El azar (VIII) El número de Chaitin y el azar matemático

Índice: post sobre el azar (aquí)

Prometí hablar del trabajo de Gregory Chaitín después de leer su libro. A mi parecer marca un antes y un después en la historia de las matemáticas; por varias razones.

Tradicionalmente las matemáticas se toman como ciencias "puras", o "exactas", no sólo por  considerarse el paradigma del orden, la perfección y la regularidad, sino en especial por comandar el pensamiento deductivo y, con él, las demostraciones:

 a partir de unas verdades deduciendo somos capaces de obtener otras verdades sin precisar de constatación empírica alguna.  

Esta definición se la debemos a Pitágoras cuando nos habla de esos conocimientos que sólo pueden ser aprendidos por comprensión y no mediante una vulgar memorización. Pero para vislumbrar el genio matemático griego nos podríamos remontar tranquilamente hasta Tales de Mileto:  

Nota: Tales viajó a Egipto y fue capaz de deducir la altura de las pirámides usando, sólo, la potencia demostrativa de su teorema.

El genio deductivo griego se fue trabajando a escarpa y martillo generación tras generación, dando por fruto multitud de conceptos maravillosos y cruciales para el devenir del pensamiento occidental. Por ejemplo, ahí vemos esa idea capital de los presocráticos, el arkjé, surgir como Afrodita del espumoso océano espiritual griego a través de una reflexión atrevida, peligrosa y audaz:

-"Todo es agua"- nos señala el mismo Tales por ejemplo, dando alas al arkjé para que sobrevuela la Élade y prenda chispa el pensamiento occidental. Sin embargo, ¿qué pretende transmitirnos semejante idea, a bote pronto, quizás extravagante y lacónica? Pienso que en esencia dos cosas.

La primera: de algún modo con el arkjé se reconoce implícitamente que cuanto experimentamos corporalmente parece ser una fascinante multiplicidad de distintos fenómenos sin ninguna relación entre sí, que aparecen para luego desaparecer de forma turbulenta, oscura y devorados por el Tiempo. Es decir, que a primera vista la vida -physei- nos parece un tejido fenoménico sumamente complejo: una maraña de eventos harto liosa, entremezclada e irresoluble ¡Un complejo mundo tejido a ciegas por las Moiras!

La segunda: que más allá de esta bulliciosa hibridación de formas, fluctuaciones, fenómenos y eventos que vemos a primera vista la inteligencia nos muestra otra cosa distinta, incluso antagónica a la primera; a saber: que en el fondo Todo es Uno y lo mismo -acaso "agua" dice Tales. 

Si lo pensamos un poco apreciamos como es por deducción que llegamos a comprender que algo puede transformarse en otra cosa aparentemente distinta sí y sólo sí en el fondo siempre es la misma cosa ¡O si al menos ambas "ocultan" algo en común! 

El fuego se transforma en todas las cosas y éstas en fuego como las mercaderías se intercambian en oro y el oro en mercaderías. Heráclito de Éfeso.

4 + 12 = 16  se puede transformar en 15+1 = 16 = 25 - 9 ¡La forma cambioa mientras el significado permanece igual! Se pueden establecer infinitas igualdades equivalentes y simétricas entre sí.  

La sensación de poder intelectual que debió inundar los corazones de esos pensadores al concebir el arkjé, lo que es común a Todo, debió ser gigantesco y abrumador: ¡Un triunfo del espíritu y la inteligencia humana sobre la vida!  

De repente, la vida se aparecía ante sus ojos como una espléndida y divina estructura de simetrías; lo que Heráclito llamó: el logos divino.

Visto así no me extraña apreciar como más tarde algunos griegos, así Parménides, Platón o Aristóteles, se embriagasen locos por el poder simplificador de la deducción y terminasen por buscar un denominador común a todo cuanto vivimos, o podemos jamás vivir, muy especial: uno que sólo pudiera ser deducido y comprendido a partir de sí mismo. 

Sí, un tiránico deseo empezó a dominar a los griegos más ilustres: llegar a reducir de golpe la vida hasta convertirla en una exangüe, pura y disecada tautologia; una idea hueca e inanimada, muerta o que sólo vive de sí misma como una fantasma; bautizada luego como la "Verdad". Y de mientras juzgaban y valoraban todo lo vivo y metabólico, así el cambio, la aleatoriedad y la multiplicidad (el agua, el fuego, etc) como simple apariencia, accidentalidad y engaño ¡Como manifestaciones irreales, secundarias o redundantes de esa hipotética verdad hiperdestilada y autofágica suya! 

Dos milenios más tarde los pensadores modernos, al menos en este aspecto, no parece que hicieran mucho más: acaso cambiaron el nombre de ese denominador común con el que simplificar la vida hasta convertirla en una cáscara vacía ¡Un inmenso y etéreo A=A! Ahí tenemos a Galileo, Descartes, Newton, Leibniz, Pascal, Spinoza, Kant, Einstein, etc hablándonos de Dios para decirnos, sencillamente, que en el fondo todo cuanto existe y puede jamás existir es divino ¡Mientras Dios es incausado  -causa sui! 

Para un genio moderno la mente de Dios es equivalente al "Kosmós noethos" de Platón

No es de extrañar, también aquí, que todos ellos, conocidos precisamente como racionalistas por semejante deseo de simplificación tiránico y antivital -al que llaman "filosofar"-, andaban convencidos de que conociendo a Dios -la verdad suprema, comuna y única-, entonces por pura concatenación deductiva podían descubrir sin esfuerzo alguno todas las infinitas verdades posibles, por más aparentemente antagónicas, mezcladas y distintas pareciesen a simple vista 

¡Por más complicado pareciese ser el nudo de la existencia mediante la omnisciencia divina se creía posible poder desanudarlo en un plis-plas!

¿Por qué cuento este rollo? Porqué éste es uno de los puntos que trata a fondo el libro de Chaitín: 

¿Hasta qué medida se puede reducir y simplificar una compleja multiplicidad de eventos matemáticos en uno sólo, único y además autodemostrable, a través del cual deducir fácilmente entonces todos los primeros? 

Chaitin demuestra con su número Omega que el viejo sueño racionalista no es posible, sino en casos muy simples, es decir, en sistemas lógicos poco explicativos. Pero tal singularidad ya había sido descubierta, o al menos alertada, décadas atrás por Poincaré, Gödel o Turing en el campo de la lógica-matemática; y por Kant, Schopenhauer, Nietzsche o Wittgenstein en el de la filosofía. De modo que no estamos ante nada nuevo para quien tenga la inteligencia suficiente como para percibirlo y darse cuenta.

Lo que sucede es que Chaitin hace algo más: lo demuestra poniendo al descubierto la existencia de eventos matemáticos irreductibles, es decir, sin denominadores comunes, sin que estén atados a condiciones iniciales, y por consiguiente, indeducibles a partir de eventos anteriores o primarios. ¿Qué significa eso? Que estamos ante eventos matemáticos aleatorios. 

En definitiva, Chaitín demuestra que no se pueden reducir a lo bruto todas las "verdades" matemáticas a una simple y vacía tautología primordial, tipo A=A, simplemente porqué muchas de ellas obedecen al azar. Mientras destaca como el azar es sinónimo de riqueza explicativa, de potencia intuitiva, es decir, de complejidad e irreductibilidad.

Llegados aquí empezamos, pues, a comprender el azar como la imposibilidad de ir deduciendo de forma inmediata verdades a partir de otras de anteriores, puesto que en un sistema aleatorio "sus" verdades tienen que ir comprobándose una a una ¡Cálculo a cálculo! Y a la vez entendemos que calcular es, siempre, probar empíricamente: implica medir, contrastar y constatar. Sí, las ciencias puras son también empíricas en la medida que son dominadas por el azar.

¿Cómo la contribución de Chaitín a las matemáticas no va a marcar un antes y después en ellas? Es capital abrir miras para verlo... y a poder ser, aprovecharlo.

¿Qué son los números?

Hay algo más que comenta Chaitin en su libro que me ha despertado sumo interés, quizás porqué ya le había dado vueltas al encontrarlo un tema fascinante, por dudoso. 

Como matemático entiende la matemática como un lenguaje numérico, es decir, un lenguaje estructurado sobre números; que trata con números ¡Qué vive de los números! Y como matemático Chaitin define los números como cantidades. 

Personalmente, me parece una visión superficial del concepto número y que, bien analizada, no nos dice mucho: un número es una cantidad, una cantidad es algo que se puede contar y algo que se puede contar es por definición un número ¡Ahí tenemos una circularidad vacía y redundante! Sin embargo, es la definición tradicional y, como tal, se da en todos sitios de forma abusiva, a mi parecer claro está.

Si aprendemos a comprender lo que nos cuentan los griegos, acaso Pitágoras mismo cuando nos dice que el arkjé son los números, quizás ampliemos un poco nuestra visión e interpretación de los números. 

Es cierto que una de las funciones de los números es identificar cantidades, dado que, como hemos visto, una cantidad y un número saben a dos nombres distintos para una misma idea. Pero, ¿qué significa la idea de número, de contar, de cantidad? Significa medir... y, ¿qué es medir? 

Con los griegos se aprecia de forma clarísima: medir es establecer relaciones de proporcionalidad. En otras palabras, estipular un ordenamiento que sigue algún tipo de simetría y por tanto, de denominador común -acaso la unidad.

Visto así, se entiende que medir es poner en relación dos o más cosas, una de las cuales se toma arbitrariamente por "la unidad" ¡Lo común! Por ello una medida nos dice "cuánto se asemeja una cosa con la unidad", "cuánto tiene en común con la unidad", "cuánto se puede simplificar y reducir en base a la unidad". 

Cuando decimos: -Pepe mide 1,80 metros- Sólo mostramos cierta relación de proporcionalidad que mantiene la altura de Pepe con el metro, el cual actúa aquí arbitrariamente como unidad. Nada más ¡No hay nada de metafísico ni trascendental! ¿O sí?

Si nos fijamos, las medidas nos muestran las férreas relaciones que mantienen, aunque sea de forma aparente, superficial y arbitraria, las distintas cosas entre sí. Ante semejante panorama es fácil presuponer, no sin cierta inocencia vale reconocer, que el mundo igual esconde una sólida y maravillosa harmonía interna: un orden preestablecido, bello, justo y majestuoso, digno de estudio y comprensión. Un orden oculto y misterioso que actuaría, precisamente, como denominador común de todas las cosas. Y así lo creyó felizmente Pitágoras por ejemplo; con motivo a la vida la llamó "Kosmós". 

Pero siendo rigurosos, no sólo Pitágoras pensaba así en Grecia; ya desde los antiguos 7 sabios griegos se veneró "la medida" como máxima moral y elemento distintivo del sabio respecto al ignorante.

Con motivo, además, la sabiduría griega consideraba que sólo a través de la medición la belleza emerge de su letargo y ocultación. ¿Me explico?

En efecto, parece ser que para los griegos toda forma artística es, en esencia, un saber medir:

La música (tocar un instrumento) es medir el sonido hasta hallar la melodía.

La poesía es un medir las palabras hasta hallar la verdad. (Todos los poetas griegos se presentaban como heraldos de la verdad por inspiración de las musas)

La escultura y arquitectura es un medir las partes de las figuras hasta hallar lo harmonioso y equilibrado.

La política es un medir los caracteres, deseos y opiniones de la gente hasta hallar lo justo.

La medicina es un medir los tóxicos hasta hallar la dosis 

La física es un medir el comportamiento de los cuerpos hasta hallar una regularidad (la ley).

La ética es un medir las decisiones e inclinaciones, los juicios y acciones propias hasta hallar lo bueno y correcto.

   

Y el arte, para ellos, era curiosamente el camino hacia el perfeccionamiento personal; al que definieron con el termino: felicidad -una vida que vale la pena ser vivida.

Sin embargo, ¿es el mundo puro orden, harmonía, proporción, justicia y belleza? 

Los propios pitagóricos no tardaron mucho en darse cuenta estupefactos que no; que la hybris también forma parte fundamental de la vida; que la desmesura y la complexidad, lo entremezclado, bestial y horrible, lo convulso, aleatorio, inconexo, irreductible e inconmensurable también hace presencia por doquier. Sí, que el factor trágico, o dionisíaco, forma parte insobornable y esencial de la vida. 

Los pitagóricos descubrieron los números inconmensurables, como raíz de 2 por ejemplo, que al intentar ponerse en relación con la unidad entra de lleno en contradicción, la cual sólo se disuelve llevando la raíz al infinito. Pues como ya he dicho varias veces en otros post, la noción de infinito puede disolver fácilmente las contradicciones al no ser una noción ontológica. 

El mundo dionisíaco de los números 

Hoy en día llamamos números inconmensurables a los números reales irracionales. Y en realidad son un problema gordo, gordo, tal y como nos cuenta el propio Chaitin: "hay muchas razones para considerar que estos números no existen en realidad, más bien deberían llamarse irreales".

Es decir, Chaitín abre la puerta a considerar que el número Pi, raíz de cualquier número primo, el número áureo, el número e, etc ni son números ¡Ni existen en realidad! Atrevimiento que aplaudo porque así no lo tengo que hacer yo; y él sabe más, mucho más.

Sin embargo, tal afirmación no es nada nuevo. De hecho, ¿no será un volver a los griegos, a Pitágoras? Pero, ¡un segundo! ¿Acaso nos hemos marchado alguna vez mucho de los griegos? A fin de cuentas dijeron tantas cosas que sabe fácil encontrar siempre entre de ellos el eco de nuestras propias ideas. 

Por ejemplo, la visón moderna/actual de los inconmensurables es, como no podía ser de otra forma, muy platónica ¡Harto idealista! Y precisamente fue Platón quien intentó solucionar el dilema de los números inconmensurables destapado por sus amigos pitagóricos ¡Intentó extirpar el factor trágico del alma de la vida! Porqué de eso va el idealismo, como bien puso de manifiesto ya Nietzsche.

La solución platónica consistía en convencernos de que, en el fondo, ¡muy en el fondo!, la vida sigue escondiendo de forma silenciosa y velada una harmonía preestablecida: -¡Los irracionales sólo son aparentemente irracionales!- Propone el fundador de la Academia, para luego aclarar, en el caso de raíz de 2 por ejemplo, que: -Este número no existe en el mundo físico, sino de forma aparente, parcial e incompleta como un sinfín de meras copias imperfectas de su hipotético modelo ideal, el cual sólo podríamos visualizar, o llevando la operación al infinito o haciendo un salto mortal intelectual -trascendiendo lo finito. 

Sin embargo, Platón se engaña con la noción de infinito y aprovecha que el infinito puede no ser propiamente nada para introducirle lo que le da la gana -sus ideas vacías. Y por herencia suya los occidentales llevamos 2.500 años haciendo semejantes trampas sin ya darnos ni cuenta ¡Y a muchas de estas trampas se las ha llamado, precisamente, filosofía! Con motivo nos resulta tan interesante y atractiva como contemplar un truco de magia.

¿Existen los números irracionales? 

Hablar de números irracionales es, a fin de cuentas, hablar de números que no pueden ser nunca números; de medidas que no se pueden medir; de proporciones desproporcionadas; de exactitudes inexactas; de un orden desordenado e imprevisible ¡Se nos exige lo imposible: hablar de algo que no se puede hablar! ¿No será eso cruel? 

En efecto, al intentar tratar los irracionales como números chocamos de frente ante una flagrante contradicción. Y para resolverla y clarificarla, de momento, sólo se nos ocurre disolverla mediante el infinito. 

Pero como ya vimos en el post anterior (ver) una contradicción puede tener suma utilidad; es decir, que algo nunca pueda ser cierto no implica, necesariamente, que no pueda usarse como hipótesis y suposición para contar un montón de cosas interesantes. Y obviamente, los números irracionales tienen un enorme interés. De hecho, aunque decidiéramos que ya no existen más aún los seguiríamos usando y pensando en ellos a diario 

¡Usar medidas inmedibles resulta fructífero y fecundo para las matemáticas y el pensamiento humano!

En todo caso, sí me parece clave comprender dónde fallan los irracionales, hasta dónde los puedes llevar sin que todo explote por los aires al chocar contra una inmensa absurdidad -como le sucedió a Cantor ¡Es crucial comprender sus límites! En caso contrario terminamos disparando ideas a lo loco.

En fin, que cuando pienso en Pi ya no veo a ningún número, ninguna cantidad, sino un tipo de relación imposible, por absurda. 

Y sin embargo, me hace gracia escuchar a cualquier estudiante de la ESO afirmar con autoridad que tal relación es muy fácil, que no esconde ningún problema: -Sólo basta aplicar un número aproximado, acaso el 3,141592 ¡O el 3 si hay prisas!, para resolver la operación imposible que le han puesto en la pizarra-. 

Sí, en qué mundo más superficial y engañoso aprendemos a vivir para felicidad y despreocupación nuestra -Pensando que sabemos, adquirimos confianza con la vida. No es, pues, ninguna paradoja pensar que el saber te hace tonto, como suelen corroborar los expertos.  

En resumen, cuando Chaitin nos cuenta en su libro uno de los hallazgos matemático-filosóficos más importantes de Leibniz, la cuadratura del círculo a través de una operación infinita, uno aprecia sin ya mucha sorpresa qua cualquier relación absurda, como lo es Pi, y por ello la cuadratura del círculo, puede tratarse sin problemas disolviéndola mediante el infinito:

De hecho, dado que el infinito puede y no puede ser tratado como un ente, también vemos, gracias a Riemman, cómo esta misma serie infinita de Leibniz puede dar cualquier relación que queramos, ya sea coherente y precisa ya absurda e imposible. Sólo nos basta con reorganizar los interminables términos de la serie ¡Y vualá! Así nos lo cuenta Burkard Polster (ver vídeo)

Las sumas infinitas son, ya no fascinantes, sino lo siguiente; basta con ver las filigranas que genios como Euler, Riemman o Ramanujan hacían con esos monstruos. E intuyo que el número Omega hace buenas migas con ellas.

Demostración de la irracionalidad de Pi

Añado este breve apartado porque tratando el tema he advertido como las demostraciones sobre la irracionalidad del número Pi fueron tardías (La primera nos la dio el gran amigo de Kant, Lambert, en el s.XVIII). Y sobre todo, suelen ser complicadas. Así nos lo cuenta Eduardo Saenz de Cabezón en Derivando (ver aquí)

Con la elegante demostración de Euclides sobre la irracionalidad de raíz de 2, que parte de la factorización, se me ha ocurrido una posible demostración sencilla y fácil sobre la irracionalidad de Pi. La he escrito vuelapluma y por eso la cuelgo aquí por si apetece trastearla (hoja 1 y hoja 2)

EDITO: dado que lo compartí edito para apuntar que, después de repasarlo de nuevo, veo que el procedimiento escogido, si bien es irrefutable, resulta trivial (da vueltas al hecho que Pi=Pi) y por tanto, no nos dice nada de Pi (ver la trivialidad aquí). Otro día será, pues.

¿Por qué se tomaron en serio los número irracionales?

Las famosas cortaduras de Dedekind justifican tratar las relaciones imposibles, como pi o raíz de 2, como si fueran números: relaciones coherentes, precisas y perfectamente definidas ¡Cómo si fueran entidades!  ¿Va a ser esto posible?

Estas cortaduras abrigan a tan gran absurdidades de cierta estructura comprensible y con ello las dotan de cierta capacidad para relacionarse con otros objetos matemáticos. Y en efecto, una vez vestidas de cierta lógica y coherencia, guapas y radiantes, parecen ya estar listas para ser admitidas dentro del noble palacio de los números, aunque no lo sean; hecho que no deja de ser fascinante y un cuento de hadas para goce de las inteligencias más perspicaces. 

Aquí se puede ver una explicación sobre las cortaduras de Dedekind

Por eso, cuando nos fijamos un poco con el trabajo de Dedekind apreciamos, con una sonrisa, que el muy listillo nos hace ciertas trampas, o al menos se apega a ciertas arbitrariedades, quizás justificables si se desea considerar a los irracionales como números; pero aquí ya entramos a discutir una cuestión de deseos, nada desdeñable por cierto.

Y, ¿de qué consideraciones hablamos? De las que Dedekind seguramente sacó de Cantor.

La idea de fondo me parece brillante: consiste en revestir estos monstruos, absurdos e irracionales, con conjuntos de infinitos números racionales bien ordenados. En concreto, consiste en hallar el punto de encuentro, al infinito, donde coinciden el conjunto de racionales que son mayores que el absurdo que deseemos y el conjunto de racionales que son menores que él. 

Pongo un ejemplo tomado un poco a mi conveniencia; se presupone que Pi ha de ser el punto de encuentro al límite entre el conjunto de los números racionales que a partir de 4 va hasta Pi, acaso pasando por el 32/10, el 315/100, el 3142/1000, el 31416/10000 etc, y el conjunto de todos los racionales que a partir del 2 va hasta Pi , pasando acaso por el 30/10, el (313/100), el 3140/1000, el 31414/10000 etc. 

En resumen: Pi es el punto de encuentro entre {4, 32/10, 315/100, 3142/1000, 31416/10000,...} y {2, 30/10, 313/100, 3140/1000, 31414/10000...}  

Ciertamente hacer esto con un número racional, por ejemplo el 5, no es ningún problema:

 5 = {6, 51/10, 501/100, 5001/1000, 50001/10000,...} y {4, 49/10, 499/100, 4999/1000, 49999/10000...}

Y, ¿por qué no es ningún problema hacer eso con un número racional? Porqué un número racional es , a todos los efecto, un número ¡Una diana clara donde apuntar! Con lo cual te puedes aproximar tanto como quieras al 5 por la derecha, o la izquierda, y si bien nunca llegarás a impactar con él, puesto que siempre habrá un racional más pequeño marcando distancias, el límite de este interminable proceso de búsqueda siempre estará muy bien definido; pues será el propio número -el 5 en este caso. 

Pero, ¿qué ocurre con Pi? ¿Acaso sucede lo mismo? Pues no. Al no ser Pi ningún número, sino una relación absurda, entonces el límite no está definido ¡No hay ningún punto de encuentro! Y así tenemos el límite: perdido y sin saber hacia donde dirigirse ¡Parece una veleta en medio de la tempestad! De modo que no converge hacia ningún valor fijo definitivo. De aquí la convicción de que cada decimal de Pi será aleatorio.

En efecto, resulta imprevisible deducir cual será el siguiente decimal de Pi a partir de los decimales obtenidos ¡Hay que ir calculando! Con el 5 eso no pasa. 

De hecho, ahora que lo pienso, hace tiempo que me da por cuestionar: ¿por qué resulta tan difícil elaborar mecanismos para obtener de forma fácil un número arbitrariamente grande de decimales de Pi? Y en efecto: se debe a que, para hallar decimales de Pi hay que calcular, con lo que ello significa. En otras palabras, quizás el grado de aleatoriedad de los decimales de Pi paute un cierto límite en la capacidad para calcularlos. 

En fin, no hay duda de que soy muy amateur en estos temas y son multitud los aspectos y sutilezas que quizás se me escapan, pero después de observar la situación entiendo que Dedekind, Cantor y compañía presupusieron algo completamente arbitrario, por no decir directamente falso y chocante; a saber: 

Que todos los puntos de una recta no se pueden definir al completo usando, sólo, números racionales. 

Se aprovecharon que en el s.XIX corría el rumor por el mundo matemático que usando sólo racionales se forman huecos en una recta de infinitos puntos, puesto que quedarían muchos de ellos sin definir mediante su número correspondiente. 

-Pero, ¿qué puntos de la recta quedarán sin ser definidos por un número?- Podemos preguntar algo confusos. Y esas inteligencias del s.XIX nos responderán sin inmutarse a cara de perro: -Sí, hombre, el punto Pi, el punto raíz de 2, el punto e.... quedan sin definir si solo usamos racionales, dado que ellos no pueden ser jamás racionales- Concluyen mientras nos enseñan un dibujito tal que así:

  

Insólito, increíble, inaudito. Perdonad, pero me sale de dentro y, cierto, quizás esté equivocado, pero esta gente nos suelta a la cara que aquello que jamás puede ser un punto definido, puesto que resulta absurdo que lo sea, debe ser un punto definido cuando describimos una recta ¡Y se nos exige que lo busquemos para identificarlo! 

Visto así no doy crédito, el razonamiento empleado me parece, sinceramente, esperpéntico: al ser completamente absurdo tomar Pi por un número, entonces los números no bastan para definir todos los números que hay en una recta. Y de esta "feliz" idea concluyen: por tanto, usando sólo números se generan huecos, vacíos, puntos sin definir en la recta de los números, de modo que ésta en vez de un continuum parece un queso gruyere. 

Sí, este es el plan de Dedekind, Cantor y tantos otros: ¡Hay que introducir en la recta de los números lo que nunca podrá ser número alguno para que la recta tenga ya todos los números!... 

¿Qué podría fallar? ¿Nos extrañamos, luego, que al final tan espectacular juego trilero lleve a trivialidades, como la hipótesis del continuo? 

Confieso pero, y para que no se malinterprete, que me seduce analizar, discernir y estudiar cómo razonaban los idealistas de hace 150 años y sacar a la luz cuánto hay de humano, demasiado humano en sus ideas aparentemente más objetivas y realistas. ¿Estaban equivocados? ¿Lo estaré yo? Difícil erigirse aquí en un juez imparcial, pero para mí este razonar es interesantísimo por esperpéntico; por constatar cómo lo más absurdo puede generar ideas de lo más interesantes y cruciales ¿Acaso el propio trabajo de Chaitin no se basa en gran medida en ello para, de algún modo, terminar negándolo o poniéndolo en duda?

Dicho esto, entonces, ¿cómo tratar a los irracionales? 

Aunque los llamemos por la cara "números", el hecho es que nunca los podemos usar como tales dado que, por su propia definición, no representan nada medible, contable, puntuable. Pero sí los podemos usar para otras cosas y, con motivo, los podemos concebir de manera distinta.

A bote pronto, me parecen más bien operaciones, conjuntos infinitos, o mejor dicho: recorridos de funciones. De hecho, hablar de Pi me suena a si hablásemos del conjunto de los naturales. ¿Acaso no resulta absurdo tratar el conjunto de los naturales como si fuera, él mismo, un número? Pues Pi me sabe a un subconjunto infinito de números racionales muy peculiar donde es preciso "calcular y evaluar" para hallar cada uno de sus elementos de entre los racionales posibles. Por eso no está muy ordenado. 

En realidad, lo mismo que nos pasa con Pi nos pasaría si creyéramos en la existencia de un número natural de infinitas cifras: ¿acaso no estaríamos hablando más bien de un subconjunto infinito muy concreto de los naturales como recorrido de alguna función en vez de un número? 

En el fondo esta fue la idea que me vino en mente cuando se me ocurrió desarrollar el método del espejo como alternativa al método de diagonalización de Cantor. Y empecé a visualizar los irracionales como subconjuntos infinitos muy peculiares de los racionales. Por ejemplo, Pi = {3, 31/10, 314/100, 3141/1000, 31415/10000,...} 

Obviamente esto me llevó al teorema de Cantor sobre la cardinalidad de los conjuntos potencia. Y advertí como el teorema, si bien funciona para los infinitos conjuntos finitos posibles, no tiene porqué funcionar para conjuntos infinitos, dada la naturaleza no ontológica del infinito. (se puede ver la revisión del teorema aquí).

De hecho, lo que quería decir con esta revisión tampoco no es nada nuevo, sino lo mismo que ocurre con muchas de las demostraciones matemáticas de irracionalidad; como la ya vista sobre raíz de 2: que al alcanzar un resultado con un número finito de decimales para raíz de 2 siempre chocamos con una contradicción, la cual nos lleva a buscar otro decimal más, y éste nuevo decimal, a su vez, nos lleva a tener que buscar otro más... y tal paradoja sólo desaparece llevando la búsqueda al infinito. Pues así mismo el teorema de Cantor te dice que para cualquier conjunto finito de elementos que tomemos siempre se produce una contradicción al intentar constatar si el propio conjunto, y su conjunto potencia, tienen los mismos elementos. Entonces, esta contradicción te lleva a introducir un elemento más en el conjunto escogido; pero luego, con el nuevo elemento, la contradicción vuelve aparecer exigiendo no poder parar de añadir nuevos elementos al conjunto. Y al final se aprecia como esta contradicción sólo se desvanece al llevar el conjunto al infinito, demostrando con ello que esta relación de igualdad entre un conjunto y su conjunto potencia sólo puede darse sin generar una contradicción en el infinito.  

Universo discreto vs universo continuo ¿El mundo de los racionales?

A raíz de la problemática de los reales, que Chaitin pone radicalmente en duda en su libro dando pie a que me  haya puesto a comentar este tema a fondo, aunque quizás él no comparta para nada mi punto de vista, nos abre debate con un tema tradicionalmente filosófico, y muy antiguo: 

¿será la realidad continua o discreta? 

Defiende que la realidad debe ser discreta; argumentos y evidencias no le faltan, muy interesantes algunas de ellas. Y éste es uno de los motivos por los cuales tacha a los irracionales de irreales, de no existir. 

Desde mi punto de vista, pero, la crítica de Chaitin arrastra aún los vicios idealistas. Presupone, siguiéndoles el juego a los idealistas, que son los irracionales los que dan continuidad a la recta de todos los números y por tanto que sin ellos habría saltos, discreción y vacíos ¡Sin ellos habrían puntos de la recta sin definir! Por tanto, al defender él un universo discreto, con razones muy potentes eso sí, considera que quitando los irracionales ya tiene un modelo factible ¡Piensa que usando sólo racionales podemos ya palpar la estructura discreta del universo!  

Como ya he dicho, entiendo este tema de los irracionales con otro aire: 

-No son números por tanto no hacen nada en la recta de los números ¡Ni quitan ni ponen puntos! De hecho, cada uno de ellos me sabe, sencillamente, un subconjunto infinito muy peculiar de los racionales. A fin de cuentas, observo fascinado como, si bien es cierto que ningún irracional nunca podrá llegar a ser un racional concreto, un punto preciso, una medida, al mismo tiempo tampoco podrá jamás abandonar el "mundo de los racionales", por donde siempre se "moverá" como un relámpago, de forma errática y prisionera... ¡Hasta volver a alcanzarse a sí mismo en el infinito! 

Sí, por esto mismo me tienen fascinando estas relaciones dionisíacas capaces de mantener en una preciosa harmonía su propia contradicción interna a través de un devenir eterno. Me fascinan porque, además, me recuerdan al "logos" de Heráclito.

En cualquier caso, ahí tenemos a todo el mundo mirando boba y fijamente a los racionales, uno por uno, y destacando sus limitaciones y finitud sin darse cuenta que, en global, forman un continuo infinito y compactado: entre dos racionales cualquiera hay, siempre, infinitos racionales ¿Dónde va a estar el vacío en un mundo infinitamente denso como este? Con los naturales y los enteros, en cambio, esto jamás sucede; entre ellos siempre hay saltos: del 1 pasas al 2 y de este al 3. ¡Y entre ellos no hay ningún otro natural, sólo un continuum de racionales!

Por tanto, la recta de los números es siempre un continuum, por pura definición, dado que sólo hay números. ¿Significa eso que la vida será también un continuum? Ni por asomo. Sólo significa que un modelo puramente medible y numerable, cuantificable y preciso será siempre un continuum. Nada más. Es sólo una definición, que en todo caso nos permite generar un modelo.

Y sobre la dicotomía filosófica ya discutida en tiempos de Zenón y Demócrito sobre si la vida es un continuum o bien, algo discreto, bueno, a mí se me antoja una tercera opción, que dejaré en el tintero. 

 

Irracionalidad y aleatoriedad

Hablando de irracionales Chaitín expone los trabajos de Borel, y su teorema, según el cual los decimales de la gran mayoría de irracionales seguirían una distribución aleatoria. En tal caso sería una distribución que los matemáticos llaman "normal". En Gaussianos (aquí) lo explican la mar de bien. 

Yo sólo diría, en cualquier caso, que los decimales de estos irracionales se distribuyen a través de una forma fractal aleatoria; de modo que al infinito se alcanzan a sí mismos (ver forma fractal aleatoria aquí). Eh ahí su potente razón de ser: devienen constantemente en verdades en sí por puro azar, por puro devenir, por no ser puntos ni entes fijos con un valor determinado. ¿Estamos aún haciendo metafísica??? Esto se vale una propia reflexión, pues nos abre las puertas a una nueva filosofía;  acaso una filosofía dionisíaca como decía Nietzsche. 

En cualquier caso, como se puede apreciar en el artículo de Gaussianos, repasemos por ahora algunos números normales muy curiosos: 

-El propio número de Chaitín (el 0,00787499699...) 

-El número de Champernowne (el 0,123456789101112131415...), peculiar por ser normal en base 10 y por ello tener por decimales la concatenación de todos los números naturales 

-La constante de Copeland-Erdos (el 0,2357111317192329... ) En efecto, esta constante tiene por decimales la concatenación de todos los números primos. 

En efecto, al observar el número de Champernowne y la constante de Copland-Erdos nos da por preguntar: ¿será, entonces, la propia distribución de números naturales, y la de primos, normal y por ello  de algún modo aleatoria? 

En cualquier caso, sí hemos visto cómo los decimales de un irracional como Pi se desarrollan como una veleta, a lo loco, sin una diana fija donde dirigirse. ¿Por qué? ¿Se puede sacar provecho e ir más al fondo de la cuestión?

Contradicción y azar

Sí, una idea misteriosa sobrevuela todo este tema. ¿Estaremos equivocados? A decir verdad, nos es ningún problema errar, extraviarse y perderse; muchas veces todo lo contrario ¡Sin Aristóteles no habríamos tenido a Galileo! Y cuanto sigue a continuación son reflexiones bastante preliminares.

De algún modo extraño se aprecia como la noción de azar, la de infinito y la contradicción están íntimamente emparentadas. Y, ¿si el azar, al igual que el infinito, también fuera una forma de disolver contradicciones? Aquí (ver) ya vimos como mediante el azar se puede sortear sin problemas una violación del principio de transitividad, y por tanto una flagrante contradicción. 

Nos cuesta vernos a nosotros mismos, ¡nos faltan espejos! Y no alertamos que estamos acostumbrados a pensar que si algo se puede calcular y nos da un resultado preciso, entonces es un resultado determinado, y si es determinado para nada será aleatorio. Pero que este pensar sea fruto de un hábito no significa que sea razonable, o bien, que no podamos pensar de otra manera. Eh aquí otro de los temas claves del libro de Chaitin. Y fue, además, uno de los motivos para comprármelo. 

Empezamos a entender que cuanto más hay que calcular, tantear y probar para resolver un dilema más aleatorio y complejo resulta, dado que es menos fácil de deducir directamente ¡Resulta más difícil de simplificar! Un mundo claro y diáfano no regido por el azar sería deducible de inmediato a partir de una primera verdad, una primera causa incausada; por supuesto Dios ¡Spinoza lo explica de maravilla! Obviamente, pero, éste no es el caso de nuestra embrollada vida.

De forma muy rápida, comentar que el tema nos lleva directos hacia las ecuaciones diofánticas. Esto nos escribe Chaitin al respecto:

" Y esto es todo lo que hay:¡las ecuaciones diofánticas son en realidad computadoras! Increible, ¿no? ¡Lo que habría dado yo por poder contarle a Diofanto o a Hilbert! ¡Apostaría a que lo entenderían sin problemas! [...] ¡Y esto demuestra que la teoría de números es difícil! ¡Esto demuestra que la incomputabilidad y la incompletitud residen en el núcleo, en los problemas diofánticos de hace 2000 años! Más adelante les mostraré que la aleatoriedad también se oculta en ese mismo lugar..." [pg. 65]

Estas últimas semanas he estado estudiando un poco las ecuaciones diofánticas, en especial las más sencillas, y tengo la sensación de empezar a sacar cierto provecho de esta afinidad entre contradicción, azar, infinito y determinismo que ocultan.  Además, me han llevado a Fermat, con el cual me siento algo identificado. Para reyes ya me he pedido su:

El nihilismo, posverdad matemática y pesimismo epistemológico

Aprovechando las ecuaciones diofánticas, y Fermat, termino el post hablando de un tema que queda medio oculto entre todos los demás y que, en efecto, es el más filosófico ¡Y de largo! Chaitin lo comenta en una página en el anexo del libro donde agrupa notas, poemas y otros escritos [pg 219] .

Los teorema de Gödel, de Turing y el suyo, en un principio nos llevan directos al nihilismo y a la posverdad matemática. Pero en seguida, en este breve apunte, Chaitin reconoce que tan gran pesimismo epistemológico, curiosamente y por algún motivo quizás misterioso, parece no funcionar a efectos prácticos. Porque si fueran definitivos el día a día de las matemáticas sería muy, pero que muy negro, dado que los teoremas parecen pronosticar las imposibilidad de demostrar verdades matemáticas. Es más, exigen directamente la muerte de las matemáticas ¡El fin de las demostraciones! Y resulta evidente que las matemáticas están más vivas que nunca, con nuevos resultados y nuevas creaciones año tras año.

Chaitin pone un ejemplo de este pesimismo matemático que, seguramente, le turbó durante algún tiempo: 

"La gente suele decirme: -vale, todo esto está muy bien. La teoría algorítmica de la información es estupenda, pero póngame un ejemplo de un resultado concreto que usted crea que escapa al poder de razonamiento matemático?- Una de mis respuestas favoritas durante años fue: -Tal vez el último teorema de Fermat-. Pero luego sucedió algo gracioso, Andrew Wiles se presentó con una demostración."

Ciertamente el último teorema de Fermat desquició durante 350 años a los mejores, y peores, matemáticos de cada generación, simplemente porque el francés apuntó en el borde del libro de Diofantes, mientras lo leía: 

Y luego, añadió: "hallé una demostración maravillosa, pero este borde es demasiado pequeño para anotarla".

   

A ojos de la comunidad científica parecía irresoluble e imposible hasta que Andrew Wiles lo demostró, eso sí, mediante un tocho de casi 100 páginas de instrumentos matemáticos complicadísimos. Por contra, la demostración de Fermat no ocupaba ni 2 páginas con matemáticas asequibles para un estudiante de instituto. Lo curioso es que los matemáticos no la supiesen recrear. Pero, ¿se puede recrear? Y en tal caso, ¿será una demostración que seríamos capaces de aceptar?

Sea como sea, volvamos al dilema filosófico: ¿Por qué este pesimismo? 

La muerte de Dios en matemáticas

Los matemáticos del s.XX han matado a Dios. Esa vieja ilusión idealista que les hacía soñar con la existencia de una A=A con la cual poder deducir todas las verdades matemáticas posibles les ha llevado a pensar todo lo contrario: ¡Que ya no se va a poder demostrar casi nada y por tanto las opiniones se vuelven banales! Ciertamente, estamos ante un dilema filosófico, y psicológico, de primer orden: 

“No se abandona una posición extrema por una posición moderada sino por otra igualmente extrema, pero contraria. Y así es como la creencia en la inmoralidad absoluta de la naturaleza, en la falta de sentido y de fin, se apodera de nosotros como un afecto psicológicamente necesario cuando ya no puede mantenerse la creencia en Dios, en un orden esencialmente bueno del mundo y por ello, en la moral. El pesimismo aparece entonces ligado a tal inmoralidad, pero no porque el displacer ante la existencia sea mayor que antes, sino porque se había creído que el orden, el fin y el sentido es lo que otorgaba bondad a la vida. Una interpretación entre otras ha naufragado, pero como se creyó que era la única interpretación posible, parece que la existencia ya no tenga sentido, que nada valga la pena, que la vida, al convertirse en inmoral, parezca el peor de los mundos posibles, una especie de lugar malvado, cruel e insoportable. Pero este pesimismo no es más que otra interpretación .” F. Nietzsche

Resulta evidente, si nos fijamos un poco tal y cómo reconoce el propio Chaitin, que la posverdad y este nihilismo post idealista no llevan a nada; saben absurdos al contradecir de lleno cuanto vivimos. Pero reconocerlo ya es un primer paso para poder superarlo. 

¿Habrá un nuevo mundo por descubrir, una nueva forma de interpretar, sentir y vivir la realidad, por así decirlo? Y, ¿acaso trabajar a fondo en la idea de azar, tal y como nos ha regalado Chaitin con su fabuloso trabajo,  será un primer paso?

Quizás uno debería empezar a ser capaz de percibir por sí mismo como las matemáticas no son un mundo aparte ni de la vida ni de lo humano ni del lenguaje ni de nuestro aparato emotivo ¡Cuánta psicología ocultan en sus profundidades: oscuros océanos de expectativas, prejuicios y deseos la bañan por dentro! De hecho, las demostraciones matemáticas, y lógicas, hablan más de poder que de la verdad pura y dura ¡Ideal! Dado que ésta es una eterna y vacía suposición inverificable, como ya os comentaba en el post anterior. ¿Tendremos aquí, precisamente y para sorpresa grata de todos, la salida al pesimismo epistemológico?

Me parece a mí que Chaitin, al final, se ve plenamente capaz de tomar con sumo desparpajo esta misma salida; una salida que, curiosamente, ya fue tomada a su manera por otros pensadores, como Poincaré, Tarski (curioso, Chaitin parece no conocer su trabajo), Wittgenstein, y en especial, Nietzsche. Ahí tenemos a mentes con lenguajes, metáforas, razonamientos, experiencias y evidencias aparentemente muy distintas, incluso antagónicas a primer vistazo, encauzarse de forma errante hacía un mismo río de ideas, nuevas y exuberantes. Hecho que da por pensar y sospechar con serenidad y largamente: cuánto futuro tiene el filosofar por delante, y sin embargo, la gente sin darse cuenta.

En efecto, quiero recomendar encarecidamente el extenso prólogo que nos regala Chaitin; ahí apreciamos un alegre olvidarse, o apartarse, de la metafísica y la posmodernidad por igual, mientras expone de forma genial lo que significa demostrar más allá de la "verdad". Delicioso leer, por ejemplo, cómo se sobrepone a la dictadura de las mentes puras , así la de Erdos por ejemplo, quienes aún creían, o creen, en esa vieja superstición metafísica que nos dicta: -A las mentes privilegiadas (los genios) les caen del cielo las demostraciones como regalos de Dios.- 

Dejo pendiente reelerme de nuevo el libro de Chaitin porque me sabe capital en muchos sentidos, y algunos conceptos, honestamente, aún me cuestan por ser muy específicos del campo de su trabajo. Problemas de idioma. 

Y por hoy lo dejo aquí que también tengo otros quehaceres. 

   

 

 

  

¿Dejando atrás la lógica?

 Desde Parménides se ha establecido con mano de hierro sobre las consciencias occidentales la convicción lógica de que ninguna opinión cierta puede violar dos requisitos ontológicos: El principio de identidad (el Ser es) y el principio de no contradicción (el No Ser no puede ser).

Aristóteles recoge esta exigencia epistemológica con suma claridad: ninguna opinión digna de ser juzgada como cierta, y por ello científica, puede desatender dichos principios -Así como otros más que se derivan de ellos.

A mi no me extraña, luego, la lucha a muerte en la que se enzarza Aristóteles para exterminar la noción de infinito de todo relato humano posible. Como ya he comentado varias veces, la noción de infinito sortea tales principios ontológicos sin despeinarse, pues el infinito puede y no puede ser considerado un ente, para sorpresa de Cantor por ejemplo. 

Parménides, obsesionado por descubrir un método científico, una vía para alcanzar sólo opiniones que no pudieran ser jamás refutadas y con motivo llamarlas luego "verdades", se arroja en brazos del principio de identidad. 

"X=X" suelta el griego; bueno, en su poético lenguaje dice: "el Ser es". 

A nivel sensual el principio de identidad es siempre falso, o al menos queda de inmediato refutado. Nada de cuanto experimentamos y vivimos es nunca idéntico a sí mismo, como reconoce en la vía de la opinión el griego y que con una genialidad inaudita ya había sabido explicar antes Heráclito: 

Pero a nivel lógico y mental, de comprensión y pensamiento quiero decir, nos resulta un principio irrenunciable. 

En esto Parménides lleva razón: no podemos pensar que "el agua es agua" sea una premisa falsa, aunque apreciemos atónitos como a cuanto llamamos agua sin descanso se transforma en otras sustancias y fluye sin adquirir jamás una identidad fija, perfecta, estática. ¿Por qué? Porqué pensar y comprender que "el agua no es agua" nos resulta paradójico y absurdo; y nuestra mente ante el lío que se le forma dentro por puro instinto vomita, desecha, niega semejante premisa como posibilidad. Por consiguiente se convence, ciega y confiada, de que "el agua debe ser agua" es una afirmación necesaria; o al menos será necesario que "el agua debe ser la apariencia de algo que jamás cambia dejando de ser eso mismo". Y de aquí surge, precisamente, nuestro potente concepto de "energía" por ejemplo.

La noción de energía es una exigencia mental, imaginativa y lógica, para nada es empírica; su finalidad es representar el devenir de forma coherente, definible y comprensible.

En resumen; que afirmar "X=X" nos resulta psicológicamente irrefutable;  pues nos resulta imposible pensar, imaginar o concebir lo contrario cuando lo analizamos con atención. Y esto que X es una cáscara metafórica completamente vacía, dado que X=X no nos cuenta nada de X, más allá de que sea, precisamente, X.  

Eh aquí, pues, lo que nos diferencia y aparta de Parménides y Platón, de Aristóteles y de todos los lógicos posteriores. ¿Se escucha ese susurro? ¡Silencio! Algo sutil, imperceptible, inteligente brilla de repente; un matiz que durante milenios ha pasado completamente inadvertido al superficial rumiar de las gentes más brillantes sobrevuela ahora mismo nuestras mentes:

Que algo nos sepa mentalmente irrenunciable, y por ello irrefutable, sólo significa que es precisamente eso: irrenunciable e irrefutable. Y en tal sentido, ello para nada nos garantiza que sea verdad ¡Aquí nos resulta lícito desconfiar! Nos resulta lícito dejar nuestra inocencia intelectual aparcada y dudar con serenidad.

De repente, vemos la lógica con unos ojos completamente distintos. Apreciamos en los sacrosantos principios de la lógica entresijos, laberintos y pasillos escondidos hasta la fecha. ¿No sentimos como el pensamiento se expande dentro de nosotros?

Sin embargo, ¡un segundo! Es preciso reconocer cómo toda la matemática entera y cualquier lenguaje formal se alza precisamente sobre la premisa "X=X" ¡Sobre meras tautologías! Hecho que nos lleva a titubear:

-¿Cómo la tautología podría fundamentar las verdades de las ciencias puras si dudamos de su veracidad? ¿Acaso no era una verdad inmediata y primordial afirmar que toda verdad sólo puede surgir de una primera verdad inmediata? - Sí, esto nos lo podemos preguntar siempre y cuando no detectemos la contradicción (por descenso) implícita en tal razonamiento. 

Nos tomamos con seriedad este dilema FILOSÓFICO; sí, filosófico con mayúsculas. Pero nos lo tomamos con una seriedad casi infantil donde la curiosidad y el júbilo se entremezclan en una especie de juego. Y lo reconocemos: la tautología funciona, pero no porque sea una primera e inmediata VERDAD, sino porque para nuestra inteligencia actúa como una eterna hipótesis: una afirmación que si bien nos resulta siempre inverificable por vacía, circular y redundante (es una magnífica petición de principio), también nos resultará siempre irrefutable 

¡Sí, cómo suposición y juego mental siempre funciona!  

Las matemáticas y los lenguajes formales se elevan ligeras y gráciles sobre las nubes eternas de las suposiciones. De ahí su perfección, sus seductoras simetrías y esa belleza encantadora propia que nos hace creer, ilusionados, que proceden de los mismos dioses; cuando quizás procedan de Circe, la hechicera ¡Más de un Ulises terminó perdido entre las embrujadas manos de esa tejedora de telas divinas, quien se divertía en "ver" a todo ser humano como una patética y denigrante bestia!  

¡Ay, Circe, la reina de la Metafísica! La vieja suposición de que existe una realidad en sí, es decir, un mundo compuesto de puras tautologías: entes inmaculados, fijos, hieráticos que se identifican, sólo, a partir de sí mismos, con lo cual manifiestan sin tacha sus propiedades intrínsecas sin coacciones, sin alteraciones, sin imperfecciones... sin cambiar ni verse jamás modificados ¡Cómo si fueran puras "dignitatis"!

Eh aquí, precisamente, una de las razones por las cuales Platón, en el fondo, siempre me ha parecido aburrido, soso, vacío: cuando al leerlo empezaba su disquisición metafísica sobre lo bello en sí, la verdad en sí, el bien en sí, la justicia en sí, el árbol en sí... Buff, no podía dejar de soltar: 

-¿¡Qué me estás contando amigo Platón!? No, no me hagas perder el tiempo susurrándome tales ensoñaciones vacías como pompas de jabón ¿Por qué quieres que abandone mis sentidos, mi cuerpo, que desatienda el brumoso devenir que configura precisamente mi ser al dotar de solidez a toda existencia mía por esas redundantes hipótesis etéreas tuyas que brillan mucho y cuentan nada?

 

Por este "cerrar los ojos para buscar lo trivial y vacío" me costó mucho tomarme en serio a Platón, si bien la noción de idea, de visualización mental, me parece la experiencia humana más potente y fascinante. Y como experiencia, con sinceridad, nada tiene de realidad en sí, sino mucho de devenir; tal y como se aprecia en los genios del aforismo, maestros de la intuición. 

 En definitiva, cabe ver las definiciones tautológicas como afirmaciones irrefutables, pero vacías ¡Puras circularidades! Hecho que solemos pasar por alto porque nuestra mente, al tomar una definición, sobreentiende que ya comprende lo definido y fácilmente se siente ya satisfecha. 

Me acuerdo en el primer curso de ingeniería un profesor preguntarnos nada más empezar: -¿Y qué es la energía?- Nosotros balbuceamos dubitantes, y con una sonrisa maliciosa contestó severo: -La energía es energía-. Me quedé atónito, intuí de inmediato que nos gastaba una broma, pues esa definición de energía no nos decía nada de la energía ¡Si lo meditabas ahí no había nada que comprender! Pero veía a muchos de mis compañeros harto tranquilos tomando apuntes; y cuando les expuse mis dudas me contestaron: -¿Y qué no entiendes? Energía es energía.- Y a otra cosa mariposa, que había mucho por empollar.

"Pienso que entender lo que no se entiende, como hacen los metafísicos, se le puede bien llamar affirmative nescire".     Lichtenberg. 

No habíamos comprendido la noción de energía, pero a muchos sí les parecía haber comprendido que ante la pregunta "¿qué es la energía?" dar por respuesta una pura redundancia era suficiente  ¡Tenían algo lógico que responder! 

La sorpresa llegó luego en el examen a quienes no habían pillado la ironía metafísica del profesor, que seguramente se había leído a Feynman. 

El principio de no contradicción

Con el principio de no contradicción sucede algo parecido al de identidad. Ya lo he comentado en otros posts de una forma u otra.

Por ejemplo hablando del nihilismo sofista, o nuestro postmodernismo actual, donde se suelen chillar exigencias como: 

"todo es mentira"; "la verdad absoluta no existe dado que todo depende y es relativo"; "toda opinión puede ser puesta en duda"; "no se puede generalizar"; y otras exigencias absurdas por el estilo que nuestra embobada sociedad acepta con total normalidad y alegría sin advertir en lo más mínimo su profundo paroxismo lógico.

Para Aristóteles, recordemos, el "todo es mentira", es juzgado en el tribunal de la lógica como una afirmación falsa que debe ser cortada de raíz del bello jardín de las ciencias, para luego desecharla de los labios de la humanidad. ¿Por qué? No sólo porqué da pie a infinitas conclusiones distintas: "todo es mentira, por tanto los cerdos viven en Marte y la tierra es plana"; sino por una necesidad puramente psicológica: tal afirmación nos resulta inconcebible, inimaginable, imposible de ser configurada en nuestra mente ¡Entramos de lleno en disociación cognitiva! Es decir, cuando la pobre intenta comprenderla y tomarla en serio simplemente explota catatónica disgregándose al azar en infinitos pedazos. 

Sin embargo, nosotros lo vemos distinto. Por un lado confirmamos que, en efecto, "todo es mentira" nos resulta una afirmación que no podemos verificar jamás, dado que cuando intentamos darla por cierta entonces nos lleva a tener que considerarla falsa, metiéndonos de lleno en un lío mental intolerable. 

Pero, eh ahí van nuestras dudas lícitas: ¿acaso que tal afirmación nunca pueda ser cierta implicará, necesariamente, que no se pueda utilizar como un tipo especial de suposición para construir opiniones de las cuales sacar, entonces, conclusiones?

Sí, de acuerdo; cuando asumimos una premisa contradictoria asumimos que tarde o temprano chocaremos con un absurdo, del mismo modo que cuando pedimos un préstamo asumimos que tarde o temprano lo tendremos que devolver. ¡Aunque luego no nos acordemos de haberlo contraído! Y si bien es cierto que, a escoger, mejor vivir sin deudas vale decir que tampoco es un drama vivir con ellas. De hecho, nuestra sociedad mercantilista se fundamenta en la deuda.  

Por tanto, ¿por qué tendríamos que desechar a la primera tomar como suposición una afirmación contradictoria? Igual, mientras aún no nos lleva al absurdo nos permite hacer muchas cosas interesantes. Es más, quizás llevar al absurdo tal proposición y hacerla explotar nos permite, precisamente, "descubrir" muchas cosas interesantes que arrastra a escondidas.

  

¿Qué significa chocar con lo absurdo y lo inconcebible? 

Quizás sea éste uno de los aspectos más fascinantes del lenguaje, y por tanto, de la lógica: cuando una afirmación se contradice nos lanza con suma violencia contra una especie de muro, de limbo o límite, donde nuestra mente choca y revienta al escuchar -Hasta aquí llegas y más allá no puedes ya comprender nada. 

Como ejemplo me viene en mente la teoría general de la relatividad: al llevarla a las singularidades, como los agujeros negros, descubrimos cuanto de absurdo y de contradicción esconde ¡Descubrimos sus límites! Y con ello nos damos cuenta que falla, que no puede ser cierta... Sin embargo, eso no impide que nos permita explicar muchas cosas.   

 Ahora bien, si fuéramos inquisitivos como lo fueron esos grandes sabios antiguos como Aristóteles o Parménides, y de hecho así Parménides lo suelta abiertamente en su poema, deberíamos desechar la teoría de la relatividad porque, a fin de cuentas, es un sistema lógico contradictorio que, como vemos, nos lleva directamente al absurdo ¡Aunque antes nos haya contado muchas cosas interesantes!

 Obviamente, pero, pasamos de las exigencias de estos viejos lógicos y usamos a diario la relatividad porque aunque nunca vaya a ser una teoría cierta, y seguramente sólo vaya a emplearse de forma parcial o pasajera en la historia de la ciencia -como cualquier otra cosa en la vida-, por el momento nos permite hacer muchas predicciones y suposiciones destacadas sobre cuanto observamos, hecho que nos proporciona un elevado grado de poder y libertad de acción. 

Quizás sea el momento de empezar a madurar un poco a nivel lógico, a superar el fanatismo intelectual con el cual no pocos sabios de la antigüedad se abrazaron a los principios de identidad y no contradicción como si fueran principios que nos cayesen del cielo por milagro divino, con lo cual les deberíamos devoción y respeto sumo e incondicional. Y advertir, desde luego, cuánto hay en ellos de simio y animal.

En este sentido, añadir, que quizás también deberíamos ser algo más perspicaces y socráticos y empezar a discernir hasta qué punto el cerebro humano, por ejemplo, tolera sin muchos problemas premisas contradictorias; eso sí, cuando se emboba por ellas y evita llevarlas al paroxismo para, así, recrearse en su abrazo. O cómo cree conocer algo del mundo mediante definiciones vacías y redundantes sólo porque usa, precisamente, definiciones. Esto mismo les ha sucedido siempre a las mentes metafísicas (con Kant -ver aquí- tenemos un brutal ejemplo de trivialidad filosófica) y también a las más lógicas, como la de Gödel, quien nos pretende demostrar la existencia de Dios a partir de una nube de axiomas completamente circular y redundante -una mera petición de principio.

Prueba ontológica de Dios, de Gödel

En fin, quizás sería el momento de ser honestos con la tan vanagloriada inteligencia humana y maravillarnos de como se engaña continuamente a sí misma, no para conocer la supuesta realidad que nos alimentaría a todos desde lo eterno, sino para creer saber qué es la realidad y así ya no preocuparse mucho más por el tema. 

Nada nos importa menos y desatendemos más que aquello que tenemos super asumido... hasta que lo perdemos.

Pensamiento máquina versus pensamiento humano ¿Cómo le afecta la lógica?

Con la inteligencia artificial, el autoaprendizaje máquina y la automatización copando ya un montón de ámbitos, especialmente laborales, surge cada vez con más fuerza una inquietud y, acaso, un miedo: 

¿la inteligencia humana terminará siendo suplantada por la inteligencia máquina?

No tengo ninguna bola de cristal, pero sí entiendo la gran diferencia entre el pensamiento máquina y el humano: el cómo emplean los principios lógicos.

Por ejemplo, ante una contradicción una máquina simplemente parará o entrará en bucle. No hay más. No hay matices, ni equivocaciones, ni despistes para la máquina ¡El comportamiento máquina ante la contradicción es harto simple, efectivo y tonto! Y con las definiciones redundantes, acaso X=X, siempre se las come sin problemas. Total, a la máquina no le importa lo que diga o no diga una afirmación, dado que le importa un comino que estemos ante nueces vacías; a fin de cuentas tampoco entiende nada: simplemente obedece instrucciones lógicas. 

En los seres humanos es otro cantar. Ya se quejaba Parménides que el contradictorio camino de la opinión, donde las cosas son y no son, es el más transitado. Y en efecto, gracias a nuestra connatural hipocresía y doblepensar, nuestra despreocupación y miopía racional, el tiránico dominio de nuestros instintos más ancestrales sobre nuestro delicado y casi embrionario raciocinio, nos lleva a vivir, siempre, en medio de absurdidades, paradojas, premisas incomibles e irresolubles sin que ello nos quite el sueño. Hecho que nos permite ser creativos y construir sobre tales escombros lógicos nuestras opiniones de las cosas ¡Poniendo luego toda nuestra fe y convicción en ellas! Y éstas nos duran hasta que nos cansamos de ellas, o las superamos... o nos aplastan; la ruleta de la fortuna es caprichosa. 

La mente humana, aunque sea incapaz de sostener psicológicamente una contradicción cuando estalla con toda su fuerza dentro de nosotros, sí parece estar super preparada para vivir sin muchos problemas en medio de contradicciones y absurdidades; siempre que evite enfrentarse en serio a ellas:  ¡La mente actúa a la sueca, como si ciertas paradojas no fueran con ella! Y la inteligencia social, el arte de saber vivir en sociedad quiero decir, lo atestigua a diario. 

Cuando la mente se enamora caprichosamente de una idea le perdona y justifica todo, y la idea lo aprovecha para tiranizarnos.

Analicemos esas afirmaciones nihilistas de antes por ejemplo: simplemente la mente humana común es tan lista y astuta que, si se encapricha de dichas premisas, entonces puede pasar olímpicamente de detectarlas como contradicciones para no tener que renunciar a ellas, con lo cual se permite el lujo de construir de forma imaginativa y "lógica" toda una visión de la vida muy particular a su costa ¡Aunque en el fondo nada de eso tenga realmente sentido! Ahí tenemos la ideología progre postmoderna que abraza sin dilemas las paradojas antes expuestas como ejemplo palmario. 

No nos sorprende, pues, escuchar al buen postmoderno soltar, al más estilo Woody Allen en una especie de broma satírica: -La vida no tiene sentido, es absurda - Hecho que nos lleva a preguntarnos: -¿Estará hablando realmente de la vida o simplemente se ha puesto a escucharse a sí mismo y descubre el mar de contradicciones incomibles que azotan su alma y no sabe por donde le da el aire? 

A veces pienso que permitir el lenguaje a la gran mayoría de la población, y me incluyo por su puesto, es como permitir a los monos llevar metralletas encima; como hicieron los listos estos (ver aquí).  De hecho, imagino que si existieran los Dioses y nos hubieran dado el lenguaje, y con él la lógica y el pensamiento como regalo divino, seguramente fuera para reírse de nosotros. 

Fue Sócrates el genio que supo sacar a relucir por primera vez tan inquietante verdad: que tras los relatos e ideologías humanas más elaborados, coherentes y en apariencia sustanciales basta con sacar a pasear unos cuantos "porques", y analizar fríamente una pizca de lo que se cuenta, para poner de manifiesto cuanto de absurdo, irresoluble y vacío esconden en el fondo. Sí, eso es cruel.

Nuestro ordenamiento jurídico es una rotunda evidencia de como disfunciona alegremente el pensamiento humano: un corpus de leyes entrepegadas a modo de parches lleno de instrucciones solapadas y contradictorias, de redundancias y ad hocs que permiten interpretarlo al caprichoso arbitrio de quienes viven del derecho, haciéndolo un buen negocio, y un nido para las mafias ideológicas sociales. Gödel, una auténtica inteligencia máquina humana a la altura de Parménides se percató en seguida del cacao jurídico cuando el día antes de tener que jurar la constitución de USA se la leyó enterita a su modo, es decir, como si fuera una máquina, y obviamente se horrorizó al detectar los vacíos legales, las absurdidades legislativas y las contradicciones que se daban en el texto. Un texto completamente sagrado para los americanos, a quienes nunca se les ha ocurrido la tontería de leérselo en serio, es decir, como si fueran puras máquinas. Con todo, a la mañana siguiente Gödel no quiso ir a jurar la constitución y Einstein, su mejor amigo, tuvo que llamarle suplicándole que asistiera al acto. 

El día que las máquinas aprendan a convivir con las contradicciones, o a tolerarlas ciegas de amor o de orgullo, a decir cualquier cosa que se les antoje a partir de premisas redundantes y vacías, a leer a "su modo" las instrucciones dadas, entonces podremos afirmar que el pensamiento máquina puede sustituir al loco simio humano y su salvaje pensamiento.  

En fin, ceñirse a los principios lógicos, matriz de nuestros juicios epistemológicos (verdad/mentira), tal y como exigió por primera vez Parménides con ese espectacular poema suyo, abriendo las puertas en occidente del desarrollo del pensamiento formal (máquina), sólo es un tipo de interpretación. Un tipo de interpretación fascinante y potente por las posibilidades que nos brinda, tanto para bien como para mal. Pero ni de broma es él único. El pensamiento humano es capaz de generar otros tipos de interpretaciones. ¿cómo? Usando el lenguaje para generar otro tipo de epistemologia, de comprensión, de forma de concebir la vida. Al menos así lo terminó intuyendo Wittgenstein, aunque a mi parecer fuera Nietzsche quien lo destacó de forma más profunda y diáfana.