El infinito(V) como umbral de percepción -Justificación en base a la ley de Weber

 Reflexionando sobre el infinito (ver la entrada anterior) me ha venido una idea que aprovecho para plasmar aquí; al menos por curiosa. 

Es verdad que los números infinitamente grandes o pequeños están justificados en el análisis no estándar como números hiperreales. Pero veo posible otra justificación distinta usando la ley de weber-Feschner. Es una justificación psicofísica, y por tanto no idealista. Vayamos por partes.

Cuando en matemáticas se piensa que algo tiende infinitamente a un valor, por ejemplo a 0, se suele desarrollar el siguiente argumento:

Llamamos r1 a un número real cualquiera y n0 a una entidad que puede tender tanto como queramos hacia 0, entonces se da esta relación de continuidad:

0<n0<r1

Sin embargo, pensamos así porque damos por supuesto que la relación lógica entre estas tres entidades debe de ser, sí o sí, transitiva. Ciertamente pensar otra cosa parece una locura, pero, ¿y si pudiéramos justificar de algún modo "lo infinito" a través de una relación no-transitiva? 

Ante esta pregunta me he acordado del post sobre la ley de Weber-Feschner (aquí), donde se muestra como la ley lógica de transitividad, en realidad, no se cumple a lo simple en nuestras experiencias, tanto corporales como racionales (noción de espacio, tiempo, cantidad, etc). Además he recordado este vídeo que numberphile hizo al respecto.

En efecto, vivimos sin darnos cuenta de ello, nos cuesta un montón tenerlo presente porque nos rompe los esquemas (la lógica, esa arquitecta de nuestros relatos y pensamientos), pero la transitividad  para nada  es una "relación manifiesta" de la naturaleza ¡Y cuántos matices nos esconde! 

Para ser honestos, cabe admitir que a la vida le gusta presentarse como no transitiva, hecho que me recuerda a ese aforismo de Heráclito "a la naturaleza le place ocultarse". Luego, en nuestra locura, somos nosotros que intentamos comprenderla como transitiva, para volverla lógica, simple, clara, apta para ser explicada; mientras hacemos eso, pensamos que la desnudamos. En realidad, pero, ¿no la vestimos? 

De modo que, ¿y si la existencia de lo infinitamente grande y pequeño no precisara de una justificación, más que puramente lógica y formal, psicofísica? A parte de que a Berkeley le dé por saltar de su tumba chillando, "blasfemia", ¿qué perdemos con indagar esta posibilidad? Sobretodo al alertar la profunda importancia de esta ley en el funcionamiento de nuestra mente.

Si recordamos la ley de Weber-Feschner,  dice que:

Dado que las tres definiciones nos generan un sistema no-transitivo, éste nos resulta absurdo e incomprensible. Para volverlo comprensible y lógico, suponemos la siguiente definición de sistema:

¿Qué tenemos aquí?

Tenemos un sistema no transitivo x-y=z-x, mientras pensamos que se vuelve transitivo si suponemos la existencia de un número real w, en base a un k, tal que 0 <w <<<x,y,z. Sin embargo, sólo podemos esperar confirmar este w a través de otro sistema no transitivo x-y'=x-z', donde k'<k y del cual supondremos, luego, que  a su vez tendrá un w' < w . 

Por tanto, siempre podemos deducir la existencia de un w que haga posible que un sistema no transitivo x-y=z-x, se vuelva lógico y comprensible; siendo w un número real suficientemente pequeño para el propio sistema como para volverse "indetectable". Con razón, resulta lícito despreciarlo a efectos empírico-prácticos, hecho que explica que algo continuo, cambie.   

 Algunas reflexiones sobre w

a)  w representa el umbral relativo de percepción del sistema no transitivo x-y=x-z.  

b) Al ser un umbral, w más que un número representa un hipotético conjunto no finito de números reales con unas propiedades características dentro del sistema x-y=z-x. 

c) w puede tener un tamaño tan grande o pequeño como "queramos", solo basta definir a conveniencia k y x

d) En un sistema no transitivo x-y=z-x, para cualquier numero real r, tal que r>(x+w), tenemos que w actúa como un elemento neutro en la suma y la resta: (r+w) = (r-w). Por este motivo se puede "confundir" con el 0, dado que también actúa como elemento neutro de las sumas y restas.  Pero sabemos que 2w ≠ 0

e) En el producto wr=j, siendo j un número real, se pueden dar dos casos: que w>j, con lo cual el producto se mantiene dentro del umbral; o bien, w<j, donde el producto sale del umbral y se vuelve un número real detectable para el sistema x-y=z-x. Este segundo caso sucede cuando r es lo suficientemente grande.   

f) En la división w/r=j. siendo j una constante para todo r,  j=k/(k+1). 

g) en la división r/w=j, siendo j una constante para todo r, j = 1+ (1/k). 

h) Si tenemos un sistema no transitivo x-y=z-y sólo podemos determinar sus valores {k1, x1 w1} a través de otro sistema no transitivo x-y'=z-x'  en el que k'<k y por ello, w2 < w1. Y así de forma indefinida.

Ejemplo:

Suponemos que tenemos un sistema con tres objetos {x,y,z} generando cierto equilibrio entre ellos, tal que así:

x = y

z = x

y ≠ z

Por tanto tenemos tres objectos y vemos como dos de ellos se equilibran con un tercero, pero entre ellos están en desequilibrio. ¿Qué hacemos? Suponemos que existe un w tal que:

y = x-w

z = x+w

Pero para detectar este hipotético w necesitamos encontrar otro sistema no transitivo x-y'=z'-x con un k' menor que k. En otras, palabras, necesitamos un sistema de medida "más preciso". A través de este otro sistema, igual obtenemos que:

x =10

y=9,9

z = 10,09

En base a esto, deducimos las variables {k,x,w} del sistema volviéndolo transitivo y lógico. Determinamos que k=0,01 y el umbral w =0,09 mientras entendemos que lo que veíamos antes, a nivel empírico, era esto:

10=9,9 

10=10,09

9,9<10,09

 Por tanto a través de otro sistema no transitivo x'-y'=z'-x' quizás resolvemos w, pero a cambio de tener que suponer la existencia de otro w' menor -un umbral más pequeño que w-, que solo podríamos resolver a través de un tercer sistema; y seguir así....  

Se aprecia, en suma, como todo sistema que escogemos tiene, en principio, su umbral de percepción, y por tanto genera una relación de no transitividad; de modo que da entender la existencia de un w tal que 0<w<<x,y,z 

Preguntas

¿Tendremos siempre este umbral? 

El problema es que conocemos "la existencia" de este umbral porque siempre podemos pensar en disminuir k, para con ello identificar que x-y=0 tenía, en efecto, una imprecisión w. Pero ello será a costa de generar un nuevo umbral, de momento desconocido, y "bajo" el cual tendremos entidades a veces iguales a veces desiguales. 

Por tanto, ¿podemos recurrir indefinidamente esta acción? Al menos en matemáticas parece ser que sí, por los motivos que ya exponía Poincaré como ya insinué en el post anterior. De modo que siempre podemos "suponer" la existencia de un w en nuestro sistema tal que x-(y+w)= z-(x+w), con lo cual tenemos una nueva forma de expresar "lo infinito" sin precisar hiperreales, ni infinitesimales, simplemente utilitzando el concepto de umbral perceptivo recurrente en sistemas no transitivos, que no deja de ser otra forma de concebir un límite. 

Y lo curioso es que este mecanismo no-transitivo tiene una justificación plenamente empírica y fisiológica; ¿será por eso que la aplicación de límites en la descripción de movimientos y procesos físicos mediante derivaciones e integraciones funcione y sea adecuado?

En fin, con esta idea caería aún más en desuso la idea cristiana de que el infinito sería una "cosa infinita", acaso un Dios o un número, mientras se va asentando y tomando cuerpo el relato que el infinito es un proceso, un aproximarse tanto como se quiera... un umbral de percepción recurrente. 

Sin embargo, para seguir con ello, tendremos que hacer frente al titánico trabajo de Cantor sobre los transfinitos, el cual le transportó, como no, a una propia versión de Dios... y de números. 

Para ver el post siguiente del infinito, aquí