El metro como unidad del alma humana

Este hilo es una continuación del que se publicó hace ya unos días, llamado "377", y en donde propongo una especie de juego numerológico entre el nº 377, diversas razones especiales, como Pi o el número áureo, y con la métrica egipcia y la nuestra, que se basa en el metro como unidad. (ver el post)

Al final, vimos como Luís Castaño propone la existencia de un canon humano antiquísimo, usado por distintas civilizaciones, entre ellas la egipcia, la sumeria, la griega o durante el renacimiento; mientras especula que quizás se hallaría incluso en construcciones megalíticas. Podéis ver una conferencia muy buena al respecto (aquí).

Luis Castaño narra como descubre este canon a partir del famoso "Hombre de Vitruvio" dibujado por Leonardo da Vinci, donde el florentino, no sólo pauta luego todas las proporciones entre las distintas partes del cuerpo humano a fin de constituir un cuerpo armonioso, sino que lo integra en un cuadrado exacto de 18cm X 18cm. 

A raíz de tales investigaciones Luís Castaño deduce que Leonardo nos representa un prototipo humano ideal de 1.80 metros de altura, y por tanto también de envergadura. Un prototipo que Leonardo dice sacar directamente de Vitruvio, arquitecto e ingeniero principal de Julio César en el s.I ac. Y en su obras, llamadas "de architectura", el romano dice haberlo recogido de culturas más antiguas.

Leonardo escribe las siguientes instrucciones en el mismo dibujo:

‹‹ Vitruvio el arquitecto, dice en su obra sobre arquitectura que la naturaleza distribuye las medidas del cuerpo humano como sigue: 

-que 4 dedos hacen 1 palma, y 4 palmas hacen 1 pie, 6 palmas hacen 1 codo, 4 codos hacen la altura del hombre. Y 2 codos hacen 1 paso, y que 24 palmas hacen un hombre; y estas medidas son las que él usaba en sus edilicios. 

-Si separas la piernas lo suficiente como para que tu altura disminuya 1/14 y estiras y subes los hombros hasta que los dedos  estén al nivel del borde superior de tu cabeza, has de saber que el centro geométrico de tus extremidades separadas estará situado en tu ombligo y que el espacio entre las piernas será un triángulo equilátero.

-La longitud de los brazos extendidos de un hombre es igual a su altura. 

-Desde el nacimiento del pelo hasta la punta de la barbilla es la décima parte de la altura de un hombre; desde la punta de la barbilla a la parte superior de la cabeza es un octavo de su estatura; desde la parte superior del pecho al extremo de su cabeza será un sexto de un hombre. 

-Desde la parte superior del pecho al nacimiento del pelo será la séptima parte del hombre completo.

-Desde los pezones a la parte de arriba de la cabeza será la cuarta parte del hombre. 

-La anchura mayor de los hombros contiene en sí misma la cuarta parte de un hombre. 

-Desde el codo a la punta de la mano será la quinta parte del hombre; y desde el codo al ángulo de la axila será la octava parte del hombre. 

-La mano completa será la décima parte del hombre; el comienzo de los genitales marca la mitad del hombre. 

-El pie es una sexta parte del hombre. 

-Desde la planta del pie hasta debajo de la rodilla será la cuarta parte del hombre. 

-Desde debajo de la rodilla al comienzo de los genitales será la cuarta parte del hombre. 

-La distancia desde la parte inferior de la barbilla a la nariz y desde el nacimiento del pelo a las cejas es, en cada caso, la misma, y, como la oreja, una tercera parte del rostro.

-El ombligo es el punto central natural del cuerpo humano. En efecto, si se coloca un hombre boca arriba, con las manos y los pies estirados, situando el centro del compás en su ombligo y trazando una circunferencia, ésta tocaría la punta de ambas manos y los dedos de los pies.››

Luego podemos ir directamente a los textos de Vitruvio (Libro III, capítulo I) donde nos expone como estas proporciones humanas son las que él, precisamente, empleaba en la construcción de edificios para reflejar la armonía "natural" que expresa, precisamente, nuestro cuerpo divino.

‹ Es imposible que un templo posea una correcta disposición si carece de simetría y de proporción, como sucede con los miembros o partes del cuerpo de un hombre bien formado. El cuerpo humano lo formó la naturaleza de tal manera que el rostro, desde la barbilla hasta la parte mas alta de la frente, donde están las raíces del pelo, mida una décima parte de su altura total. La palma de la mano, desde la muñeca hasta el extremo del dedo medio, mide exactamente lo mismo; la cabeza, desde la barbilla hasta su coronilla, mide una octava parte de todo el cuerpo; una sexta parte mide desde el esternón hasta las raíces del pelo y desde la parte media del pecho hasta la coronilla, una cuarta parte.

Desde el mentón hasta la base de la nariz, mide una tercera parte y desde las cejas hasta las raíces del pelo, la frente mide igualmente otra tercera parte. Si nos referimos al pie, equivale a una sexta parte de la altura del cuerpo; el codo, una cuarta parte, y el pecho equivale igualmente a una cuarta parte. Los restantes miembros guardan también una proporción de simetría, de la que se sirvieron los antiguos pintores y escultores famosos, alcanzando una extraordinaria consideración y fama. Exactamente de igual manera, las partes de los templos deben guardar una proporción de simetría perfectamente apropiada de cada una de ellas respecto al conjunto total en su completa dimensión.

El ombligo es el punto central natural del cuerpo humano. En efecto, si se coloca un hombre boca arriba, con sus manos y sus pies estirados, situando el centro del compás en su ombligo y trazando una circunferencia, esta tocaría la punta de ambas manos y los dedos de los pies. La figura circular trazada sobre el cuerpo humano nos posibilita el lograr también un cuadrado: si se mide desde la planta de los pies hasta la coronilla, la medida resultante será la misma que se da entre las puntas de los dedos con los brazos extendidos; exactamente su anchura mide lo mismo que su altura, como los cuadrados que trazamos con la escuadra.

Por tanto, si la naturaleza ha formado el cuerpo humano de modo que sus miembros guardan una exacta proporción respecto a todo el cuerpo, los antiguos fijaron también esta relación en la realización completa de sus obras, donde cada una de sus partes guarda una exacta y puntual proporción respecto a la forma total de su obra. Dejaron constancia de la proporción de las medidas en todas sus obras, pero sobre todo las tuvieron en cuenta en la construcción de los templos de los dioses, que son un claro reflejo para la posteridad de sus aciertos y logros, como también de sus descuidos y negligencias.››

Así, pues, siguiendo la tesis de Luís Castaño tenemos que el canon humano ideal sería un tipo que, en metros, reflejaría la siguiente proporción:

Es cierto que Luís Castaño traduce los 1.80 metros como 24 palmas, pero leyendo a Leonardo vemos en seguida que también podríamos decir que la altura humana representa 6 pies, 4 codos, 10 manos (del final de la muñeca al índice), diez caras humanas, etc.

Digo esto, porque si nos vamos a Egipto vemos en seguida como sus artistas normalmente dividían el canon humano en 18 partes; lo que se conoce como canon de 18 puños:

 Este canon, tomando el prototipo humano como 1.80m, es muy interesante; primero porque cada parte, llamada puño, mide idealmente 18/180 metros; es decir unos 0.10 m (las medidas nos indican que el puño medía 0.998 m -sin contar la marca). Pero por otro factor más.

18 es un número que nos permite relacionar el canon con los números de Fibonacci de forma que podamos expresar la unidad, entre otras cosas: acaso las siguientes ternas pitagóricas: 

Nota: podéis ver de donde surge esta terna aquí

Veamos, entonces, cómo de esta suma de Fibonacci sacamos la unidad al poder dividir 18 en dos segmentos, uno de los cuales es, precisamente la unidad:

18 = 2+3+5+8 = (2+3+5)+8 =10+8

Obviamente este 10 representa, en el canon, la unidad dado que cada puño representa un décimo de la unidad (1/10); de modo que 10 puños son, idealmente, la unidad. Y esta unidad, siendo el canon de 1.80m, es precisamente el metro. 

El metro como unidad del alma

Si observamos uno de los dibujos donde se representa esta segmentación de Fibonacci, por así decirlo, entonces distinguimos claramente como el metro representa:

- 2 puños: la cabeza humana, y por tanto la inteligencia

- 3 puños: el pecho humano, y por tanto, el carácter.

-5 puños: estómago y partes bajas, y por tanto, los instintos o deseos animales. 

Cualquiera que haya estudiado un poco filosofía, y en especial a Platón, sabrá que fue de los pocos griegos que logró iniciarse en los misterios de Egipto, al igual que Pitágoras, Orfeo y quizás también Tales de Mileto. Y sabrá también como nos representa el alma humana mediante tres partes, que coinciden al dedillo con esta partición de Fibonacci.

Al observar estas curiosidades no puedo dejar de pensar como la filosofía griega, y muy en especial la de Platón, es una obra artística fundamentada en el estudio matemático continuado buscando la proporción, la medida y armonía entre todas las cosas ¡Su razón de ser! 

Pero es cierto, lo expuesto no demuestra nada, más que una observación curiosa mía que, sin embargo, cuadra de forma sorprendente si atenemos a la fantasiosa idea de que ya los antiguos usarían el metro como unidad generatriz fundamental; reflejo del alma humana y por tanto, también, del mundo. 

 

 

377

Artículo ampliado el 17/02/23

Artículo siguiente: el metro como unidad del alma humana

A veces en matemáticas hablamos de números especiales por presentar unas propiedades muy particulares, así el 0 o 1, como unidad; o los números primos, los triangulares o los de Fibonacci.

Incluso números aparentemente sosos e intranscendentes se vuelven, para una mente matemática superba, sumamente singulares; como así nos lo recuerda esa anécdota de Hardy visitando a Ramanujan, ya muy enfermo, donde le decía: he venido con un taxi cuyo número no tenía nada de especial; el 1729. 

Entonces Ramanujan le contestó: “No diga usted eso. El número 1729 es muy especial, pues es el número más pequeño expresable como suma de dos cubos de dos maneras diferentes, ya que 1729 = 1³ + 12³ y también 1729 = 9³ + 10³. ” Y de tal forma surgieron los números taxicab.

Es relativamente fácil tomar un número cualquiera y encontrar un montón de relaciones curiosas y, a veces, sorprendentes. Pero hacer esto mismo con el 377 parece ser asombroso.

El 377 es el nº 14 de la serie de fibonacci; de modo que 377 = 144+233, siendo como es sabido el 144= 12 x 12.

Lista de nº de Fibonacci

Lo curioso de este número compuesto, pues 377=13·29, es que parece tener una relación especial precisamente con el número 12, y sus múltiplos. 

Para empezar basta dividir 377 entre 12 y apreciar ya en seguida una relación impactante:

Al ver esto uno piensa y fantasea con la idea de que un pueblo antiguo podría haber tomado esta relación geométrica sencilla como aproximación útil al nº Pi. Por ejemplo los antiguos egipcios, cuyas medidas fueron referencia para muchas culturas posteriores; incluso, quizás, para la nuestra. 

Pero siendo el 377 un número de Fibonacci tenemos, además de Pi, otras relaciones con otro número especial: 

1) Si lo dividimos entre 233 (número de Fibonacci 13º) obtenemos una aproximación hacia:

2) Si lo dividimos entre 144 (número de Fibonacci 12º)obtenemos:

3) Si lo dividimos entre 610 (número de Fibonacci 15º =233+377) obtenemos:

Nota: El número áureo es muy peculiar; muestra relaciones singulares consigo mismo al ser la única solución real a la siguiente ecuación de segundo grado:

 

Estas relaciones de Fibonacci nos permiten establecer otra más al tomar que el nº áureo al cuadrado menos el propio número áureo nos da 1:

Esto me ha sorprendido al verlo, pero la verdad, siguiendo la serie de Fibonacci a través de su ecuación se aprecia lo fácil de establecer la siguiente serie de aproximación a 1:

Y de esta serie podemos también sacar la siguiente relación:

En definitiva, el 377 es un número especial: es capaz de darnos una relación aproximada de hasta 4 dígitos entre dos de los números más importantes en matemáticas: el número Pi i el número áureo.

Sistema de pesos y medidas egipcio

El sistema de medida egipcio se articulaba sobre una unidad fundamental llamada codo (0,5236 m): 

1 codo real eran 7 palmos (o manos) y un palmo 4 dedos.

A primera vista parece un sistema completamente antropométrico sin ninguna peculiaridad matemática, dado que codo, palmo y dedo parecen hacer referencia a partes del cuerpo humano. He visto algún trabajo interesante defendiéndolo y trabajando sobre tal suposición. Ciertamente, tomando los nombres como evidencias parece tener fundamento, aunque para que alguien tenga un "codo" de 0,5236 metros debe medir más de 1,90 metros.

La cuestión, en cualquier caso, es que estas medidas cuadran sorprendentemente bien si las tomamos como razones estrictamente numéricas relativas al número Pi y, a la vez, tomamos el número Pi a partir de una aproximación como la que nos proporciona 377/120.

Así tenemos que:

Matemáticamente lo que aquí hemos hecho resulta curioso y ya ha sido alertado por algunos matemáticos para destacar que en las medidas egipcias quizás haya algo que se nos escapa:

1) Tomamos un circulo de diámetro 1 metro, de modo que su perímetro será Pi metros

2) Dividimos este perímetro en 6 partes iguales

3) Cada una de estas partes, entonces, mide 1 codo egipcio.

Por lo tanto, hemos creado un círculo de perímetro Pi y lo hemos dividido en 6 partes, de donde sacamos geométricamente el valor del codo real. Pero esto no es todo:

Si una parte del circulo es 1 codo, entonces el resto (las otras 5 partes del perímetro) nos muestran, de nuevo, una relación áurea:

Así pues, a partir del metro como unidad fundamental podemos establecer una relación de hasta 4 dígitos de precisión entre el nº Pi, el nº áureo y el codo egipcio. Inquietante.

¡Pero hay más curiosidades!

Mi aportación en este tema, si es que se puede llamar aportación, radica en la idea de que estas casualidades se dan por el número 377 y sus relaciones ya de Fibonacci ya con los números factoriales, que son siempre múltiplos o divisores de 12. 

Así, a partir de esta idea se aprecian las siguientes relaciones factoriales:

Luego vamos al codo:

Y ahora el palmo toma esta expresión:

Y cualquiera que se haya metido un poco con teoría de números, como ya lo hizo Platón por ejemplo, sabe de lo especial que resulta ser el 7!=5040. Algunas cosas ya las comenté aquí.

Y finalmente el dedo:

Operar

Hay más cosas curiosas tomando las medidas egipcias como fruto de una proporción estrictamente matemática basada en una aproximación al valor de Pi a partir de 377/120, en vez de considerarlos, sin más, referencias antropométricas.

Tenemos la gran pirámide de Giza, cuyo lado de la base mide 440 codos y la altura 280 codos. Me he dado cuenta que esto lo podemos expresar tal que así:

Vemos como, en metros, la altura y la base se aproximan a los nº de Fibonacci 11º y 12º, mientras recordamos que el 377 es el 14º número de Fibonacci. De algún modo, pues, entre la altura y la base de la gran pirámide, tenemos dos tipos de relaciones:

1) Una mediante números primos, en concreto una relación 11/7

2) Otra mediante una aproximación a números de Fibonacci: 230,38/146,61

De modo que podemos aproximarnos hacia un cierto nexo común entre ambas relaciones:

Pero como puro juego de números vale destacar, entonces, que:

Nota: recordar que 377/120 es una aproximación al valor de Pi de modo que volvemos a darle vueltas a tal valor.

Vemos, pues, que desde una perspectiva estrictamente numérica el valor de 1,57 , en metros, parece ser un nexo común, o un punto de encuentro numérico, entre relaciones destacadas que se muestran en la gran pirámide. Y esto no dejaría de ser curioso si no fuera porqué hace 30 años el famoso egiptólogo alemán Stadelmann descubrió un piramidión cerca de la pirámide roja cuyas medidas eran: 

Lado de la base 1,57 m

Altura:1 metro

Pendiente: 51º 52'

Y por la pendiente, clavada a la de la gran pirámide de Gize, Stadelmann propuso que se trataba de su piramidión, o una especie de maqueta de ella. Pero esa conjetura se terminó allí, mientras las autoridades egipcias, en 2006, decidieron hacer un estropicio con la pieza al modificar sus medidas originales. Aquí os cuentan un poco la historia (ver)

En definitiva, ahora tenemos un indicio numérico más para identificar de algún modo ese piramidión con la gran pirámide, dado que presenta prácticamente la misma proporción entre sus lados: 1,57/1 = 11/7 = 377/240 (aprox). 

Pero hay algo más: el piramidión resulta sumamente inquietante y peculiar al observar como expresa de forma directa dos de las supuestas unidades de medida "secretas" de la gran pirámide: el metro (1 m)  y el 1,57 metros. 

Nota: 

¿Tomaron los egipcios sus medidas de estas razones geométricas o fue completamente casual?

Todas estas relaciones numéricas conllevan que muchísimas medidas egipcias coincidan muy bien midiéndolas en metros. Así se aprecia en medidas de la gran pirámide. Pero, ¿será eso casualidad o los egipcios tomaron esas medidas, hace 5.000 años, a sabiendas?

Honestamente, lo ignoro, pero si así fue tenían que haber conocido el metro y haberlo tomado como unidad de medida primordial. O dicho de otro modo, tenían que haber considerado que el diámetro de la circunferencia de perímetro Pi, a partir de la cual saca la curiosa relación entre Pi-codo-número áureo, mide 1 metro.

La historia del metro actual se remonta, para el público en general, a la revolución francesa, cuando Talleyrand busca unas medidas que no sean antropométricas, sino objetivas, y con ello implantar un sistema métrico universal. Para tal fin se empleó la distancia entre los polos y el ecuador, y se dividió en 10.000.000 partes. A cada una de ellas se le adjudicó el valor de "1 metro", estipulando así que la distancia entre el ecuador y los polos eran 10.000Km y, por consiguiente, el perímetro de la Tierra se valoraba en 40.000 Km -mientras su radio de 6.371 km.

En efecto, no deja de parecer una atribución si bien objetiva, muy arbitraria. Pero sabemos que Eratóstenes (s.IIIac), heleno que estudió y se formó en la biblioteca de Alejandría, estipuló mediante el cálculo de las sombras durante el solsticio de verano entre dos lugares distintos una aproximación bastante acurada de la curvatura terrestre; lo que ocurre que no tenemos muy claro el exacto valor en metros de sus unidades de medida -el estadio griego.

Dice la leyenda que Eratóstenes llegó a tal medida después de leer ciertos papiros en la biblioteca de Alejandría que contaban cómo en una ciudad situada a 800km de Alejandría los rayos del sol caían de forma completamente perpendicular al suelo durante el solsticio de verano. Y de esta lectura el griego dedujo que la Tierra es esférica y de aquí, luego, su perímetro, radio, etc.

La cuestión es: los egipcios sólo podían conocer el metro si conocían la distancia perimetral de la Tierra, puesto que así se definió el metro. Y si luego, además, la usaron como medida dividiéndola a consciencia para tal fin. ¿Acaso lo hicieron? Ciertamente, son muchas coincidencias y arbitrariedades con lo cual, a primera vista, me parece muy improbable. 

Sin embargo, ni sabemos si el trabajo de Eratóstenes es completamente original suyo ni conocemos lo que sabía, y ocultaba, la sumamente críptica y milenaria sabiduría egipcia -sólo apta para iniciados. 

La cuestión es, pues, ¿y si los franceses revolucionarios, con Talleyrand en cabeza, conocían ya de antemano esta unidad secreta fundamental egipcia y simplemente la bautizaron con el nombre de "metro", sacándola a la luz para goce de la humanidad entera? Sería una acción, en verdad, muy típica de la ilustración y sus ideales.

Ciertamente la relación entre los revolucionarios franceses y el mundo egipcio es íntima y muy desconocida. Por ejemplo, ¿a qué vino esa expedición militar-filantrópica de Napoleón a Egipto? 

Quizás, quizás. Quien sabe. Pero, veamos ahora algo curioso:

Si tomamos el perímetro del globo terráqueo en 40.000 km como hicieron los revolucionarios franceses, entonces el diámetro de la tierra, considerándolo una esfera perfecta, sería de unos 12.732 km. Pero ya sabemos que las medidas de la tierra pueden variar algo de siglo en siglo y, además, el perímetro ecuatorial es algo mayor que el septentrional al ser la tierra una globo achatado. El ecuatorial nos mide actualmente unos 40.075km y el perímetro de polo a polo, en cambio, unos 40.007km. 

Pues bien, tomando las medidas de la revolución como una Tierra ideal esférica e invariable es fácil hacer la siguiente aproximación, que conlleva concebir el perímetro terrestre como dividido en 4 sectores, tipo hemisferio norte occidental, hemisferio norte oriental, hemisferio sur occidental y luego el oriental. Dicha aproximación es la siguiente:

Sí, aquí hablamos de unidades porque, de momento, sólo hemos obtenido un modelo numérico en base al 377. Y lo sorprendente es que este modelo sencillo cuadra casi a la perfección, con 4 ordenes de magnitud, con otro que podemos hacer partiendo de las medidas de la gran pirámide analizada antes y nos lleva al curioso valor de 1,57:

En efecto, aún no hemos medido nada de nada y tenemos este modelo numérico idealizado como una potente herramienta de aproximación hacia la "realidad". De modo que no sabemos aún cuanto es exactamente una unidad en este modelo y a qué ya podemos llamar "metro". Falta, pues, coger un palo, cortarlo a medida y afirmar -Esto es un metro. 

Y lo que sí podemos ver con este modelo es que tomar la distancia entre el ecuador y el polo norte, para luego dividirla entre 10.000.000 de partes, sacando de semejante partición arbitraria qué es un metro, ya no resulta algo tan arbitrario. Parece haber un modelo numérico idealizado detrás en base al número 377 (y sus colegas de Fibonacci) y el número Pi, que avalaría esa decisión métrica.  

Midieron la Tierra los egipcios?

Se ha comprobado como empleando un sistema de medidas angulares mucho más preciso que el de Eratóstenes y escogiendo dos puntos del mismo meridiano cuya distancia se conozca con gran precisión, los cálculos que salen aplicando el ingenioso método de Eratóstenes indican un perímetro terrestre de 40.007 km. 

¿Podían haber alcanzado tal precisión los egipcios y con ello construir su vara métrica? Sólo cabe mirar la precisión con qué sus constructores orientaron la gran pirámide para no descartarlo para nada.

¿Existe el verdadero metro?

Galileo, con sólo 18 años, se percató de la importancia del péndulo para el mundo físico. Lo primero que advirtió fue que el período de oscilación de un péndulo no dependía ni del peso del péndulo ni de su amplitud de oscilación, sino de su longitud: cuanto más largo fuera el péndulo mayor sería el período de oscilación, que se mantendrá siempre constante.

De hecho, Galileo fue capaz de sintetizar 3 fenómenos distintos bajo una misma idea física: el movimiento del péndulo, el movimiento de un cuerpo através de un plano inclinado y la caída libre de un cuerpo. Y la idea subyacente era que la masa del objeto no determina para nada ninguno de los tres movimientos, rompiendo así con las tesis físicas aristotélicas y abriendo las puertas a la física moderna. 

Bastaron relativamente pocos años para que los pocos pensadores mecanicistas que empezaban a despuntar en occidente con su peculiar visión del mundo desarrollaran una modelación matemática sencilla pero precisa sobre las peculiaridades del péndulo, y con ello, empezaran a usarlo como base de los nuevos relojes mecánicos.

Modelo matemático del péndulo

Por tanto, el período de un péndulo, que son dos oscilaciones (desde que el péndulo empieza a caer hasta que regresa al punto inicial), depende exclusivamente del valor de Pi, la longitud del péndulo y de la aceleración de los cuerpos en caída libre, la cual más tarde Newton relacionó con la fuerza de la gravedad con que se atraen los cuerpos.

Si analizamos, pues, este modelo o expresión matemática es fácil identificar qué sería, idealmente, 1 metro: la longitud de un péndulo cuyo período es 2 cuando la aceleración coincide con  Pi cuadrado. 

En otras palabras:

¿Y cual es el valor de 1 segundo? 

Se define el segundo como 1 hora/3.600 partes. Es decir, definida la hora al dividir el día en 24 horas, y el año en 365 días, entonces se establece que un péndulo tiene un semiperíodo de 1 segundo, y se le llama péndulo de segundos, si en una hora realiza 3.600 semiperíodos, en un día 86.400 y en un año...

Dominando un poco estas ideas crear un péndulo de segundos es asequible; y el primero apareció alrededor de 1660. Sin embargo, en seguida se dieron cuenta que la aceleración natural de los cuerpos en caída no es uniforme alrededor de la Tierra. Por ejemplo, en el polo la aceleración de caída es ligeramente mayor que en el ecuador. 

Esta varianza conllevaba que hubiera distintas longitudes para el péndulo de segundos según donde estuviera colocado, si en África o Estocolmo por ejemplo, las cuales podían variar de los 0.993m -0.996 m. Tamaña inexactitud echó al traste la posibilidad de tomar el péndulo de segundos como modelo para establecer una medida precisa del metro. 

Ahora bien, vale  la pena anotar que este modelo matemático es muy peculiar porque si los usamos para establecer el valor de 1 metro, entonces Pi cuadrados pasa a ser automáticamente el valor de la aceleración de caída del péndulo.

En la actualidad, la definición de metro ha variado y la definimos como la distancia que recorre la luz (que se supone constante), en un período de tiempo de 1/299792458 segundos.

El valor de Pi cuadrado como aproximación áurea

Con la fórmula ideal del péndulo de segundos vemos que podemos aproximarla a través del 377 del siguiente modo:

Vemos, pues, como:

Y en efecto, el 987 es el número 16º de la serie de Fibonacci, siendo el 610 el 15º.

La velocidad de la luz

Hay otra curiosidad que emerge de forma más o menos natural de la geometría de estas relaciones métricas. Es la velocidad de la luz. Veámoslo:

Estamos ante una precisión en la velocidad de la luz que no se pudo superar hasta 1952. No significa eso que los egipcios tuvieran una idea técnica de la luz y la supieran dominar como llevamos haciéndolo desde hace 350 años. Pero nos abre la puerta a pensar que la velocidad de la luz se puede expresar de forma aproximada mediante Pi.

Y a modo de curiosidad me ha dado para aproximarla un poco más usando, primero el valor de pi mismo, y luego, la relación 377/120:

En fin, dejo aquí la idea de que la velocidad de la luz pueda concebirse, pues, a partir de Pi. 

EDICIÓN: 

AMPLIACIÓN (17/02/2023)

En relación a la conversación mantenida con Luís Castaño, experto en metrología y en concreto sobre el antiguo Egipto, añado esta ampliación.

Luís Castaño, en su trabajo (ver una entrevista), presenta como tesis capital que toda la metrología egipcia, y de la cual heredaron de alguna manera tantas culturas posteriores, es estrictamente antropométrica, dado que se basaría en un prototipo humano ideal de 1.80m de altura o bien, 24 palmos egipcios.

En pos de fabular una respuesta a la inquietante pregunta que nos surge de inmediato, ¿y por qué los antiguos egipcios habrían escogido, precisamente como ideal humano, un prototipo con esas medidas tan poco egipcias y no otras distintas? ¿Fue acaso casualidad, azar, capricho faraónico o habría alguna misteriosa razón detrás? Me centraré en la numerología, es decir, el juego de los números.

Vale decir que ayer presenté ya una propuesta a todas luces errónea, cuya idea base consistía en relacionar la altura de este prototipo humano con la razón áurea, gracias a la cual parecía permitir una relación entre las medidas egipcias y el metro.

Después de volverle a darle un par de vueltas al tema esta tarde, presento otra propuesta numéricamente muy curiosa. Veámosla:

Para empezar sorprende apreciar la siguiente expresión:

Altura ideal prototipo humano en medidas egipcias:  

Sorprende ver como mediante el 377 obtenemos una expresión muy "limpia" de esta altura ideal. Sin embargo, no parece que podamos movernos mucho buscando relaciones.

Ahora bien, si tomamos como aceptable la siguiente aproximación, o mejor dicho "ajuste", entonces podemos hacer cosas interesantes:

1º  378/210 = 1.80 , exacto, dado que: 

Es decir, da un valor exacto (en un sistema decimal como el nuestro o el egipcio) al contrario que 377/210. En tal sentido, a nivel práctico es mejor traducir 24 palmos por 378/210 que por 377/210 si queremos valorarlo en metros. Además, añadir, que este ajuste me ha salido en varios procedimientos distintos, que no apunto aquí para no emborronar el texto; de modo que me inclino a pensar que es un ajuste bastante "natural". 

Y ahora empieza el juego. 

Tomar la altura del prototipo humano como 9/5 nos permite establecer dos tipos de segmetaciones o relaciones con la unidad en esencia equivalentes: una de primal y otra de pitagórica, en las cuales aparece de forma natural la unidad métrica.

¿Por qué dos tipos de relaciones equivalentes? Porque surgen de esta identidad:

a) En la primera uno de los segmentos es directamente la unidad, es decir el metro:

b) En la segunda la segmentación toma una relación pitagórica:

 

En resumen:

A partir de medidas estrictamente egipcias es numéricamente factible ajustarlas a medidas métricas con las cuales el prototipo humano de 24 palmos adquiere un tipo de relaciones básicas que se pueden expresar de forma ya primal como pitagórica, al tiempo que definen la unidad métrica, es decir, el metro. 

Artículo siguiente: el metro como unidad de medida del alma humana

 

 

¿Cómo las máquinas y computadoras ven el infinito?

 Ya he hablado varias veces sobre mi amigo Cantor en el blog. Y mi inquietud es: 

¿Por qué a lo largo del s.XX y XXI se  han tomado en serio sus trabajos sobre el infinito?

Ante semejante pregunta cualquiera me podría esgrimir simplonamente y con menosprecio: -pues, porqué sus tesis se demostraron-. Por supuesto no estoy de acuerdo.

En matemáticas, a diferencia de las ciencias naturales donde nunca se demuestra nada, hay 3 formas para demostrar una afirmación: 

1) Mediante un ejemplo, o bien un contraejemplo que confirmen o refuten la afirmación.

2) Por inducción, es decir, identificando como tal afirmación se sigue de una ley o regularidad  matemática establecida. 

3) Por reducción al absurdo: se supone al principio que la afirmación es cierta/falsa, se buscan las consecuencias e implicaciones de ello hasta que se alcanza una contradicción, con lo cual lo cierto es lo contrario de lo que se había supuesto al principio.

Las demostraciones de Cantor usan la forma 2 y 3. Lo cuento:

Cantor siempre empieza estableciendo una suposición inicial para un caso concreto "a", deriva sus implicaciones hasta constatar que se produce una contradicción y por tanto, que para tal caso la suposición inicial no puede ser cierta. 

Luego, por inducción, Cantor constata que también sucede lo mismo para el caso siguiente "a+1", y para el siguiente "a+2", y también el siguiente "a+3"... Y de tal modo se constata que así sucederá para todo caso posible: "a+n", siendo n un número natural cualquiera.   

Un ejemplo de ello lo tenemos en el famosísimo teorema de Cantor, base de toda la teoría de conjuntos  y que fundamenta la computación.

De manera informal el teorema dice:

Tenemos un conjunto formado por un número finito "a" de elementos. Por ejemplo, tenemos el conjunto finito "números naturales hasta el número 3"; lo llamamos A={1,2,3}

Este conjunto tiene "asociado" su conjunto potencia, P(A), que se define como el conjunto de todos sus subconjuntos posibles, o dicho de otro modo, como el conjunto de todas las posibles relaciones entre sus elementos.  Aquí tenemos los subconjuntos:

Aa={0}

Ab={1} 

Ac={2}

Ad={3}

Ae={1,2}

Af={1,3}

Ag={2,3}

Ah={1,2,3}

El conjunto potencia de A será, pues, P(A)={{0},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} ¡Tiene 8 elementos!

Cantor demuestra como resulta contradictorio defender que un conjunto de 3 elementos sea mayor que su conjunto potencia; que luego también resulta absurdo afirmar que un conjunto de 4 elementos sea mayor que su conjunto potencia; y así también con uno de 5 elementos, 6.... o mil trillones de elementos.  Es decir, demuestra que para un conjunto con un número finito cualquiera de elementos siempre será absurdo afirmar que sea mayor que su conjunto potencia.

Hasta aquí, matemáticamente hablando, no le veo mucho problema a la demostración de Cantor. El dilema sobreviene cuando se aprecia cómo de este resultado Cantor lo extrapola al infinito ¡Hace un salto trascendental! Es decir, pasa de considerar un conjunto finito, aunque con cualquier número finito de elementos, a un conjunto de infinitos elementos. Y con ello "descubre" por primera vez que habría infinitos mayores que otros.

Entiendo que tamaño salto o no se puede hacer matemáticas, o al menos, que es posible desarrollar una matemáticas coherentes y fructíferas sin tales saltos. 

El salto de Cantor

Confieso que me tiene fascinado este salto trascendental que hace Cantor. En especial porque es un ejemplo de puesta en escena en el teatro matemático de una vieja idea filosófica: Cantor aplica, sin más, el idealismo hegeliano en el campo de los conjuntos, y a las matemáticas en general. Y los que hemos leído un poco de filosofía recordamos cómo contra esta idea hegeliana de tratar lo infinito como la síntesis inductiva de todo lo finito ya se había levantado con furia desbocada Schopenhauer, maestro de todos los pensadores intuitivos de finales del s.XIX y principios del XX. 

"Un charlatán tan soporífero como Hegel pasa por un gran filósofo. Ahí está la filosofía alemana sirviendo de burla a los extranjeros, rechazada por los verdaderos sabios, como una ramera que, por vil precio, hoy se vende a uno, mañana a otro, y los cerebros de la actual generación de estudiosos, desorganizados por los absurdos de Hegel; incapacitados para pensar, incultos y atontados, presa del vulgar materialismo, que ha brotado del huevo del basilisco. ¡Buen provecho! Y vuelvo a mi asunto" —Schopenhauer, La cuádruple raíz del principio de razón suficiente", Prólogo (escrito tardíamente en 1847).

Aquí Cantor, pues, razona del siguiente modo: Si para un conjunto de 1 elemento se cumple que debe de ser menor que su conjunto potencia, y lo mismo tiene que suceder para un conjunto de 2 elementos, y para uno de 3, 10, un millón o cualquier otro conjunto por mayor que pensemos, entonces así será siempre y para todos los infinitos conjuntos finitos posibles. 

De modo que, sigue razonando Cantor, si los infinitos conjuntos finitos posibles cumplen la inducción también lo hará el conjunto infinito que los contiene, los refleja y representa a todos a la vez como si fuera un huevo de basilisco. Y sí, esto es un razonamiento hegeliano.

Y con tal razonamiento Hilbert sonríe satisfecho porque con Cantor se puede intentar desarrollar su idealismo matemático (el finitismo), mientras los matemáticos más intuitivos se horrorizan y lo tachan de cháchara teológica.

De lo finito a lo infinito

Toda la metafísica occidental va de pasar de lo finito a lo infinito, y viceversa. Resulta fácil y habitual concebir lo infinito como lo absoluto, es decir, como el conjunto de todo lo finitamente posible. Por ejemplo así hacemos con el conjunto de los números naturales: 

-A partir de la unidad (el 1) todos los números naturales posibles son siempre números finitos, por muy grandes que sean. 

-No hay un número natural último, dado que a cualquier número natural por mayor que sea siempre se le puede añadir un uno más.

-Por tanto pasamos a pensar que hay infinitos números naturales, es decir, solemos concebir los números naturales como un TODO (algo absoluto) de infinitos elementos finitos.

De tal guisa concebimos de forma rudimentaria los números naturales como un conjunto (un Todo) ordenado de infinitos elementos. Con ello, al menos a nivel psicológico, ya se gestiona lo infinito como un número, como un conjunto, como "algo" que contiene a todos los números naturales en su seno.

Cantor pasa olímpicamente de la idea de límite al infinito

Ya he comentado muchas veces como desde la madurez de Platón, en matemáticas, el infinito se concibió, ya no como una cantidad o la propiedad de una entidad, sino como una potencialidad: un poder acercarse o crecer tanto como se quiera. Nada más.

Cantor se olvida por completo de esta idea. Hecho es, que mediante la idea de límite al infinito ya hace un par de años (ver) no me costó nada demostrar como el teorema de Cantor no se puede aplicar a conjuntos infinitos, por ejemplo al conjunto de los naturales. Aplicando la idea de "límite al infinito" la inducción hace aguas por doquier; pues la contradicción sobre la cual Cantor articula su teorema queda disuelta por la propia fuerza del límite al infinito.

En resumen, las demostraciones de  Cantor atentan contra las ideas básicas que articulan la teoría de límites y el cálculo infinitesimal. Pero, ¿es esto realmente un problema para las matemáticas?

¿Por qué se tomó en serio el trabajo de Cantor?

Al principio, por la promoción que le propició Hilbert, un matemático sumamente influyente a principios del s.XX. 

Hilbert vio en Cantor la luz para alcanzar su soñado finitismo, es decir, para convertir las matemáticas, y el conocimiento en general, en un mero mecano-lógico basado en una simple tautología fundamental. 

Pero años más tarde porque el finitismo se mostró como la forma matemática más manejable para desarrollar la computación. De hecho, la base de los primeros teoremas de la computación son, en no poca medida, los trabajos de Cantor. De modo que estos teoremas adquirían estatus de verdades demostradas, simplemente porque hacían posible a nivel teórico el nuevo mundo de la computación que ha terminado dominando nuestra sociedad. 

¿Cómo ven el infinito las máquinas y computadoras? 

La peculiaridad de las máquinas computacionales, su forma de procesar datos, es en esencia finitista. Las máquinas no tienen imaginación, ni sensualidad irracional, ni tampoco se ven dominadas en silencio por las expectativas; además de mostrarse muy torpes tratando lo contradictorio, como se manifiesta en el problema de la parada: ¡Ante una contradicción se "cuelgan" sin más y ya está! Nuestra mente, en cambio, está fuertemente habituada a vivir en medio de tan grandes salvajadas ¡Si tiene que obviar, manipular y tergiversar de algún modo las contradicciones para seguir andando lo hace sin miedos! Y de aquí nuestra creatividad característica. 

Por ejemplo, una máquina es incapaz de inventarse un tipo de magia conceptual como la que se saca de la manga Euler en su "Análisis Infinitorum" con sus "cantidades tan grandes o pequeñas como queramos".  

En tal sentido, como ya vimos el otro día (ver), para una máquina el número 0,999999... no puede ser jamás 1 porque de los infinitos números decimales finitos posibles del tipo 0,999...9 ninguno es nunca 1, de modo que por inducción 0,99999... tampoco lo puede ser. Ahora bien, desde una óptica intuitiva no hay problema en igualar 1= 0,99999.... Del mismo modo que no hay problema en gestionar una suma de Cesàro ¡O los sumatorios de Ramanujan! 

Distintas matemáticas

Después de todo este tiempo reflexionado sobre tan raros y exclusivos temas voy formando la siguiente idea al respecto: 

Es posible desarrollar dos tipos de matemáticas, por así decirlo: 

a) Una de computacional, finitista, lógico-mecanicista y por tanto, que siga las directrices de Cantor, con todas sus limitaciones demostrativas (teoremas de incompletitud de Gödel, de parada, teoría de modelos, etc) y  sus especificidades.

b) Otra de intuitiva y creativa que toma el infinito como una potencialidad, incluso como un movimiento y por tanto, como algo que ni es lógico o estructurado ni tampoco contradictorio y absurdo, sino otra cosa distinta. A fin de cuentas el infinito, visto como límite y potencialidad, suele disolver todo absurdo y contradicción que se da en lo finito.