El infinito (VIII) La Nada, el cero y el principio de identidad

 Venimos de aquí

Quería hablar hoy sobre la capacidad del infinito por torear con gran elegancia el sacrosanto principio de identidad; que A=A; es decir: que "yo soy yo". 

Orígenes

¿Cómo surge tan fundamental principio de la lógica? 

Según mi tesis, que hemos visto en el post (el infinito II), surge de nuestra capacidad racional de comparar, y con ello de establecer símiles, dado que la "similitud" es un presuponer, establecer o imaginar que "algo concreto" existe y que este "algo" es similar, igual o equivalente con otra "cosa concreta" que también existe. 

Refinando semejante pensamiento complejo, se llegó a pensar que las "cosas" no sólo se pueden parecer a otras "cosas", sino que, en el fondo y en esencia, las cosas sobretodo tienen que poderse parecer a sí mismas ¡Y al hacer eso todo lo que "dicen" las cosas sobre sí mismas tiene que ser una verdad irrefutable -una tautologia!

También hemos visto como con Parménides este principio se eleva hasta las divinas alturas y bajo el regazo de la Diosa "Niké" se nos promete contemplar la realidad desde fuera, objetivamente, como quien mira una manzana dorada, redonda y perfecta entre sus manos. En efecto, con tal principio etéreo y superior Parménides soñaba poder terminar definiendo la realidad en sí misma (El Ser) 

¡Con qué sobriedad el "descubridor del Ser" predicaba haber encontrado la verdadera vía para alcanzar la verdad!"Methodos epistemai" dice en griego.

 De modo que, con este principio se fundamenta toda la metafísica: la ciencia que estudia las cosas en sí mismas, y no en relación con otras cosas -esto lo haría la física. Pues se supone que cuando se estudian las cosas por sí mismas, uno sólo descubre verdades -tautologías-, mientras que cuando estudia las "cosas" según su relación con otras, y por ello según las circunstancias y las condiciones, sólo obtiene un conocimiento relativo, circunstancial, siempre incompleto y susceptible de cambiar-contingente.

Dejando de lado que el primero que tacha la metafísica de absurda, trivial y redundante, mientras la aparta del ámbito científico, es Nietzsche, al darse cuenta de las limitaciones del principio de identidad al resultar imposible poder "mirar" jamás nada por sí mismo, lo cierto es que nos cuesta mucho no usar aspectos metafísicos y tautológicos en nuestros relatos, incluso en los relatos de la física, la lógica o las matemáticas. 

Y así sucede en matemáticas. Todo el álgebra se fundamenta en una idea metafísica, es decir, una verdad que se toma por irrefutable al ser tautológica; a saber: que dada una variable, ésta tiene que ser idéntica a sí misma.

Por ejemplo, dada x, entonces x = x

Ciertamente, esta igualdad no es más que una relación de similitud o equivalencia, y resulta completamente redundante ¡No nos aporta ninguna información! Pero es una definición y como tal, nos permite empezar a articular un relato. Aunque para ello necesitaremos alguna otra definición más; al ser precisamente redundante.

Por ejemplo, podemos usar esta otra definición: 

x= 5-2

y entonces podemos usar esta otra definición: 5-2=3

Al final obtenemos 3 definiciones:

1) x = x

2) x = 5-2

3) 5-2 = 3

Con estas 3 definiciones aplicamos algunos razonamientos y comparaciones, y llegamos a otra tautología como conclusión:

x= 3 o 3= x, y con ello que 3=3

¿Hemos descubierto aquí una verdad?

Se aprecia como a partir de una definición tautológica (x=x), otra definición  aritmética arbitraria (x=5-2), y otra definición matemáticamente arbitraria (5-2=3), obtenemos otra definición concluyente (x=3), la cual nos lleva de nuevo a otra tautología final (3=3). 

¿Es esta conclusión final cierta? No lo sabemos. De momento es una exigencia, una suposición, que se fundamenta en las otras tres definiciones iniciales. Si estas fueran ciertas, la conclusión también lo sería. Pero, ¿son ciertas? Veamos:

-Que x=x , no sabemos si es cierta, pero no es contradictoria o absurda.

-que x = 5-2, tampoco sabemos si es cierta, pero tampoco es contradictoria o absurda. 

- que 5-2=3 es cierta según la normas establecidas de la aritmética habitual y por tanto por conveniencia.

En fin, damos por cierto que x=3 es cierto porque de las 3 definiciones con las que razonamos una de ellas se considera cierta por normativa aritmética. Curioso. 

Observaciones sobre la tautologia; x=x

- Toda tautologia es una definición (una contradicción también es una definición). 

-Toda definición es una afirmación, con lo cual puede ser juzgada como cierta o falsa -ello dependerá de la argumentación y las evidencias. 

-La tautología es una definición que los metafísicos siempre han intentado validar a partir de una "petición de principio". "x es x, es una afirmación cierta porqué es evidente que x es x". Estamos ante un argumento completamente circular que pretende usarse a sí mismo como evidencia probatoria. ¿Es esto legítimo?

-Primero cabe preguntarse: ¿La definición "x es x" es cierta o falsa? Siendo honestos, no lo sabemos, dado que nos falta información, precisamente, sobre x. 

- "x es x" no nos permite adquirir información nueva sobre x, de modo que no nos permite saber nada sobre x. Y decir que "x es x porque es x", cuando no sabemos qué es x, sinceramente, es no decir nada sobre x. En este sentido la tautologia no puede ser ni cierta ni falsa.

-Que la tautologia "x es x" no pueda ni ser cierta ni falsa por falta de información, en principio, es una característica destacada, y por ejemplo la distingue de la contradicción (x≠x); que es una afirmación que siempre puede ser cierta y falsa a la vez -una autonegación. 

-Una definición tautológica al no poder ser ni cierta ni falsa es redundante, trivial y en tal sentido una definición "vacía". 

-Toda tautologia nos funciona en la medida que siempre es, precisamente, redundante y vacía. En otras palabras, actúa como una eterna suposición  ¡Estamos ante una eterna hipótesis! De aquí su poder en todo relato: no la podemos verificar, pero tampoco refutar. Se supone y andando... 

-¿Que una hipótesis nunca pueda ser ni verificada ni refutada acaso implica, necesariamente, que debe de ser más cierta que una afirmación cuya validez sí es comprobable, como "hoy llueve"? Así han juzgado siempre todos los metafísicos. ¿Pero no es un juicio muy subjetivo este? En cualquier caso, nosotros lo juzgamos de otro modo: al ser una eterna hipótesis nos resulta lícito usarla si nos conviene.

-Es por este motivo que las tautologías, como eternas suposiciones vacías y triviales actúan como piedras elementales de los relatos humanos ¡Y muchas veces se omiten, de tan elementales que son para el relato! Y ya no hablamos aquí sólo de relatos matemáticos, sino de cualquier ámbito. 

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Hemos visto, pues, como una afirmación tautológica no incrementa jamás nuestro conocimiento sobre lo definido. En este sentido nunca puede ser ni cierta ni falsa, dado que no hay nada "sobre qué" validarla o refutarla. Simplemente es una petición de principio; en otras palabras: una exigencia lógica inverificable. Con motivo estamos ante una entidad metafísica. Hecho es que un mundo de puras tautologías, como soñó Parménides (con su Ser), Platón (con sus ideas), Descartes (con su Dios), Leibniz (con sus mónadas), Kant (con su "cosa en sí") o los logicistas de principios de s.XX (con su torre lógica de Babel) es un mundo inverificable y trivial, vacío y completamente redundante.  Como decía Nietzsche: un mundo superfluo de nueces vacías, que sin embargo quieren ser cascadas. 

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La tautologia en las matemáticas

La suposición fundamental de las matemáticas es que x = x ¡Sea lo que sea x! Sobre esta nube de eterna redundancia y trivialidad, se han construido las catedrales más impresionantes de las matemáticas y por ende, del conocimiento humano. No deja de impresionar tal habilidad.

Su éxito justifica su uso, pero no demuestra su "certeza". Hecho que nos lleva, otra vez más, al dilema que ya abrió con fuerza inaudita Nietzsche: ¿cómo la verdad puede surgir de la suposición y la incertidumbre? ¿Será una locura sin más? ¿O es que, no hay verdad... ni por tanto mentira?

Sea lo que sea, esta definición fundamental, que "x = x", no es más que un principio para definir el siguiente  proceso recursivo reversible:

(0 = 0) ↔ (0+1 = 0+1 = 1 = 1)↔(1+1 = 1+1 = 2 = 2)↔(2+1=2+1=3=3)↔(3+1=3+1= 4 = 4)↔(4+1=4+1=5=5)↔(5+1=5+1=6=6)↔ ...↔ (x = x)

De hecho se observa lo siguiente:

(x = x) ↔ (x - x = 0) que es propiamente la definición de principio de identidad.

De algún modo, pues, el "principio de identidad" nos introduce la noción de "nada" o "vacío", al querer decir que una cosa es idéntica a sí misma cuando se niega a sí misma emerge la nada. 

Pero a la vez nos dice, si lo "leemos" al revés, que de la nada puede surgir cualquier cosa, dado que:

0 = 0 es la misma expresión que 1=1, y que 2=2, y que 3= 3 ... y que x=x

En otras palabras: 0= 1-1=2-2=3-3=4-4 =...= x-x

Este fue el pensamiento filosófico que propuso Anaximandro y llamó "apeiron" (indefinido), puesto que todo era Nada y de esta Nada, podía surgir cualquier cosa por oposición de identidades. Y si recordamos, luego Parménides luchó contra ello al defender el Ser. Sin embargo fue Gorgias, el sofista, quien puso de manifiesto cuan absurdo era el Ser de Parménides y esa ciencia nueva que decía haber descubierto (la metafísica). Fue Gorgias quien advirtió que el "principio de identidad" no demuestra el Ser cuando lo llevas "al infinito", sino más bien demuestra la existencia de la Nada, y de como todo surge de la Nada. 

Hoy en día los cosmólogos, como Lawrence Krauss, han terminado defendiendo lo mismo que Gorgias: el universo, antes del Big Bang, surgió de la Nada, porque en esencia es Nada. Sí, volvemos de nuevo al nihilismo sofista ¡Y con mucha razón!

En efecto, este nihilismo es inevitable, en la medida que basamos toda nuestra interpretación en el principio de identidad: un principio vacío, redundante y trivial ¡La eterna suposición! Por tanto, cabe comprender que cuando los cosmólogos nos dicen que el universo es Nada, lo que nos dicen es que en esencia tratan al universo como una cosa que es idéntica a sí misma. ¿Cómo lo hacen? Apelando al principio de conservación de la energía: el universo, sea lo que sea, siempre es energéticamente idéntico a sí mismo ¡Siempre se contiene en sí mismo! Y esto significa que, sea lo que sea el universo, es equivalente a decir que es Nada.

¿Es pues el principio de conservación de la energía una eterna suposición? Desde luego. Es una petición de principio que sirve como fundamento y guía a la hora de estructurar nuestro relato de la física (leyes y teorías físicas). De hecho, podríamos hacer cierto seguimiento evolutivo e histórico de esta petición de principio a la que llamamos "principio de conservación de la energía" y sobre el cual definimos qué es un sistema físico aislado -inercial, único, con unas leyes propias inherentes, etc.  

La aparición del infinito como movimiento de la nada.

Pero hay un "pero". El principio de identidad, y así bien se observa con la simplicidad del relato matemático, no sólo nos lleva de golpe a la Nada como fundamento, sino que expresa un proceso recursivo sin final -además reversible. 

Por tanto, nos aporta la idea de nada y al mismo tiempo, la idea de infinito ¡Y lo hace de una forma sutil y sorprendente a la vez!

Es decir, tenemos que x-x=0, o lo que es lo mismo: cualquier valor por grande o pequeño que sea, menos sí mismo, da cero siempre, dado que será siempre idéntico a sí mismo. Sin embargo, ¿qué sucede si aplicamos el límite al infinito?

Veámoslo a través de pasos parciales o aproximaciones:

0=0

0=1-1

0=(1+1)-(1-1)=1-1+1-1

0=((1+1+1)-(1+1+1)=1-1+1-1+1-1

... así indefinidamente

Apréciase que aproximando indefinidamente el principio de identidad obtenemos la famosa serie de Grandi: 1-1+1-1+1-1+1-1+...

Observaciones sobre la serie de Grandi:

1) Esta serie es fundamental porque representa el límite al infinito del principio de identidad.  

2) Para aproximarnos hacia un valor para esta serie, primero usamos sumas parciales. Y por sorpresa nuestra, apreciamos que no tiene porqué dar 0 ¡También puede dar 1! ¿Se romperá el principio de identidad? ¿Significa que la nada no puede ser algo infinito? 

3) Podemos aplicar otra aproximación a la serie, se llama sumación de Césaro. Según esta sumación la serie de grandi tiende a un valor concreto ¡Pero no es 0! Es 1/2. Y esta sumación concuerda, luego, con otras. Es muy fiable como límite.  

4) Hemos "descubierto" algo fascinante, algo que de nuevo rompe con los trabajos de Cantor y sus suposiciones:  que lo infinito, sea lo que sea, no debería tratarse como algo idéntico a sí mismo, sino en casos muy arbitrarios. 

Lo infinito toreando impunemente el principio de identidad 

En resumen:

Principio de identidad: (x = x) ↔ (x - x = 0)

Límite al infinito del Principio de identidad (por Cesaro): 

Lim (x-x)= 1/2  ↔  Limite (x) =1/2 + Limite (x)

Se aprecia como al infinito "el principio de identidad" desaparece, al igual que la noción de nada. De modo que el infinito ni es una cosa, ni es nada; es decir ni se contiene en nada ni en sí mismo como supone toda la metafísica desde Parménides.

¡El infinito, por tanto, ni es "algo" ni por eso conlleva tampoco la nada!

¿Y qué significa esto? El infinito es movimiento, aproximación, simplemente no es una entidad. 

Ver el post siguiente: el infinito (IX)

 

  

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