En entradas anteriores hemos hablado sobre el infinito (aquí) o (aquí), sus orígenes como relato de la religión y la filosofía para, finalmente, comentar como entró en las matemáticas en el renacimiento.
Los primeros matemáticos modernos, todos ellos profundamente influenciados por el neoplatonismo imperante en la Europa del s.XVI, XVII y XVIII, tomaban muy en serio lo que nos contaba Platón sobre el infinito. Para el griego, recordemos, el infinito sólo se da en la naturaleza al manifestar la insaltable "distancia" que debe de existir entre el Ser y la Nada, por su perpetua repulsión al ser esencialmente contradictorios.
Dice Platón, pues, que el infinito representa una multiplicidad de "cosas" interminable. Y como, de hecho, consideraba el infinito un atributo propio de la Naturaleza lo juzgaba un concepto ilusorio fruto de contemplar la realidad desde una perspectiva imperfecta, limitada y mundana.
Por tanto, a su entender, el infinito no es real, sólo es fruto de una "mala observación" de las cosas; por ejemplo, el número Pi no sería en realidad irracional, sólo nos lo parece al "mirarlo" desde una perspectiva "mundana" (desde la naturaleza), pues si fuésemos divinos y nos colocáramos en lo etéreo, lo "veríamos" con un valor preciso, completo, único.
Por tanto hay que entender que para Platón el infinito es una propiedad inherente a la naturaleza y como tal, es una ilusión, no es real, y en consecuencia no se trata de una "cosa", sino de una tendencia, una dirección y una continua aproximación hacia... lo real -y lo real es único y eterno.
Infinito es el tránsito de lo más imperfecto a lo más perfecto
En este sentido, sólo quiero recordar que la filosofía platónica es puro optimismo existencial: toma la vida mundana como un interminable progreso hacia una vida mejor ¡Cómo no iba a influenciar profundamente a la modernidad, esa frenética época sedienta de progreso!
¿En qué medida el pensamiento moderno, y en concreto las matemáticas, han heredado relato platónico sobre lo "infinito"?
Como ya se ha dicho en el post anterior las matemáticas modernas empiezan con una definición muy tosca de infinito: "es aquella cantidad que jamás podrá ser ninguna cantidad", mientras ya se había estipulado que el 0 sí era una cantidad -una cantidad nula- y por tanto, ya se tenía muy claro que 0 e infinito tenían que ser dos "cosas" muy distintas -Recordemos que al principio, con Hesíodo o Anaximandro, esto no estaba muy claro.
Así pues, partiendo de esta definición de algún modo se reconocía el pensamiento platónico al tomar el infinito no como algo fijo y bien establecido, sino móvil, progresivo, y en sentido platónico, "natural".
Por ejemplo, se empezó a entender el infinito como un "poder aproximarse hacia un "final" tanto como se quiera". Y este progreso o aproximación se podía llevar a cabo tanto para acercarse a lo extremadamente grande, como para acercarse a lo extremadamente pequeño o nulo.
Pero aquí el relato moderno, por inspiración cristiana me parece a mí, había introducido con sutileza un elemento peculiar que en realidad no es platónico: cosificó lo extremadamente grande y lo extremadamente pequeño.
Por ejemplo, se consideró lo extremadamente grande como "una cosa infinita", que por pura definición Descartes bautizó con el nombre de Dios, y de tal guisa poética creó el Dios de la modernidad. Mientras que también se cosificó lo extremadamente pequeño y se bautizó con el nombre de "infinitesimal"; que para algunos parecía recordar al "átomo" de Demócrito como unidad mínima indivisible; Leibniz mismo las llama mónadas: unidades inextensas, y por ello indivisibles y sin forma o magnitud -adimensionales; y con ellas crea su monadologia para explicar la existencia.
De modo que las matemáticas modernas, a lo bruto, obtenían dos "cosas" nuevas: lo infinito (Dios) y lo infinitesimal (los átomos o mónadas). Ciertamente, ambos conceptos andaban plagados de contradicciones y fueron muchas las críticas vertidas, desde las de Berkeley a las de Hume.
Poco a poco, pero, se dieron cuenta que la sutil herencia cristiana incrustada en el concepto infinito era en realidad un incordio; que cosificar lo extremadamente grande y lo extremadamente pequeño llevaba a la paradoja de tener que considerar lo infinito y lo infinitesimal como números, cosas o entidades propias que quedaban colgadas en una imaginaria realidad metafísica muy difícil de demostrar por más empeño pusieran en ello.
Ciertamente a muchos les costó más que a otros (Euler, en todo caso, come a parte); pero al final se desprendieron de esta necesidad de cosificación y, de algún modo, retomaron la postura platónica según la cual lo infinito es un "aproximarse tanto como se quiera hasta un final, indistintamente éste final se suponga ya muy grande, muy pequeño o sea incluso un numero concreto". Y con ello se terminó por establecer uno de los conceptos matemáticos más importantes: el de límite.
Con el concepto de límite se justifica sin embrollos metafísicos el cálculo moderno: la derivación y la integración, las sumas infinitas, etc... La noción de infinito pasa de ser tomada como un sustantivo (un número) a tomarse como un verbo (una acción). Y esta acción de "aproximarse a un final tanto como se quiera" se aplica en multitud de objetos matemáticos; por ejemplo en las series:
-En una serie de infinitas sumas, por la definición de límite que se impone se estipula que al final tendrá una solución o no la tendrá si al calcular sus "sumas parciales" los resultados van aproximándose tanto como queramos a un número concreto, o no no lo hacen, ya porque los resultados vayan oscilando entre varios números o bien explote.
Aquí tenemos 3 ejemplos:
Llegados aquí, cabría ser algo críticos y distinguir la siguiente apreciación: ¿Los resultados que obtenemos al aplicar la noción de límite son "correctos"? Me explico, si las suma parciales de una serie infinita tienden a 2, entonces el resultado de la serie es en efecto 2 o éste sólo es el resultado de la aproximación que hemos llevado a cabo?
Así mismo sucede con la derivación; dado que derivar es acortar la "distancia" entre dos valores de una función tanto como queramos, entonces: ¿la derivación es la distancia entre dos valores de una función cuando no existe ninguna distancia entre ellos o bien, es llevar la "distancia" entre dos de sus valores tan cerca de 0 como queramos (un límite)? Obviamente, sería un límite.
Por tanto, cuando uno puede aproximarse a un "final" tanto como quiera, el resultado que obtendrá no será el del propio final, sino la aproximación al límite de ese final hipotético. Hecho que no siempre se tiene en cuenta.
Pero, quizás, si se destaca tan capital sutileza entonces se puedan entender mejor muchos aspectos interesantes del relato matemático. Por ejemplo en el campo de las series infinitas, se comprende que puedan existir otro tipos de aproximaciones distintas a las "sumas parciales"; como las sumaciones de Cesaro , de Abel, de Borel o de Ramanujan -y quizás otras más. Ninguna de ellas nos dice nada del "hipotético" valor "final e intrínseco" de las series infinitas a las que tratan, dado que aspirar a tal empresa resulta absurdo, pero nos cuentan el valor de su "forma" de aproximarse tanto como se quiera hasta el "final".
En otras palabras:
son estrategias que de forma coherente se aproximan "tanto como quieren" a un valor finito, comprenisble y determinado; herramientas para dar contenido a lo incontenible.
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