El infinito (IV) Una idea de movimiento

 Venimos de las otras tres entradas sobre el infinito (aquí la última). 

En resumen hemos visto, entre otras cosas, la herencia platónica de la noción matemática de infinito: que cabría tratarlo como un devenir, un movimiento continuo, "un aproximarse tanto como se quiera hasta un objetivo". Me parece importante dejar clara esta visión del infinito.

La derivación como límite

El método de las fluxiones de Newton, en paralelo con el método de las mónadas de Leibniz, marcan un antes y un después en la historia del cálculo. Ambos llegaron a las derivadas por métodos de aproximación al límite, pero les resultaba harto incómodo no poder pensar en la existencia de "cosas infinitamente pequeñas" actuando y haciendo de las suyas por ahí, en el límite. 

Newton, que pensaba como un físico, los consideraba corpúsculos evanescentes, es decir, en la medida que nos aproximamos más y más a "nada" estas entidades se irían desvaneciendo indefinidamente; pero lo único que consiguió con esta explicación fue ganarse una burla de Berkeley y que en Inglaterra se abandonase el cálculo infinitesimal  por casi un siglo. Leibniz fue algo más listo con sus explicaciones; consideró a los infinitesimales como "razones primeras" de las cosas -mónadas. 

De modo que Newton, como buen anglosajón, intentó darles un significado material, tangible y extenso -corpóreo-, y fracasó, mientras Leibniz, como buen alemán, las colocó en un plano metafísico inextenso, intangible e incorpóreo -mental- y calmó la inquietudes de muchos, dando pie a que en el continente se continuase trabajando en ello, en especial de la mano de un monstruo de las matemáticas como Euler, quien toma el trabajo de Leibniz y replantea, sin despeinarse, la noción de mónada. 

Para el suizo ya no hay "razones últimas" de las cosas, sino que parece introducir de forma harto sutil y personal la noción de límite dentro de la propia noción de "cosa". ¿Cómo? Empieza a trabajar con entidades dinámicas que se hacen o tan pequeñas o tan grandes como se quiera -carecen de un valor fijo y su valor es, precisamente, esta potencialidad. Son, por tanto, entidades que se aproximan a lo que queramos; por ejemplo, puede haber entidades dinámicas que se acerquen a 0 tanto como queramos, pero nunca serán cero; el valor mínimo absoluto.  En este sentido, el 0 es lo infinitamente pequeño para Euler:

Por consiguiente, estas entidades quizás no son del todo números para Euler, pero se puede operar con ellas usando aritmética ordinaria; por ejemplo, combinando algo que tiende a ser infinitamente pequeño con algo que tiende a ser infinitamente grande se obtienen números finitos -valores fijos. Muchos ven estas "creaciones" de Euler como precursoras del análisis no estándar desarrollado a mediados del s.XX.

Sea como sea, pues, parece ser que Euler empieza a descosificar el infinitesimal y el infinito a su manera, dando el impulso necesario y definitivo al cálculo moderno para que tome cuerpo e impacte con fuerza en un montón de ámbitos.  

En cualquier caso, vale destacar que por una vez, la flema vulgar, empírica y naturalista (que va de realista por la vida) típica de los anglosajones les privó de avanzar, mientras el espiritualismo continental actuó como un aliciente. Gran ejemplo, éste, para alertar de la importancia de los relatos imaginativos, los autoengaños y las suposiciones, aunque sean erróneas, para avanzar.

 Cauchy y Weirestrass (s.XIX): creadores del Limite

Cauchy y Weierstrass fueron los encargados de definir de forma "rigurosa" la noción de límite y despejar toda duda acerca de la derivación y la integración. Pero a decir verdad, no inventan mucho. Estamos exactamente con la misma idea que nos obliga a calcular las "sumas parciales" de una serie infinita para determinar si converge o no, tal y como comentábamos en el post anterior.  

Así pues, estableciendo la noción de límite el infinito deja de ser un número y se convierte definitivamente en un "movimiento perpetuo", en un ir aproximándose hacia un objetivo tanto como se quiera; y claro está, sin alcanzarlo nunca. 

Para explicar esta idea dinámica de límite como definición de infinito, deberíamos de recordar cómo Poincaré explicaba que el infinito es el verdadero "juicio sintético a priori" de Kant: la ley de una acción que se pueden repetir exactamente igual tantas veces como se quiera sin agotarla jamás. Ya, luego, Poincaré destacaba lo equivocado que estaba Kant al defender que los "juicios sintéticos a priori" tienen poder legislativo sobre nuestras experiencia corporales, mientras reducía su ámbito de dominio, sólo, a las matemáticas. 

Por tanto, el infinito como límite, como movimiento perpetuo en una dirección, como un aproximarse hacia algo tanto como se quiera sin que se alcance jamás o bien, como aquella acción que se puede repetir las veces que deseamos sin agotarla jamás, suena descaradamente a platonismo, tal y como se ha comentado en anteriores posts. El infinito, en este sentido, deja de concebirse como un Todo, como una unidad, y como algo real, es decir, con un valor fijo. Y a la vez deja de concebirse como "nada". Y cabe recordar como ambas posturas fueron tomadas en serio en algún momento dela historia. ¿Conocemos hoy mejor qué es lo infinito?

Algunas reflexiones sobre la noción de infinito como límite

-Aproximarse tanto como se quiera hacia  un final, significa no alcanzar jamás el final (principio básico de todo idealismo utópico)

-Tender indefinidamente a 0, y por tanto, hacerse cada vez más pequeño, por la reflexión anterior no significa desaparecer, sin más, sino volverse tan insignificante como se quiera hasta ser apto para ser despreciado y no ser tomado en cuenta. 

-Tender indefinidamente hacia valores muy grandes no significa volverse "lo más grande posible" y por tanto, en una "cosa infinitamente grande", sino volverse suficientemente grande como para que todo lo demás parezca insignificante y despreciable a su lado. 

-Aproximarse tanto como se quiera a 0 implica que nunca se llega a cero, pero tampoco se puede llegar al primer número después de cero, ni al segundo, ni al tercero, ni al... ¿cuál es el primer número después del cero? ¿Y el segundo? ¿Qué hay entre ambos?

-Aproximarse indefinidamente hacia algo es estar siempre indefinidamente lejos de ello.

-¿Qué hay entre dos números? 

Para ver el siguiente post sobre el infinito, aquí