Venimos del post anteior sobre el infinito (ver aquí)
George Cantor (s.XIX) fue uno de los padres de la teoría de conjuntos: un relato lógico-matemático sobre el cual se aspiraba fundamentar todas las matemáticas. Una de las idea importantes que introduce Cantor en esta teoría es la de tamaño de un conjunto, al que llama cardinal (card).
El tamaño de un conjunto es el número de elementos del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de estrellas de la Osa Mayor está constituido por 7 estrellas, por tanto su tamaño o cardinal es 7.
Una vez definido el tamaño de un conjunto Cantor era plenamente consciente de que, a nivel matemático, el tamaño de un conjunto se "conoce" al contar los elementos del conjunto, mientras que "contar" resulta algo evidente. Pero, ¿qué significa "contar" desde un punto de vista lógico?
Cantor advirtió que, a nivel lógico, contar los elementos de un conjunto consiste, en esencia, en relacionar el conjunto que se quiere contar con el conjunto de los números naturales. En otras palabras más precisas: para contar se tiene que poner el conjunto a contar en relación inyectiva, y ordenada, con el conjunto de números naturales; como por ejemplo así:
Una vez definida la función "contar" como "un poner en relación inyectiva, y ordenada, un conjunto cualquiera con el conjunto de los números naturales", Cantor observó que si esta relación, además de inyectiva, era también exhaustiva (sobreyectiva), quería decir que ambos conjuntos tenían el mismo tamaño ¡Aunque fueran infinitos! Y así ocurría, por ejemplo, con el conjunto de números pares, o con el conjunto de múltiples de 3 o con el conjunto de los números primos, etc.
¡Tantos números naturales hay como múltiplos de 2, de 3, de 4, de 5, de 6... o de números primos!
De repente Cantor observa que el infinito puede ser explicado, y tratado, como una cantidad. La idea de límite, de un aproximarse tanto como se quiera sin llegar jamás al final, parecía caer y evaporarse, ya que el infinito se cosificaba de nuevo; de nuevo tomaba cuerpo y características de número (de entidad).
Pero, el "descubrimiento" de Cantor sobre el infinito hacía salir a flote una idea contradictoria, irracional y paradójica: el infinito parecía no cumplir la premisa lógica de que "el Todo debe ser mayor que las partes". De aquí surgió la divertida paradoja del hotel de Hilbert.
A fin de intentar resolver esta paradoja Cantor descubre un elemento especial y único: un elemento autorreferente que se autoexcluye. ¿Cómo lo descubre?
Cantor se da cuenta de que todo conjunto A es siempre menor a su conjunto potencia P(A) (el conjunto de todos sus subconjuntos). Un ejemplo :
A={1,2,3} tiene 3 elementos
P(A)={{},{1},{1,2},{2},{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}} tiene 8 elementos, que son los subconjuntos de todas las combinaciones de elementos de A.
Por tanto, el tamaño de A siempre es menor que el tamaño de P(A).
De inmediato Cantor se pregunta:
¿será posible demostrar para todos los conjuntos posibles, incluso los infinitos, que, en efecto, A tenga siempre menos elementos que P(A)?
Y al buscar una respuesta a tamaña pregunta encontró dicho elemento extraño, autorreferente y autoexcluyente, dotando de fundamento a su nuevo teorema; el teorema de Cantor.
El teorema de Cantor y su elemento estrella
En un lenguaje un poco informal el teorema de Cantor dice:
Para saber si un conjunto y su conjunto potencia tienen la misma cantidad de elementos tiene que ser posible establecer una función biyectiva entre todos sus elementos, es decir, tiene que ser posible establecer una relación inyectiva y luego otra de exhaustiva entre sus elementos.
1) Tenemos un conjunto de "cosas" que llamamos A.
Por ejemplo A={1,2,3} Es un conjunto de 3 elementos, que son el 1, el 2 y el 3.
2) Tenemos, luego, el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto anterior, que llamamos P(A).
Por ejemplo P(A)={{},{1},{1,2},{2},{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}} Es un conjunto de 8 elementos, y que cada uno es un subconjunto de A
3) Establecemos una relación inyectiva cualquiera entre A y P(A)
Por ejemplo, definimos la función f(x)={x}, de modo que,
f(1)➜{1}
f(2)➜{2}
f(3)➜{3}
4) No hay problemas para establecer una relación inyectiva entre A y P(A) ¿Consecuencias? El conjunto (A) no puede tener más elementos que su conjunto potencia. Y visto esto, entonces buscamos la manera de establecer una relación exhaustiva y ver si el conjunto potencia puede tener más elementos que el conjunto (A) .
5) Antes de nada, pero, hay que reflexionar: para que sea exhaustiva todos los elementos de P(A) tienen que estar relacionados con un único y exclusivo elemento de A, y como todo elemento de P(A) es un subconjutno de A, esto quiere decir que todos los subconjuntos de A deben de poderse relacionar con un único y exclusivo elemento de A; no vale que dos subconjuntos de A se relacionen con el mismo elemento de A. Por tanto, si existe una relación exhaustiva entonces no puede haber ningún subconjunto de A que no pueda relacionarse con un único y exclusivo elemento de A.
6) Aquí es cuando Cantor encuentra "su" elemento excepcional. Observa que siempre se puede definir un subconjunto de A, que llama B, el cual esté formado por todos aquellos elementos de A que no se relacionan, precisamente, con aquellos subconjuntos de A que los contengan.
7) Por tanto, B es un subconjunto de A, que a la vez es un elemento de P(A), al contener elementos de A.
Ciertamente a simple viste la definición de B parece trivial... ¡Pero eh aquí la sorpresa!
8) Cantor observa que si este conjunto B establece una relación con un elemento de A distinto a los suyos propios, entonces este elemento debería ser, también, elemento de B; pero si pasa a formar parte de B, entonces este elemento ya no puede relacionarse con B porque B sólo contiene elementos de A que nunca se relacionan con los subconjuntos que los contienen ¡Menuda contradicción!
Conclusión: Cantor descubre, así, que resulta imposible establecer una relación entre B y un elemento de A, de modo que P(A) siempre tendrá como mínimo un elemento más que A; este elemento de más será B, que siempre quedará desparejado.
Y cantor deduce de inmediato que esto sucederá en todos los conjuntos A posibles, incluso los que tengan infinitos elementos.
Ejemplo: Dado los conjuntos anteriores A y P(A) como ejemplos, entonces, definimos como B el siguiente subconjunto de A, B={1}. Entonces, ¿con qué elemento de A se puede relacionar B cuando forma parte de P(A)? ¿Acaso con 2?
Si se relaciona con 2, quiere decir que 2 tiene que ser, también, un elemento de B ya que no está contenido en él. Pero si introducimos entonces el 2 como un elemento más de B, convirtiéndolo en B={1,2} o B={{1},{2}}, entonces tenemos que el 2 no se puede relacionar con B, dado que está dentro de B.
¿Y con el 3? Pues sucede lo mismo, y si tuviéramos más números seguiría sucediendo lo mismo... ¡¿Y así hasta el infinito?! Al menos esto es lo que defiende Cantor.
En base a este teorema, aplicado a conjuntos infinitos, Cantor "descubre" 3 cosas sobre lo infinito:
1) Que el infinito tiene tamaño y por tanto se puede contener en "algún sitio", acaso en un infinito mayor.
2) Por tanto, hay infinitos más grandes que otros, es decir, hay infinitos que se pueden contener dentro de otros, y no viceversa. De modo que, también podemos ordenar los conjuntos infinitos de forma transitiva y lógica, es decir, de infinitos menores a mayores.
3) Dado que los distintos conjuntos de números (naturales, enteros, racionales, reales, etc) son conjuntos infinitos Cantor se pregunta si todos ellos son conjuntos infinitos del mismo tamaño, o bien, tendrán tamaños distintos (esto se tratará en próximos post). Si son infinitos de distinto tamaño, entonces deben ordenarse transitivamente. Y como luego "descubre" que el conjunto de los naturales es de un infinito menor que el de los reales, se lanza y propone la famosa hipótesis del continuo, que un genio de las matemáticas como Hilbert bautizó, a principios del s.XX, como la más importante de todas las hipótesis matemáticas a resolver. Hoy sabemos que es una hipótesis trivial: se ha demostrado que tan puede ser cierta como falsa.
El fracaso del logicismo y algunas miserias calladas de la lógica (Pequeño descanso)
Cuando Bertrand Russell leyó el teorema de Cantor quedó fascinado por este elemento B -¡Es pura dinamita!- Pensó al darse cuenta que reventaba sin compasión los innovadores trabajos logicistas de Frege.
De repente parecía inviable reducir todas las verdades posibles de las matemática a las verdades de ese lenguaje lógico supuestamente único, universal y matriz de todos los demás lenguajes, que había estado creando "poéticamente" el viejo Frege desde hacía treinta años en su "laboratorio de lógica", en Alemania -La teoría de conjuntos no era más que un paso previo hacia este lenguaje lógico absoluto y babélico.
¿Cómo se dio cuenta Russel del fracaso de Frege? Con este elemento "cantoriano" Russell observó cómo la propia teoría de conjuntos que estaban creando Cantor, Frege, el mismo Russell y otros, asentaba en sus bases una contradicción brutal: era posible encontrar conjuntos que no se pueden contener a sí mismos. De aquí tenemos la famosa paradoja de Russell, que se suele explicar informalmente con el ejemplo del barbero o de la biblioteca. Aunque Marx, el bueno, fue quién supo explicarlo mejor:
Para disolver esta paradoja y poder celebrar la victoria del logicismo, Russell propuso introducir un par de axiomas más a la teoría de conjuntos a través de su teoría de tipos, pero no fueron muy bien recibidos. Los que sí triunfaron fueron los axiomas propuestos más tarde por Zemelo y Frankael, con el axioma de elección en cabeza; pero esta es otra historia.
El problema de fondo del teorema de Cantor
Todo este post, en realidad, tiene la pretensión de mostrar como lo que presuntamente demuestra el teorema de Cantor no tiene porque ser cierto cuando estamos ante conjuntos infinitos, como puede ser el conjunto de números naturales o de números reales -de hecho, no es cierto para el conjunto vacío.
Antes de nada comentar que Cantor, y los lógicos en general, tienen un problema básico de interpretación: solo ven cosas y relaciones entre las cosas. Son incapaces de comprender procesos, tendencias, aproximaciones. En este sentido parecen ser mentes anti naturales y antifísicas; incapaces de pensar sin petrificarlo y momificarlo todo. Hecho que no deja de ser sumamente curioso. Vayamos a ver tal incapacidad en directo:
Para hacer una exposición informal de esta crítica al teorema de Cantor hay que atender a lo siguiente:
-El teorema de Cantor es cierto para conjuntos de 1 elemento
-El teorema de Cantor es cierto para conjuntos de 2 elementos
-El teorema de Cantor es cierto para conjuntos de 3 elementos
...
-El teorema de Cantor es cierto para conjuntos de 150 elementos
...
-El teorema de Cantor es cierto para conjuntos de 1000.000.000 elementos
... y así indefinidamente
De este razonamiento recursivo Cantor, como buen lógico, hizo un salto mortal y dedujo que, si este teorema es cierto para cualquier conjunto finito posible, entonces el teorema también tenía que ser cierto para conjuntos de infinitos elementos:
¡Cómo si se pudiera pasar de un número arbitrariamente grande a infinito dando un pasito y sin más!
El razonamiento es clavado al que hizo ya Zenón, discípulo de Parménides, mientras orgulloso afirmaba haber demostrado que el movimiento y la multiplicidad no existen, más que como ilusión.
Apréciase como Cantor para nada usó la noción de límite. ¿Extraño? Todas las mentes lógicas y dogmáticas siempre han tenido este mismo vicio, y así bien lo mostraban inconscientemente al dar esos saltos mortales con los cuales "justificaban" sus metafísicas, como ya había criticado Kant,
Para ver la demostración de como el teorema de Cantor se puede disolver en el infinito usando el concepto de límite aquí
Predicciones a demostrar en base a la revisión de Cantor
Ciertamente, si esta revisión es correcta, entonces tiene una serie de implicaciones o predicciones que, a su vez, se deberían de demostrar; a saber:
1) Un conjunto infinito no tiene ninguna cantidad fija de elementos, esto significa que al comparar un conjunto infinito con otro infinito no podemos establecer de forma fija cual es mayor o menor, o si son iguales. De hecho, el principio de identidad desaparece y por ello un conjunto infinito puede y no puede ser igual a sí mismo.
2) El conjunto de los números reales puede ser igual, incluso menor, que el de los números naturales.
3) La hipótesis del continua es trivial.
Excepto la tercera, cuya trivialidad ya está demostrada, las otras dos se irán demostrando en las próximas entradas.
Ver la próxima entrada del infinito, aquí
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