(para ver el primer post sobre el infinito aquí)
Venimos del post anterior (ver aquí), del cual he retocado algunas imprecisiones, ya de la revisión adjuntada como de comentarios y anécdotas, a fin de hacerlo algo más claro y ameno. Empresa difícil, la verdad.
El trabajo de Cantor fue importante porque:
1) Pone de manifiesto (demuestra) que la premisa lógica "el Todo es mayor que las partes" se puede violar tranquilamente en el "infinito".
2) Descubre un elemento extraño y singular que pone en jaque a todas las convicciones lógicas y racionalistas establecidas hasta principios del s.XX. Se trata de un elemento lógico que pone de manifiesto, precisamente, que toda lógica se fundamenta en algo paradójico e ilógico -Con los trabajos de Gödel, Tarsky, Wittgenstein, etc, el aspecto paradójico de todo lo lógico se acentúa, hasta poner en jaque la noción misma de "verdad" para las mentes lógico-matemáticas.
3) Con su hipótesis del continuo establece la idea de que "el infinito" puede petrificarse, para luego estructurarse y ordenarse de forma transitiva; es decir, puede tomar cuerpo y hacerse lógico.
La revisión al teorema de Cantor
En el post anterior hemos visto una revisión al teorema de Cantor, en base a la noción de límite. Me gustaría comentar algunas ideas más al respecto:
Como ya se expuso, Cantor parte de la idea de que para cualquier conjunto (A), su conjunto potencia tendrá siempre un tamaño mayor al tener, como mínimo, un elemento más -el elemento B. Y como vimos esto es cierto para:
- un conjunto (A) de 1 elemento
- un conjunto (A) de 2 elementos
- un conjunto (A) de 3 elementos
...
- un conjunto (A) de 150 elementos
...
- un conjunto (A) de 100.000.000.000 elementos
Y así indefinidamente.
En otras palabras, partiendo de un conjunto cualquiera (A) de 1 elemento, Cantor observa como el elemento B ya aparece en su conjunto potencia y genera una contradicción con los elementos de A, con lo cual se convierte en un elemento desparejado; y también sucede así si le agregamos un elemento más al conjunto (A); y vuelve suceder si agregamos otro elemento más; y vuelve a suceder si le agregamos otro más... y así indefinidamente.
En resumen, Cantor observa que para cualquier conjunto finito (A) siempre aparece el elemento B en su conjunto potencia, por más grande que se vaya haciendo el conjunto (A). Y sin embargo, nunca encontramos ningún elemento de A que sea capaz de relacionarse con él, porque siempre se genera una contradicción al intentar encontrarlo. De modo que B siempre queda desparejado.
¡Y es aquí cuando Cantor realiza un salto mortal!
De todo ello deduce a su arbitrio que, este proceso recursivo TERMINARÁ cuando el conjunto (A) alcance los infinitos elementos.
En efecto, para Cantor existe un conjunto (A) de infinitos elementos, el cual no deja de ser otro conjunto más de la serie, y que actúa como "el último conjunto (A) de todos los posibles".
Cantor, pues, desde un principio trata el conjunto infinito (A) tal que si fuera como cualquiera de los otros conjunto finitos (A) que hay de posibles - acaso sería simplemente el último de todos los posibles.
Críticas a esta idea
Primero; al considerarlo un conjunto como cualquier otro Cantor generaliza sin más. ¿Es lícito hacerlo?
Fijémonos: da por hecho que con un conjunto infinito (A) también aparecerá un elemento B que quedará desparejado, dado que así ha sucedido en las "infinitas" veces anteriores. Y bajo tal suposición, da por hecho haber demostrado que el conjunto infinito (A) también tiene que ser menor que el de su potencia, como ocurre en todos los demás, dando entender entonces que el conjunto infinito (A) es más pequeño que el conjunto potencia de (A).
Pero uno debería preguntarse: ¿si vamos al infinito con este proceso recursivo de ir incrementando los elementos de un conjunto finito(A), al final encontramos realmente un último conjunto? ¿Y si en efecto hubiera uno allí, acaso sería el último de todos los posibles? ¿No será todo esto más que idealismo trasnochado?
En seguida, pues, se intuye como Cantor presupone mucho antes de demostrar nada que un proceso recursivo de conjuntos finitos desemboca en "conjunto final" y éste, por tanto, no sólo debe de tener un tamaño (el más grande posible, que llama infinito), sino también una posición (la última) ¡Ya Cantor presupone que el infinito es un número (cantidad) que está ordenado! Que luego llegue a la conclusión que así es, visto lo visto, no es de extrañar.
Ante este salto mortal, este prejuicio y "petición de principio", y que a Cantor se le ha perdonado durante más de 100 años, se nos hace preciso no perder la calma, coger los guantes de cirujano y sin nervios seguir diseccionando esta demostración de arriba a bajo con un corte preciso.
¿Por qué pensamos que esta forma de razonar, por cierto muy extendida entre lógicos, matemáticos y metafísicos aún a día de hoy, no es nada válida?
Por ser breve: en una serie recursiva como la descrita no hay un último termino, no hay un conjunto final con infinitos elementos deseando ser alcanzado. ¡No hay ese ideal transfinito esperando desde lo eterno ser alcanzado por una recursión pura y dura! ¿Barajar semejante opción no es sacarse un conejo de la manga?
Lo que define a una serie recursiva es que, precisamente, no hay ningún final y por tanto la serie te irá dando tantos conjuntos finitos como quieras ¡Jamás encontrarás uno de definitivo y último! Y mucho menos uno que contenga infinitos elementos De modo que jamás encontrarás un hipotético conjunto (A) final de infinitos elementos sobre el cual puedas hablar. ¡Y esto tiene consecuencias!
Sin embargo, aún hay algo más: esta serie recursiva define todos los conjuntos (A) finitos posibles. Y cuando digo todos, digo absolutamente todos los posibles. ¿Y cuantos hay?
Aquí cabe insistir de nuevo: no hay un numero natural y "fijo" para responder a tamaña pregunta, dado que el número de conjuntos finitos puede "crecer" tanto como queramos. Y así mismo sucede, por ejemplo, con los números naturales: no hay ningún número natural infinito; todos los números naturales son finitos, pero pueden crecer tanto como queramos -Y con los decimales de los números irracionales, así Pi por ejemplo, sucede lo mismo, pero a los profesores de matemática siempre les ha gustado contártelo de forma idealista.
No me cabe duda; estamos demasiado acostumbrados a tratar "el infinito" como una "cosa" con un tamaño (el mayor de todos los imaginablemente posibles), como una pluralidad de elementos inmensa y divina, como un número que no es un número y por consiguiente, como "algo" con entidad propia, única, fija e ideal ¡Incluso con una posición determinada -el último de un proceso recursivo-!! Pero ¿hasta qué punto nos tiene maniatados este relato metafísico y tan platónico sobre "el infinito"?
Interpretémoslo de otra forma: cabría empezar a tomar el infinito como un "movimiento hacia...", "un aproximarse o un crecer tanto como se quiera sin alcanzar jamás ningún final"... un procesar continuo. Por consiguiente, ¿no seria interesante empezar a concebir lo finito como lo que tiene un valor fijo, sólido, único, lógico y en este sentido "cierto" e inamovible, mientras que lo infinito como lo cambiante, fluido, ilógico y en tal sentido, "incierto"?
Sí, he dicho ilógico, porqué como ya hemos visto "el infinito" no sólo revienta la noción lógica de "El todo es mayor que las partes", sino otras. Por ejemplo, ¡torea el de no contradicción! Como hemos visto en la revisión del teorema de Cantor.
Toreando contradicciones
Con la revisión del teorema de Cantor hemos visto de forma precisa como al llevar un conjunto finito (A) al límite en el infinito, por sorpresa nuestra, se va posponiendo de forma indefinida la contradicción que va generando la aparición del "conjunto B" con cualquier elemento de A. En otras palabras, la contradicción que genera siempre el conjunto B con cualquier elemento de (A) nunca se puede materializar cuando llevamos el conjunto A al infinito, de modo que la paradoja se deshace como un nudo al volverse lógica y coherente. Sin embargo esta resolución tiene un precio:
El conjunto B pasa a ser completamente desconocido para nosotros al ser un "crecer tanto como queramos"; al igual que desconocemos el elemento de A que se relaciona con él porque también va creciendo tanto como queramos. Por tanto, el conjunto B y el elemento del conjunto (A) con el que debería emparejarse ya no existen como tales en el infinito, puesto que no están definidos por un valor "fijo"; sólo existen como dos límites, dado que su valor puede crecer tanto como se quiera. Y en tanto que límites, entonces, desaparece dicha contradicción entre ambos, refutando, así, la demostración del teorema de Cantor al infinito... y sus consecuencias.
En realidad este poder que tiene "el infinito" para disolver, o deshacer, lo contradictorio, irracional y paradójico no es nuevo. También lo hemos visto ya, por ejemplo, al analizar como la ley de Weber explica la noción de infinito. La noción de infinito aparece, recordemos, cuando tenemos un sistema de percepción no transitivo, y por tanto contradictorio, e intentamos volverlo coherente y lógico aumentando su "precisión" ¡Esto nos lleva a un proceso recursivo interminable!
O miremos la paradoja por antonomasia de la lógica, que ya abrió ampollas entre los griegos; la paradoja del mentiroso, que dice: "Esta frase es mentira". Estamos ante una expresión con una sola proposición, por tanto es finita, cuyos dos términos se contradicen generando la paradoja y la suspensión de juicio y razonamiento. Si le añadimos otra proposición antes del segundo término, el que genera la contradicción; como por ejemplo así "Esta frase y lo que cuentan en la tele son mentiras"; seguimos generando una contradicción, pero tarda más en hacer efecto. Si le añadimos otra mas, como, "Mis amigos juegan a fútbol, pero esta frase y lo que dicen en la tele son mentiras" seguimos generando una paradoja, con más retardo aún. Pero, ¿qué ocurre si encontramos un método con el que ir añadiendo proposiciones de forma recursiva? Pues que la contradicción se va posponiendo indefinidamente y no se materializa jamás. ¡La contradicción se disuelve!
O también tenemos ahí la famosa paradoja de Zenon de Aquiles y la Tortuga, según la cual Aquiles no podrá alcanzar jamás la tortuga porque siempre que Aquiles recorre la distancia que le falta hasta la tortuga, que será finita, ésta aprovecha para separarse un poquito más del héroe. Sin embargo, cuando llevamos esta contradicción al infinito, como hicieron los primeros que empezaron a tantear la noción de límite en el s.XVII-XVIII, vieron como dicha contradicción se disuelve y Aquiles alcanza a la tortuga en un momento indeterminado -No sabemos cuando, pero lo la alcanza seguro.
Y de igual modo esto mismo descubrió Gödel con sus famosos teoremas de incompletitud: que cualquier lenguaje lo suficientemente complejo o genera paradojas e inconsistencias, si está formulado sobre un número finito de axiomas, o bien resulta incompleto, y por tanto le faltan axiomas, cuando no genera incoherencia alguna.
En definitiva, de repente alertamos como podemos definir "el infinito" como la forma más sutil y efectiva de disolver una contradicción, una paradoja, una locura lógica... ¡Pero eso siempre es a costa de ganar "movimiento", indeterminación, incertidumbre!
Bien mirado, pues, igual el infinito y la contradicción son dos caras de una misma moneda; nos mostrarían dos perspectivas distintas de una misma idea: de cuanto hay de ilógico, inefable e irracional en todo relato humano; en nuestra racionalidad y capacidad de comprensión, quiero decir.
El infinito como una película
Reflexionado sobre todo ello, confieso una vez más que no veo el infinito como una "cosa", acaso un conjunto con muchos elementos, a lo sumo incontables; lo veo como movimiento y fantasía. Siendo gráficos, lo veo como una película sin fin.
¿Acaso tal película es el conjunto de sus infinitos fotogramas? No, es más bien un pasar los fotogramas, uno a uno y tantos como queramos sin que jamás entre en contradicción... es decir, se quede colgada y deje de existir.
En resumen, pues, veo el infinito como una idea muy natural, en su sentido más radical.
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