j una constante para todo r,  j=k/(k+1). 

g) en la división r/w=j, siendo j una constante para todo r, j = 1+ (1/k). 

h) Si tenemos un sistema no transitivo x-y=z-y sólo podemos determinar sus valores {k1, x1 w1} a través de otro sistema no transitivo x-y'=z-x'  en el que k'<k y por ello, w2 < w1. Y así de forma indefinida.

Ejemplo:

Suponemos que tenemos un sistema con tres objetos {x,y,z} generando cierto equilibrio entre ellos, tal que así:

x = y

z = x

y ≠ z

Por tanto tenemos tres objectos y vemos como dos de ellos se equilibran con un tercero, pero entre ellos están en desequilibrio. ¿Qué hacemos? Suponemos que existe un w tal que:

y = x-w

z = x+w

Pero para detectar este hipotético w necesitamos encontrar otro sistema no transitivo x-y'=z'-x con un k' menor que k. En otras, palabras, necesitamos un sistema de medida "más preciso". A través de este otro sistema, igual obtenemos que:

x =10

y=9,9

z = 10,09

En base a esto, deducimos las variables {k,x,w} del sistema volviéndolo transitivo y lógico. Determinamos que k=0,01 y el umbral w =0,09 mientras entendemos que lo que veíamos antes, a nivel empírico, era esto:

10=9,9 

10=10,09

9,9<10,09

 Por tanto a través de otro sistema no transitivo x'-y'=z'-x' quizás resolvemos w, pero a cambio de tener que suponer la existencia de otro w' menor -un umbral más pequeño que w-, que solo podríamos resolver a través de un tercer sistema; y seguir así....  

Se aprecia, en suma, como todo sistema que escogemos tiene, en principio, su umbral de percepción, y por tanto genera una relación de no transitividad; de modo que da entender la existencia de un w tal que 0<w<<x,y,z 

Preguntas

¿Tendremos siempre este umbral? 

El problema es que conocemos "la existencia" de este umbral porque siempre podemos pensar en disminuir k, para con ello identificar que x-y=0 tenía, en efecto, una imprecisión w. Pero ello será a costa de generar un nuevo umbral, de momento desconocido, y "bajo" el cual tendremos entidades a veces iguales a veces desiguales. 

Por tanto, ¿podemos recurrir indefinidamente esta acción? Al menos en matemáticas parece ser que sí, por los motivos que ya exponía Poincaré como ya insinué en el post anterior. De modo que siempre podemos "suponer" la existencia de un w en nuestro sistema tal que x-(y+w)= z-(x+w), con lo cual tenemos una nueva forma de expresar "lo infinito" sin precisar hiperreales, ni infinitesimales, simplemente utilitzando el concepto de umbral perceptivo recurrente en sistemas no transitivos, que no deja de ser otra forma de concebir un límite. 

Y lo curioso es que este mecanismo no-transitivo tiene una justificación plenamente empírica y fisiológica; ¿será por eso que la aplicación de límites en la descripción de movimientos y procesos físicos mediante derivaciones e integraciones funcione y sea adecuado?

En fin, con esta idea caería aún más en desuso la idea cristiana de que el infinito sería una "cosa infinita", acaso un Dios o un número, mientras se va asentando y tomando cuerpo el relato que el infinito es un proceso, un aproximarse tanto como se quiera... un umbral de percepción recurrente. 

Sin embargo, para seguir con ello, tendremos que hacer frente al titánico trabajo de Cantor sobre los transfinitos, el cual le transportó, como no, a una propia versión de Dios... y de números. 

Para ver el post siguiente del infinito, aquí

El infinito (IV) Una idea de movimiento

 Venimos de las otras tres entradas sobre el infinito (aquí la última). 

En resumen hemos visto, entre otras cosas, la herencia platónica de la noción matemática de infinito: que cabría tratarlo como un devenir, un movimiento continuo, "un aproximarse tanto como se quiera hasta un objetivo". Me parece importante dejar clara esta visión del infinito.

La derivación como límite

El método de las fluxiones de Newton, en paralelo con el método de las mónadas de Leibniz, marcan un antes y un después en la historia del cálculo. Ambos llegaron a las derivadas por métodos de aproximación al límite, pero les resultaba harto incómodo no poder pensar en la existencia de "cosas infinitamente pequeñas" actuando y haciendo de las suyas por ahí, en el límite. 

Newton, que pensaba como un físico, los consideraba corpúsculos evanescentes, es decir, en la medida que nos aproximamos más y más a "nada" estas entidades se irían desvaneciendo indefinidamente; pero lo único que consiguió con esta explicación fue ganarse una burla de Berkeley y que en Inglaterra se abandonase el cálculo infinitesimal  por casi un siglo. Leibniz fue algo más listo con sus explicaciones; consideró a los infinitesimales como "razones primeras" de las cosas -mónadas. 

De modo que Newton, como buen anglosajón, intentó darles un significado material, tangible y extenso -corpóreo-, y fracasó, mientras Leibniz, como buen alemán, las colocó en un plano metafísico inextenso, intangible e incorpóreo -mental- y calmó la inquietudes de muchos, dando pie a que en el continente se continuase trabajando en ello, en especial de la mano de un monstruo de las matemáticas como Euler, quien toma el trabajo de Leibniz y replantea, sin despeinarse, la noción de mónada. 

Para el suizo ya no hay "razones últimas" de las cosas, sino que parece introducir de forma harto sutil y personal la noción de límite dentro de la propia noción de "cosa". ¿Cómo? Empieza a trabajar con entidades dinámicas que se hacen o tan pequeñas o tan grandes como se quiera -carecen de un valor fijo y su valor es, precisamente, esta potencialidad. Son, por tanto, entidades que se aproximan a lo que queramos; por ejemplo, puede haber entidades dinámicas que se acerquen a 0 tanto como queramos, pero nunca serán cero; el valor mínimo absoluto.  En este sentido, el 0 es lo infinitamente pequeño para Euler:

Por consiguiente, estas entidades quizás no son del todo números para Euler, pero se puede operar con ellas usando aritmética ordinaria; por ejemplo, combinando algo que tiende a ser infinitamente pequeño con algo que tiende a ser infinitamente grande se obtienen números finitos -valores fijos. Muchos ven estas "creaciones" de Euler como precursoras del análisis no estándar desarrollado a mediados del s.XX.

Sea como sea, pues, parece ser que Euler empieza a descosificar el infinitesimal y el infinito a su manera, dando el impulso necesario y definitivo al cálculo moderno para que tome cuerpo e impacte con fuerza en un montón de ámbitos.  

En cualquier caso, vale destacar que por una vez, la flema vulgar, empírica y naturalista (que va de realista por la vida) típica de los anglosajones les privó de avanzar, mientras el espiritualismo continental actuó como un aliciente. Gran ejemplo, éste, para alertar de la importancia de los relatos imaginativos, los autoengaños y las suposiciones, aunque sean erróneas, para avanzar.

 Cauchy y Weirestrass (s.XIX): creadores del Limite

Cauchy y Weierstrass fueron los encargados de definir de forma "rigurosa" la noción de límite y despejar toda duda acerca de la derivación y la integración. Pero a decir verdad, no inventan mucho. Estamos exactamente con la misma idea que nos obliga a calcular las "sumas parciales" de una serie infinita para determinar si converge o no, tal y como comentábamos en el post anterior.  

Así pues, estableciendo la noción de límite el infinito deja de ser un número y se convierte definitivamente en un "movimiento perpetuo", en un ir aproximándose hacia un objetivo tanto como se quiera; y claro está, sin alcanzarlo nunca. 

Para explicar esta idea dinámica de límite como definición de infinito, deberíamos de recordar cómo Poincaré explicaba que el infinito es el verdadero "juicio sintético a priori" de Kant: la ley de una acción que se pueden repetir exactamente igual tantas veces como se quiera sin agotarla jamás. Ya, luego, Poincaré destacaba lo equivocado que estaba Kant al defender que los "juicios sintéticos a priori" tienen poder legislativo sobre nuestras experiencia corporales, mientras reducía su ámbito de dominio, sólo, a las matemáticas. 

Por tanto, el infinito como límite, como movimiento perpetuo en una dirección, como un aproximarse hacia algo tanto como se quiera sin que se alcance jamás o bien, como aquella acción que se puede repetir las veces que deseamos sin agotarla jamás, suena descaradamente a platonismo, tal y como se ha comentado en anteriores posts. El infinito, en este sentido, deja de concebirse como un Todo, como una unidad, y como algo real, es decir, con un valor fijo. Y a la vez deja de concebirse como "nada". Y cabe recordar como ambas posturas fueron tomadas en serio en algún momento dela historia. ¿Conocemos hoy mejor qué es lo infinito?

Algunas reflexiones sobre la noción de infinito como límite

-Aproximarse tanto como se quiera hacia  un final, significa no alcanzar jamás el final (principio básico de todo idealismo utópico)

-Tender indefinidamente a 0, y por tanto, hacerse cada vez más pequeño, por la reflexión anterior no significa desaparecer, sin más, sino volverse tan insignificante como se quiera hasta ser apto para ser despreciado y no ser tomado en cuenta. 

-Tender indefinidamente hacia valores muy grandes no significa volverse "lo más grande posible" y por tanto, en una "cosa infinitamente grande", sino volverse suficientemente grande como para que todo lo demás parezca insignificante y despreciable a su lado. 

-Aproximarse tanto como se quiera a 0 implica que nunca se llega a cero, pero tampoco se puede llegar al primer número después de cero, ni al segundo, ni al tercero, ni al... ¿cuál es el primer número después del cero? ¿Y el segundo? ¿Qué hay entre ambos?

-Aproximarse indefinidamente hacia algo es estar siempre indefinidamente lejos de ello.

-¿Qué hay entre dos números? 

Para ver el siguiente post sobre el infinito, aquí