377

Artículo ampliado el 17/02/23

Artículo siguiente: el metro como unidad del alma humana

A veces en matemáticas hablamos de números especiales por presentar unas propiedades muy particulares, así el 0 o 1, como unidad; o los números primos, los triangulares o los de Fibonacci.

Incluso números aparentemente sosos e intranscendentes se vuelven, para una mente matemática superba, sumamente singulares; como así nos lo recuerda esa anécdota de Hardy visitando a Ramanujan, ya muy enfermo, donde le decía: he venido con un taxi cuyo número no tenía nada de especial; el 1729. 

Entonces Ramanujan le contestó: “No diga usted eso. El número 1729 es muy especial, pues es el número más pequeño expresable como suma de dos cubos de dos maneras diferentes, ya que 1729 = 1³ + 12³ y también 1729 = 9³ + 10³. ” Y de tal forma surgieron los números taxicab.

Es relativamente fácil tomar un número cualquiera y encontrar un montón de relaciones curiosas y, a veces, sorprendentes. Pero hacer esto mismo con el 377 parece ser asombroso.

El 377 es el nº 14 de la serie de fibonacci; de modo que 377 = 144+233, siendo como es sabido el 144= 12 x 12.

Lista de nº de Fibonacci

Lo curioso de este número compuesto, pues 377=13·29, es que parece tener una relación especial precisamente con el número 12, y sus múltiplos. 

Para empezar basta dividir 377 entre 12 y apreciar ya en seguida una relación impactante:

Al ver esto uno piensa y fantasea con la idea de que un pueblo antiguo podría haber tomado esta relación geométrica sencilla como aproximación útil al nº Pi. Por ejemplo los antiguos egipcios, cuyas medidas fueron referencia para muchas culturas posteriores; incluso, quizás, para la nuestra. 

Pero siendo el 377 un número de Fibonacci tenemos, además de Pi, otras relaciones con otro número especial: 

1) Si lo dividimos entre 233 (número de Fibonacci 13º) obtenemos una aproximación hacia:

2) Si lo dividimos entre 144 (número de Fibonacci 12º)obtenemos:

3) Si lo dividimos entre 610 (número de Fibonacci 15º =233+377) obtenemos:

Nota: El número áureo es muy peculiar; muestra relaciones singulares consigo mismo al ser la única solución real a la siguiente ecuación de segundo grado:

 

Estas relaciones de Fibonacci nos permiten establecer otra más al tomar que el nº áureo al cuadrado menos el propio número áureo nos da 1:

Esto me ha sorprendido al verlo, pero la verdad, siguiendo la serie de Fibonacci a través de su ecuación se aprecia lo fácil de establecer la siguiente serie de aproximación a 1:

Y de esta serie podemos también sacar la siguiente relación:

En definitiva, el 377 es un número especial: es capaz de darnos una relación aproximada de hasta 4 dígitos entre dos de los números más importantes en matemáticas: el número Pi i el número áureo.

Sistema de pesos y medidas egipcio

El sistema de medida egipcio se articulaba sobre una unidad fundamental llamada codo (0,5236 m): 

1 codo real eran 7 palmos (o manos) y un palmo 4 dedos.

A primera vista parece un sistema completamente antropométrico sin ninguna peculiaridad matemática, dado que codo, palmo y dedo parecen hacer referencia a partes del cuerpo humano. He visto algún trabajo interesante defendiéndolo y trabajando sobre tal suposición. Ciertamente, tomando los nombres como evidencias parece tener fundamento, aunque para que alguien tenga un "codo" de 0,5236 metros debe medir más de 1,90 metros.

La cuestión, en cualquier caso, es que estas medidas cuadran sorprendentemente bien si las tomamos como razones estrictamente numéricas relativas al número Pi y, a la vez, tomamos el número Pi a partir de una aproximación como la que nos proporciona 377/120.

Así tenemos que:

Matemáticamente lo que aquí hemos hecho resulta curioso y ya ha sido alertado por algunos matemáticos para destacar que en las medidas egipcias quizás haya algo que se nos escapa:

1) Tomamos un circulo de diámetro 1 metro, de modo que su perímetro será Pi metros

2) Dividimos este perímetro en 6 partes iguales

3) Cada una de estas partes, entonces, mide 1 codo egipcio.

Por lo tanto, hemos creado un círculo de perímetro Pi y lo hemos dividido en 6 partes, de donde sacamos geométricamente el valor del codo real. Pero esto no es todo:

Si una parte del circulo es 1 codo, entonces el resto (las otras 5 partes del perímetro) nos muestran, de nuevo, una relación áurea:

Así pues, a partir del metro como unidad fundamental podemos establecer una relación de hasta 4 dígitos de precisión entre el nº Pi, el nº áureo y el codo egipcio. Inquietante.

¡Pero hay más curiosidades!

Mi aportación en este tema, si es que se puede llamar aportación, radica en la idea de que estas casualidades se dan por el número 377 y sus relaciones ya de Fibonacci ya con los números factoriales, que son siempre múltiplos o divisores de 12. 

Así, a partir de esta idea se aprecian las siguientes relaciones factoriales:

Luego vamos al codo:

Y ahora el palmo toma esta expresión:

Y cualquiera que se haya metido un poco con teoría de números, como ya lo hizo Platón por ejemplo, sabe de lo especial que resulta ser el 7!=5040. Algunas cosas ya las comenté aquí.

Y finalmente el dedo:

Operar

Hay más cosas curiosas tomando las medidas egipcias como fruto de una proporción estrictamente matemática basada en una aproximación al valor de Pi a partir de 377/120, en vez de considerarlos, sin más, referencias antropométricas.

Tenemos la gran pirámide de Giza, cuyo lado de la base mide 440 codos y la altura 280 codos. Me he dado cuenta que esto lo podemos expresar tal que así:

Vemos como, en metros, la altura y la base se aproximan a los nº de Fibonacci 11º y 12º, mientras recordamos que el 377 es el 14º número de Fibonacci. De algún modo, pues, entre la altura y la base de la gran pirámide, tenemos dos tipos de relaciones:

1) Una mediante números primos, en concreto una relación 11/7

2) Otra mediante una aproximación a números de Fibonacci: 230,38/146,61

De modo que podemos aproximarnos hacia un cierto nexo común entre ambas relaciones:

Pero como puro juego de números vale destacar, entonces, que:

Nota: recordar que 377/120 es una aproximación al valor de Pi de modo que volvemos a darle vueltas a tal valor.

Vemos, pues, que desde una perspectiva estrictamente numérica el valor de 1,57 , en metros, parece ser un nexo común, o un punto de encuentro numérico, entre relaciones destacadas que se muestran en la gran pirámide. Y esto no dejaría de ser curioso si no fuera porqué hace 30 años el famoso egiptólogo alemán Stadelmann descubrió un piramidión cerca de la pirámide roja cuyas medidas eran: 

Lado de la base 1,57 m

Altura:1 metro

Pendiente: 51º 52'

Y por la pendiente, clavada a la de la gran pirámide de Gize, Stadelmann propuso que se trataba de su piramidión, o una especie de maqueta de ella. Pero esa conjetura se terminó allí, mientras las autoridades egipcias, en 2006, decidieron hacer un estropicio con la pieza al modificar sus medidas originales. Aquí os cuentan un poco la historia (ver)

En definitiva, ahora tenemos un indicio numérico más para identificar de algún modo ese piramidión con la gran pirámide, dado que presenta prácticamente la misma proporción entre sus lados: 1,57/1 = 11/7 = 377/240 (aprox). 

Pero hay algo más: el piramidión resulta sumamente inquietante y peculiar al observar como expresa de forma directa dos de las supuestas unidades de medida "secretas" de la gran pirámide: el metro (1 m)  y el 1,57 metros. 

Nota: 

¿Tomaron los egipcios sus medidas de estas razones geométricas o fue completamente casual?

Todas estas relaciones numéricas conllevan que muchísimas medidas egipcias coincidan muy bien midiéndolas en metros. Así se aprecia en medidas de la gran pirámide. Pero, ¿será eso casualidad o los egipcios tomaron esas medidas, hace 5.000 años, a sabiendas?

Honestamente, lo ignoro, pero si así fue tenían que haber conocido el metro y haberlo tomado como unidad de medida primordial. O dicho de otro modo, tenían que haber considerado que el diámetro de la circunferencia de perímetro Pi, a partir de la cual saca la curiosa relación entre Pi-codo-número áureo, mide 1 metro.

La historia del metro actual se remonta, para el público en general, a la revolución francesa, cuando Talleyrand busca unas medidas que no sean antropométricas, sino objetivas, y con ello implantar un sistema métrico universal. Para tal fin se empleó la distancia entre los polos y el ecuador, y se dividió en 10.000.000 partes. A cada una de ellas se le adjudicó el valor de "1 metro", estipulando así que la distancia entre el ecuador y los polos eran 10.000Km y, por consiguiente, el perímetro de la Tierra se valoraba en 40.000 Km -mientras su radio de 6.371 km.

En efecto, no deja de parecer una atribución si bien objetiva, muy arbitraria. Pero sabemos que Eratóstenes (s.IIIac), heleno que estudió y se formó en la biblioteca de Alejandría, estipuló mediante el cálculo de las sombras durante el solsticio de verano entre dos lugares distintos una aproximación bastante acurada de la curvatura terrestre; lo que ocurre que no tenemos muy claro el exacto valor en metros de sus unidades de medida -el estadio griego.

Dice la leyenda que Eratóstenes llegó a tal medida después de leer ciertos papiros en la biblioteca de Alejandría que contaban cómo en una ciudad situada a 800km de Alejandría los rayos del sol caían de forma completamente perpendicular al suelo durante el solsticio de verano. Y de esta lectura el griego dedujo que la Tierra es esférica y de aquí, luego, su perímetro, radio, etc.

La cuestión es: los egipcios sólo podían conocer el metro si conocían la distancia perimetral de la Tierra, puesto que así se definió el metro. Y si luego, además, la usaron como medida dividiéndola a consciencia para tal fin. ¿Acaso lo hicieron? Ciertamente, son muchas coincidencias y arbitrariedades con lo cual, a primera vista, me parece muy improbable. 

Sin embargo, ni sabemos si el trabajo de Eratóstenes es completamente original suyo ni conocemos lo que sabía, y ocultaba, la sumamente críptica y milenaria sabiduría egipcia -sólo apta para iniciados. 

La cuestión es, pues, ¿y si los franceses revolucionarios, con Talleyrand en cabeza, conocían ya de antemano esta unidad secreta fundamental egipcia y simplemente la bautizaron con el nombre de "metro", sacándola a la luz para goce de la humanidad entera? Sería una acción, en verdad, muy típica de la ilustración y sus ideales.

Ciertamente la relación entre los revolucionarios franceses y el mundo egipcio es íntima y muy desconocida. Por ejemplo, ¿a qué vino esa expedición militar-filantrópica de Napoleón a Egipto? 

Quizás, quizás. Quien sabe. Pero, veamos ahora algo curioso:

Si tomamos el perímetro del globo terráqueo en 40.000 km como hicieron los revolucionarios franceses, entonces el diámetro de la tierra, considerándolo una esfera perfecta, sería de unos 12.732 km. Pero ya sabemos que las medidas de la tierra pueden variar algo de siglo en siglo y, además, el perímetro ecuatorial es algo mayor que el septentrional al ser la tierra una globo achatado. El ecuatorial nos mide actualmente unos 40.075km y el perímetro de polo a polo, en cambio, unos 40.007km. 

Pues bien, tomando las medidas de la revolución como una Tierra ideal esférica e invariable es fácil hacer la siguiente aproximación, que conlleva concebir el perímetro terrestre como dividido en 4 sectores, tipo hemisferio norte occidental, hemisferio norte oriental, hemisferio sur occidental y luego el oriental. Dicha aproximación es la siguiente:

Sí, aquí hablamos de unidades porque, de momento, sólo hemos obtenido un modelo numérico en base al 377. Y lo sorprendente es que este modelo sencillo cuadra casi a la perfección, con 4 ordenes de magnitud, con otro que podemos hacer partiendo de las medidas de la gran pirámide analizada antes y nos lleva al curioso valor de 1,57:

En efecto, aún no hemos medido nada de nada y tenemos este modelo numérico idealizado como una potente herramienta de aproximación hacia la "realidad". De modo que no sabemos aún cuanto es exactamente una unidad en este modelo y a qué ya podemos llamar "metro". Falta, pues, coger un palo, cortarlo a medida y afirmar -Esto es un metro. 

Y lo que sí podemos ver con este modelo es que tomar la distancia entre el ecuador y el polo norte, para luego dividirla entre 10.000.000 de partes, sacando de semejante partición arbitraria qué es un metro, ya no resulta algo tan arbitrario. Parece haber un modelo numérico idealizado detrás en base al número 377 (y sus colegas de Fibonacci) y el número Pi, que avalaría esa decisión métrica.  

Midieron la Tierra los egipcios?

Se ha comprobado como empleando un sistema de medidas angulares mucho más preciso que el de Eratóstenes y escogiendo dos puntos del mismo meridiano cuya distancia se conozca con gran precisión, los cálculos que salen aplicando el ingenioso método de Eratóstenes indican un perímetro terrestre de 40.007 km. 

¿Podían haber alcanzado tal precisión los egipcios y con ello construir su vara métrica? Sólo cabe mirar la precisión con qué sus constructores orientaron la gran pirámide para no descartarlo para nada.

¿Existe el verdadero metro?

Galileo, con sólo 18 años, se percató de la importancia del péndulo para el mundo físico. Lo primero que advirtió fue que el período de oscilación de un péndulo no dependía ni del peso del péndulo ni de su amplitud de oscilación, sino de su longitud: cuanto más largo fuera el péndulo mayor sería el período de oscilación, que se mantendrá siempre constante.

De hecho, Galileo fue capaz de sintetizar 3 fenómenos distintos bajo una misma idea física: el movimiento del péndulo, el movimiento de un cuerpo através de un plano inclinado y la caída libre de un cuerpo. Y la idea subyacente era que la masa del objeto no determina para nada ninguno de los tres movimientos, rompiendo así con las tesis físicas aristotélicas y abriendo las puertas a la física moderna. 

Bastaron relativamente pocos años para que los pocos pensadores mecanicistas que empezaban a despuntar en occidente con su peculiar visión del mundo desarrollaran una modelación matemática sencilla pero precisa sobre las peculiaridades del péndulo, y con ello, empezaran a usarlo como base de los nuevos relojes mecánicos.

Modelo matemático del péndulo

Por tanto, el período de un péndulo, que son dos oscilaciones (desde que el péndulo empieza a caer hasta que regresa al punto inicial), depende exclusivamente del valor de Pi, la longitud del péndulo y de la aceleración de los cuerpos en caída libre, la cual más tarde Newton relacionó con la fuerza de la gravedad con que se atraen los cuerpos.

Si analizamos, pues, este modelo o expresión matemática es fácil identificar qué sería, idealmente, 1 metro: la longitud de un péndulo cuyo período es 2 cuando la aceleración coincide con  Pi cuadrado. 

En otras palabras:

¿Y cual es el valor de 1 segundo? 

Se define el segundo como 1 hora/3.600 partes. Es decir, definida la hora al dividir el día en 24 horas, y el año en 365 días, entonces se establece que un péndulo tiene un semiperíodo de 1 segundo, y se le llama péndulo de segundos, si en una hora realiza 3.600 semiperíodos, en un día 86.400 y en un año...

Dominando un poco estas ideas crear un péndulo de segundos es asequible; y el primero apareció alrededor de 1660. Sin embargo, en seguida se dieron cuenta que la aceleración natural de los cuerpos en caída no es uniforme alrededor de la Tierra. Por ejemplo, en el polo la aceleración de caída es ligeramente mayor que en el ecuador. 

Esta varianza conllevaba que hubiera distintas longitudes para el péndulo de segundos según donde estuviera colocado, si en África o Estocolmo por ejemplo, las cuales podían variar de los 0.993m -0.996 m. Tamaña inexactitud echó al traste la posibilidad de tomar el péndulo de segundos como modelo para establecer una medida precisa del metro. 

Ahora bien, vale  la pena anotar que este modelo matemático es muy peculiar porque si los usamos para establecer el valor de 1 metro, entonces Pi cuadrados pasa a ser automáticamente el valor de la aceleración de caída del péndulo.

En la actualidad, la definición de metro ha variado y la definimos como la distancia que recorre la luz (que se supone constante), en un período de tiempo de 1/299792458 segundos.

El valor de Pi cuadrado como aproximación áurea

Con la fórmula ideal del péndulo de segundos vemos que podemos aproximarla a través del 377 del siguiente modo:

Vemos, pues, como:

Y en efecto, el 987 es el número 16º de la serie de Fibonacci, siendo el 610 el 15º.

La velocidad de la luz

Hay otra curiosidad que emerge de forma más o menos natural de la geometría de estas relaciones métricas. Es la velocidad de la luz. Veámoslo:

Estamos ante una precisión en la velocidad de la luz que no se pudo superar hasta 1952. No significa eso que los egipcios tuvieran una idea técnica de la luz y la supieran dominar como llevamos haciéndolo desde hace 350 años. Pero nos abre la puerta a pensar que la velocidad de la luz se puede expresar de forma aproximada mediante Pi.

Y a modo de curiosidad me ha dado para aproximarla un poco más usando, primero el valor de pi mismo, y luego, la relación 377/120:

En fin, dejo aquí la idea de que la velocidad de la luz pueda concebirse, pues, a partir de Pi. 

EDICIÓN: 

AMPLIACIÓN (17/02/2023)

En relación a la conversación mantenida con Luís Castaño, experto en metrología y en concreto sobre el antiguo Egipto, añado esta ampliación.

Luís Castaño, en su trabajo (ver una entrevista), presenta como tesis capital que toda la metrología egipcia, y de la cual heredaron de alguna manera tantas culturas posteriores, es estrictamente antropométrica, dado que se basaría en un prototipo humano ideal de 1.80m de altura o bien, 24 palmos egipcios.

En pos de fabular una respuesta a la inquietante pregunta que nos surge de inmediato, ¿y por qué los antiguos egipcios habrían escogido, precisamente como ideal humano, un prototipo con esas medidas tan poco egipcias y no otras distintas? ¿Fue acaso casualidad, azar, capricho faraónico o habría alguna misteriosa razón detrás? Me centraré en la numerología, es decir, el juego de los números.

Vale decir que ayer presenté ya una propuesta a todas luces errónea, cuya idea base consistía en relacionar la altura de este prototipo humano con la razón áurea, gracias a la cual parecía permitir una relación entre las medidas egipcias y el metro.

Después de volverle a darle un par de vueltas al tema esta tarde, presento otra propuesta numéricamente muy curiosa. Veámosla:

Para empezar sorprende apreciar la siguiente expresión:

Altura ideal prototipo humano en medidas egipcias:  

Sorprende ver como mediante el 377 obtenemos una expresión muy "limpia" de esta altura ideal. Sin embargo, no parece que podamos movernos mucho buscando relaciones.

Ahora bien, si tomamos como aceptable la siguiente aproximación, o mejor dicho "ajuste", entonces podemos hacer cosas interesantes:

1º  378/210 = 1.80 , exacto, dado que: 

Es decir, da un valor exacto (en un sistema decimal como el nuestro o el egipcio) al contrario que 377/210. En tal sentido, a nivel práctico es mejor traducir 24 palmos por 378/210 que por 377/210 si queremos valorarlo en metros. Además, añadir, que este ajuste me ha salido en varios procedimientos distintos, que no apunto aquí para no emborronar el texto; de modo que me inclino a pensar que es un ajuste bastante "natural". 

Y ahora empieza el juego. 

Tomar la altura del prototipo humano como 9/5 nos permite establecer dos tipos de segmetaciones o relaciones con la unidad en esencia equivalentes: una de primal y otra de pitagórica, en las cuales aparece de forma natural la unidad métrica.

¿Por qué dos tipos de relaciones equivalentes? Porque surgen de esta identidad:

a) En la primera uno de los segmentos es directamente la unidad, es decir el metro:

b) En la segunda la segmentación toma una relación pitagórica:

 

En resumen:

A partir de medidas estrictamente egipcias es numéricamente factible ajustarlas a medidas métricas con las cuales el prototipo humano de 24 palmos adquiere un tipo de relaciones básicas que se pueden expresar de forma ya primal como pitagórica, al tiempo que definen la unidad métrica, es decir, el metro. 

Artículo siguiente: el metro como unidad de medida del alma humana

 

 

¿Cómo las máquinas y computadoras ven el infinito?

 Ya he hablado varias veces sobre mi amigo Cantor en el blog. Y mi inquietud es: 

¿Por qué a lo largo del s.XX y XXI se  han tomado en serio sus trabajos sobre el infinito?

Ante semejante pregunta cualquiera me podría esgrimir simplonamente y con menosprecio: -pues, porqué sus tesis se demostraron-. Por supuesto no estoy de acuerdo.

En matemáticas, a diferencia de las ciencias naturales donde nunca se demuestra nada, hay 3 formas para demostrar una afirmación: 

1) Mediante un ejemplo, o bien un contraejemplo que confirmen o refuten la afirmación.

2) Por inducción, es decir, identificando como tal afirmación se sigue de una ley o regularidad  matemática establecida. 

3) Por reducción al absurdo: se supone al principio que la afirmación es cierta/falsa, se buscan las consecuencias e implicaciones de ello hasta que se alcanza una contradicción, con lo cual lo cierto es lo contrario de lo que se había supuesto al principio.

Las demostraciones de Cantor usan la forma 2 y 3. Lo cuento:

Cantor siempre empieza estableciendo una suposición inicial para un caso concreto "a", deriva sus implicaciones hasta constatar que se produce una contradicción y por tanto, que para tal caso la suposición inicial no puede ser cierta. 

Luego, por inducción, Cantor constata que también sucede lo mismo para el caso siguiente "a+1", y para el siguiente "a+2", y también el siguiente "a+3"... Y de tal modo se constata que así sucederá para todo caso posible: "a+n", siendo n un número natural cualquiera.   

Un ejemplo de ello lo tenemos en el famosísimo teorema de Cantor, base de toda la teoría de conjuntos  y que fundamenta la computación.

De manera informal el teorema dice:

Tenemos un conjunto formado por un número finito "a" de elementos. Por ejemplo, tenemos el conjunto finito "números naturales hasta el número 3"; lo llamamos A={1,2,3}

Este conjunto tiene "asociado" su conjunto potencia, P(A), que se define como el conjunto de todos sus subconjuntos posibles, o dicho de otro modo, como el conjunto de todas las posibles relaciones entre sus elementos.  Aquí tenemos los subconjuntos:

Aa={0}

Ab={1} 

Ac={2}

Ad={3}

Ae={1,2}

Af={1,3}

Ag={2,3}

Ah={1,2,3}

El conjunto potencia de A será, pues, P(A)={{0},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} ¡Tiene 8 elementos!

Cantor demuestra como resulta contradictorio defender que un conjunto de 3 elementos sea mayor que su conjunto potencia; que luego también resulta absurdo afirmar que un conjunto de 4 elementos sea mayor que su conjunto potencia; y así también con uno de 5 elementos, 6.... o mil trillones de elementos.  Es decir, demuestra que para un conjunto con un número finito cualquiera de elementos siempre será absurdo afirmar que sea mayor que su conjunto potencia.

Hasta aquí, matemáticamente hablando, no le veo mucho problema a la demostración de Cantor. El dilema sobreviene cuando se aprecia cómo de este resultado Cantor lo extrapola al infinito ¡Hace un salto trascendental! Es decir, pasa de considerar un conjunto finito, aunque con cualquier número finito de elementos, a un conjunto de infinitos elementos. Y con ello "descubre" por primera vez que habría infinitos mayores que otros.

Entiendo que tamaño salto o no se puede hacer matemáticas, o al menos, que es posible desarrollar una matemáticas coherentes y fructíferas sin tales saltos. 

El salto de Cantor

Confieso que me tiene fascinado este salto trascendental que hace Cantor. En especial porque es un ejemplo de puesta en escena en el teatro matemático de una vieja idea filosófica: Cantor aplica, sin más, el idealismo hegeliano en el campo de los conjuntos, y a las matemáticas en general. Y los que hemos leído un poco de filosofía recordamos cómo contra esta idea hegeliana de tratar lo infinito como la síntesis inductiva de todo lo finito ya se había levantado con furia desbocada Schopenhauer, maestro de todos los pensadores intuitivos de finales del s.XIX y principios del XX. 

"Un charlatán tan soporífero como Hegel pasa por un gran filósofo. Ahí está la filosofía alemana sirviendo de burla a los extranjeros, rechazada por los verdaderos sabios, como una ramera que, por vil precio, hoy se vende a uno, mañana a otro, y los cerebros de la actual generación de estudiosos, desorganizados por los absurdos de Hegel; incapacitados para pensar, incultos y atontados, presa del vulgar materialismo, que ha brotado del huevo del basilisco. ¡Buen provecho! Y vuelvo a mi asunto" —Schopenhauer, La cuádruple raíz del principio de razón suficiente", Prólogo (escrito tardíamente en 1847).

Aquí Cantor, pues, razona del siguiente modo: Si para un conjunto de 1 elemento se cumple que debe de ser menor que su conjunto potencia, y lo mismo tiene que suceder para un conjunto de 2 elementos, y para uno de 3, 10, un millón o cualquier otro conjunto por mayor que pensemos, entonces así será siempre y para todos los infinitos conjuntos finitos posibles. 

De modo que, sigue razonando Cantor, si los infinitos conjuntos finitos posibles cumplen la inducción también lo hará el conjunto infinito que los contiene, los refleja y representa a todos a la vez como si fuera un huevo de basilisco. Y sí, esto es un razonamiento hegeliano.

Y con tal razonamiento Hilbert sonríe satisfecho porque con Cantor se puede intentar desarrollar su idealismo matemático (el finitismo), mientras los matemáticos más intuitivos se horrorizan y lo tachan de cháchara teológica.

De lo finito a lo infinito

Toda la metafísica occidental va de pasar de lo finito a lo infinito, y viceversa. Resulta fácil y habitual concebir lo infinito como lo absoluto, es decir, como el conjunto de todo lo finitamente posible. Por ejemplo así hacemos con el conjunto de los números naturales: 

-A partir de la unidad (el 1) todos los números naturales posibles son siempre números finitos, por muy grandes que sean. 

-No hay un número natural último, dado que a cualquier número natural por mayor que sea siempre se le puede añadir un uno más.

-Por tanto pasamos a pensar que hay infinitos números naturales, es decir, solemos concebir los números naturales como un TODO (algo absoluto) de infinitos elementos finitos.

De tal guisa concebimos de forma rudimentaria los números naturales como un conjunto (un Todo) ordenado de infinitos elementos. Con ello, al menos a nivel psicológico, ya se gestiona lo infinito como un número, como un conjunto, como "algo" que contiene a todos los números naturales en su seno.

Cantor pasa olímpicamente de la idea de límite al infinito

Ya he comentado muchas veces como desde la madurez de Platón, en matemáticas, el infinito se concibió, ya no como una cantidad o la propiedad de una entidad, sino como una potencialidad: un poder acercarse o crecer tanto como se quiera. Nada más.

Cantor se olvida por completo de esta idea. Hecho es, que mediante la idea de límite al infinito ya hace un par de años (ver) no me costó nada demostrar como el teorema de Cantor no se puede aplicar a conjuntos infinitos, por ejemplo al conjunto de los naturales. Aplicando la idea de "límite al infinito" la inducción hace aguas por doquier; pues la contradicción sobre la cual Cantor articula su teorema queda disuelta por la propia fuerza del límite al infinito.

En resumen, las demostraciones de  Cantor atentan contra las ideas básicas que articulan la teoría de límites y el cálculo infinitesimal. Pero, ¿es esto realmente un problema para las matemáticas?

¿Por qué se tomó en serio el trabajo de Cantor?

Al principio, por la promoción que le propició Hilbert, un matemático sumamente influyente a principios del s.XX. 

Hilbert vio en Cantor la luz para alcanzar su soñado finitismo, es decir, para convertir las matemáticas, y el conocimiento en general, en un mero mecano-lógico basado en una simple tautología fundamental. 

Pero años más tarde porque el finitismo se mostró como la forma matemática más manejable para desarrollar la computación. De hecho, la base de los primeros teoremas de la computación son, en no poca medida, los trabajos de Cantor. De modo que estos teoremas adquirían estatus de verdades demostradas, simplemente porque hacían posible a nivel teórico el nuevo mundo de la computación que ha terminado dominando nuestra sociedad. 

¿Cómo ven el infinito las máquinas y computadoras? 

La peculiaridad de las máquinas computacionales, su forma de procesar datos, es en esencia finitista. Las máquinas no tienen imaginación, ni sensualidad irracional, ni tampoco se ven dominadas en silencio por las expectativas; además de mostrarse muy torpes tratando lo contradictorio, como se manifiesta en el problema de la parada: ¡Ante una contradicción se "cuelgan" sin más y ya está! Nuestra mente, en cambio, está fuertemente habituada a vivir en medio de tan grandes salvajadas ¡Si tiene que obviar, manipular y tergiversar de algún modo las contradicciones para seguir andando lo hace sin miedos! Y de aquí nuestra creatividad característica. 

Por ejemplo, una máquina es incapaz de inventarse un tipo de magia conceptual como la que se saca de la manga Euler en su "Análisis Infinitorum" con sus "cantidades tan grandes o pequeñas como queramos".  

En tal sentido, como ya vimos el otro día (ver), para una máquina el número 0,999999... no puede ser jamás 1 porque de los infinitos números decimales finitos posibles del tipo 0,999...9 ninguno es nunca 1, de modo que por inducción 0,99999... tampoco lo puede ser. Ahora bien, desde una óptica intuitiva no hay problema en igualar 1= 0,99999.... Del mismo modo que no hay problema en gestionar una suma de Cesàro ¡O los sumatorios de Ramanujan! 

Distintas matemáticas

Después de todo este tiempo reflexionado sobre tan raros y exclusivos temas voy formando la siguiente idea al respecto: 

Es posible desarrollar dos tipos de matemáticas, por así decirlo: 

a) Una de computacional, finitista, lógico-mecanicista y por tanto, que siga las directrices de Cantor, con todas sus limitaciones demostrativas (teoremas de incompletitud de Gödel, de parada, teoría de modelos, etc) y  sus especificidades.

b) Otra de intuitiva y creativa que toma el infinito como una potencialidad, incluso como un movimiento y por tanto, como algo que ni es lógico o estructurado ni tampoco contradictorio y absurdo, sino otra cosa distinta. A fin de cuentas el infinito, visto como límite y potencialidad, suele disolver todo absurdo y contradicción que se da en lo finito.

 

 

¿Los números irracionales existen...? Superfracciones para raíces cuadradas

 A raíz del post sobre el libro de Chaitin ya comenté la idea de cuestionarse la existencia de números irracionales y que unos pocos, como el propio Chaitin, empiezan a tantear.

Confieso que me fascina tan singular y raro tema. Y mi opinión ha ido evolucionando un poco estos meses, aunque siguiendo una línea más o menos marcada.

¿Qué es un número? 

A cualquiera le sonará ridícula semejante pregunta, dado que los números son lo que desde pequeños nos enseñan al contar; así el 1,2,3 o 4 por ejemplo.

Tenemos los números tan asumidos, integrados e interiorizados que ya no los "vemos" ni entendemos; como tampoco nos vemos a nosotros mismos sin que alguien nos acerque un espejo.

Pero la noción de número es un problema si nos atrevemos a tomarnos la molestia de observarlos de nuevo como si fuera la primera vez. A fin de cuentas, estamos ante una idea que costó milenios construirla, aceptarla, para luego interiorizarla poco a poco hasta esperar a que empezara a germinar y dar sus primeras flores. 

Según los griegos más antiguos, por ejemplo, los números se concibieron simplemente como relaciones proporcionales harmoniosas, es decir, "razones". Es una idea que surge directamente de esa extraña y maravillosa noción presocrática que Aristóteles llamó "arkhé" y Tales de Mileto introdujo en Grecia. Ésta dice: todo, aunque parezca diferente, variado, multiforme e, incluso, contradictorio, esconde un denominador común, una unidad común, es decir, un mismo origen o razón de ser 

¡Todo puede ser simplificado y reducido a una unidad común!

Sin embargo, entre la gente normal resulta más bien habitual definir los números, simplemente, como cantidades, pues los usamos para definir cantidades o magnitudes. Sí, eh aquí una definición circular y absurda, aunque útil y manejable para el día a día. 

De todos modos prosigamos: ¿y qué es una cantidad, una magnitud o dimensión? 

En esencia no es más que una  medida: un poner en relación de proporción algo con otra cosa, que acaso se toma arbitrariamente como la unidad de referencia. Desde luego estamos ante una creación artificial humana, una simple operación inventada por nosotros, pero como de ordinario nos olvidamos de ello resulta ya habitual tomarla como una verdad del propio mundo.

A partir de la edad moderna, con la introducción y estandarización de un alfabeto específico para expresar las relaciones proporcionales, la noción de número fue tomando cuerpo e identidad propia dentro de la psique del sabio occidental, cuya mente empezó a pensar de forma inconsciente e involuntaria: si escribo "1" es porque debe de existir algo concreto y preciso al que atribuirle dicha noción. Y puesto que en geometría ya se había concebido el punto como lo más concreto y preciso, ya para el s.XIX se concebían los números, no como cantidades, sino directamente como puntos imaginarios ordenados de menores a mayores. 

Por similitud a los puntos, pues, se pensó: dado que lo puntos se agrupan y ordenan geométricamente formando rectas imaginarias así mismo sucedería con los números: que se agrupan en una recta numérica imaginaria: la recta real. 

De hecho, cuando esos sabios modernos se imaginaban una recta cualquiera ya fantaseaban con ver allí sólo números ordenados dando valor a sus puntos constitutivos, pues el algebra moderno abierto por Descartes permitía imaginarse este tipo de escenarios sin dificultad. 

Con semejante representación numérica tenemos, pues, que cada número representa un punto ordenado y todos ellos conforman una recta numérica; por ejemplo, identificamos el 0 y el 1, separados por una distancia llamada "segmento [0,1]", y cuya longitud será precisamente la unidad (1). Por consiguiente, entre ambos puntos y por pura partición, división o fracción de esta unidad de longitud podemos identificar otros infinitos números/puntos más: así como el 1/2 ,  el   1/1387343   o bien el 7/53, es decir, todos los números del tipo y/x, siendo x,y números coprimos tales que x<y. 

Y aquí en medio surgió una gran duda: 

¿La recta de los números estará formada sólo por números fraccionados (racionales) o, acaso, entre dos números fraccionados inmediatamente consecutivos podrían existir otros tipos de números/puntos distintos, que, como tales, no sería números divisibles o fraccionados, sino literalmente atómicos? 

Demócrito con sus "indivisibles" se enorgullecida de haber sido el mejor matemático griego al ser el primero en solucionar el dilema de la división infinita ya planteada por Pitágoras por un lado y luego por Parménides y Zenón por otro. Pero contra Demócrito se levantó con suma indignación Platón y todos los matemáticos platónicos: desde Eudoxo hasta Arquímides.

Ya en "nuestra época", han sido Cantor y Dedekind quienes han justificado que sí, que los números atómicos, indivisibles y por ello irracionales existen y se "intercalan"  entre los números infinitamente divisibles. Pero tal idea ha sido puesta en duda por gente como Chaitin; al menos se duda de que los irracionales se encuentren en la recta de los reales intercalados entre los divisibles. 

Los números irreducibles o no-unitarios.

Quizás, con la noción de número nos topamos, básicamente, con un problema de representación, el cual nos lleva a problemas de comprensión. Al final, concebimos los números según los representamos y en base a ello, así los tratamos.

Para empezar, cabe observar que el primer problema de representación nos llega ya con los números racionales con infinitos decimales, así el 1/3 por ejemplo, que parecen irrepresentables como puntos de una recta, en el sentido de que no tienen una representación unitaria concreta en decimales: 

1/3= 0,3333333... ¡Resulta imposible partir una "unidad de longitud" en 3 segmentos exactos! 

Con razón a estas fracciones les debemos la primera paradoja aritmética:

3x0,333333333...= 0.999999... pero dado que 3x(1/3)= 3/3=1, entonces la duda es: ¿Cuál de los dos resultados va a ser cierto? 

No es difícil de justificar, sin embargo, que 1 = 0,9999999... utilizando las peculiaridades especiales del infinito. Eh aquí una demostración ejemplo típica y que se encuentra en la wikipedia:

Lo que ocurre es que tampoco es difícil justificar que 1 > 0,9999...

1 = (9 + 1)/10 es lo mismo que 10 - 9 = 1

1 = (99+1)/100 es lo mismo que 100 - 99 = 1

1 = (999+1)/1000 es lo mismo que 1000 - 999 = 1

1 = (9999+1)/10000 es lo mismo que 10000 - 9999 = 1

Y si llevamos esto al  infinito entonces tenemos que:

100....0 - 99999...9 = 1

Resulta fácil aceptar, visto así, que 1 > 0.99999. De hecho, y como ya se ha comentado tantas veces en este blog, Cantor suele tratar el infinito de este modo, es decir, intentando respetar el finitismo a través de esa exigencia interpretativa que impuso Hilbert a principios del s.XX, y que decía algo así: el infinito debe ser un reflejo fiel de lo finito. Por lo tanto, lo que aquí sorprende, una vez más, es apreciar como según qué tratamiento escojamos para operar con lo infinito, obtenemos dos posibles resultados de la igualdad. 

En cualquier caso, queda patente con la primera forma de tratar la igualdad, es decir cuando apreciamos (1/3)x3= 0.999...=1 que empleando la magia de los límites al infinito resulta factible pasar sin problemas de números inmedibles y con decimales sin fin, a números concretos y relativos a la unidad. Es como si pudiéramos utilizar dos tipos de representaciones equivalentes: una de unitaria (1) y otra de no unitaria (0.999...). Curioso.

Salta también a la vista otro aspecto: si bien mucho se habla de los irracionales el problema de la irracionalidad e inconmensurabilidad empieza ya con estas fracciones irreducibles a la unidad, dado que exigen que dividamos dos números que no se pueden dividir por ser coprimos.

1/3 nunca será divisible de forma exacta

Hecho que, curiosamente, no preocupó a los antiguos, al menos a los pitagóricos. Ya en seguida consideraron que este tipo de inexactitud se podía solventar, simplemente, cambiando el valor de la unidad, es decir, escogiendo de forma convenida el sistema de unidades. 

Y en efecto, si se toma por unidad un número supercompuesto, como sería el antiguo y fascinante sistema sexagesimal Sumerio (unidad=60), entonces muchas fracciones irreducibles en el sistema decimal devienen reducibles a la unidad sin problemas, dado que en el decimal la unidad representa el 10, y por tanto es un compuesto con sólo 2 factores: el 2 y el 5. 

Así pues por ejemplo, 1/3 es reducible a la unidad sexagesimal y puede representarse como 0,20. 

En sexagesimal 1/3 es una división exacta

Con razón, por ejemplo, Platón parece venerar el factorial de 7 (7!=5040) como unidad de media, al tratarse de un supercompuesto: tomando el 7! como unidad de medida social Platón, en la República, explica cómo es posible generar muchas particiones, grupos y subgrupos de forma exacta para el buen funcionamiento de la ciudad, tanto en tiempos de paz como de guerra (aquí un trabajo al respecto). ¡Y qué decir de Ramanujan y su pasión por estos extraños y escasos números, los supercompuestos (ver aquí un brillante artículo al respecto).

Los números irracionales

Pero después de estos racionales irreducibles llegaron las raíces, como raíz cuadrada de 2 o el número áureo. Se les colgó el nombre de irracionales porque no surgen de la división de un segmento unitario.

En efecto, las raíces no son fruto de dividir segmentos unitarios; no surgen de un fraccionamiento ni de la partición de una distancia entera ¡No surgen de dividir dos números naturales cualquiera! ¿De donde surgen pues? 

Geométricamente las raíces surgen de partir figuras más complejas: la raíz cuadrada surge de dividir un cuadrado o rectángulo por la diagonal; la raíz cúbica de fragmentar un cubo en un conjunto de subcubos, etc. Y el número áureo de ir dividiendo un rectángulo siguiendo la serie de Fibonnacci. 

Pero desde una representación algebraica surgen de una idea curiosa y sencilla:

-Para la raíz cuadrada de un número x:  Dado un número x cualquiera, entonces, hay que encontrar 2 números iguales que multiplicados entre sí den x.

-Para la raíz cúbica de un número x: Dado un número xcualquiera, entonces, hay que encontrar 3 números iguales que multiplicados entre sí den x.

-Para la raíz a la cuarta de un número x: Dado un número x cualquiera, entonces, hay que encontrar 4 números iguales que multiplicados entre sí den x.

etc,etc, etc...

Nota breve:

Esta definición aritmética me ha dado pie a pensar en una demostración muy simple sobre la irracionalidad de la raíz cuadrada de x, siendo x un número natural cualquiera no cuadrado, porque podemos entender la raíz cuadrada como la división de x por un número que será idéntico al resultado:

raíz cuadrada (9) = 9/3 = 3

Y también se puede demostrar la irracionalidad de cualquier raíz cúbica de x, siendo x un número natural cualquiera no cúbico, porque podemos entender la raíz cúbica como la división de x por un número cuadrado m que da por resultado raíz cuadrada de m:

raíz cúbica (27) = 27/9 = 3

Y de este modo es fácil generalizar la demostración para cualquier  tipo de raíz:

Así pues, queda demostrado que llamamos raíces a divisiones o fracciones ejercidas sobre objetos geométricos de 2 o más dimensiones.

Representaciones de las raíces

Bien, vemos como las raíces no pueden expresarse como divisiones simples de una dimensión, es decir, como un simple corte de segmentos enteros y, con ello, de la recta real. Ahora bien, parece ser que ya los griegos entendieron que pueden representarse como fracciones continuas o iteradas hasta el infinito de distancias enteras. ¿Y qué es eso? Iteraciones continuadas de división o fragmentación de una distancia. 

Un ejemplo de fracción continua para representar la raíz cuadrada de 2: 

Representar cualquier raíz cuadrada como una fracción continua al infinito resulta harto fácil. A mí mismo no me costó nada el otro día encontrar lo que luego descubrí que ya había sido inventado por el matemático italiano del s.XVI Rafael Bombelli (ver aquí). Y podemos resumirlo así de simple:

¡Pero más curioso aún! De algún modo Eudoxo, brillante discípulo de Platón, al trabajar la raíz(2) se dio cuenta de que su fracción continua podía representarse como una secuencia de fracciones concretas e irreducibles que cada vez se aproximaban, ya por la derecha ya por la izquierda, más y más a raíz(2). Con ello presentó lo que hoy conocemos como la escalera de Eudoxo:

Esta escalera pudiera parecer que preludia ya los trabajos de Dedekind, en la medida que nos presenta raíz(2) como un número que siempre estará intercalado entre dos fracciones, por más que vayamos acotando la distancia entre ellas hasta el infinito. Es decir: 

En efecto, de algún modo Dedekind, con sus famosas cortaduras expone lo que se puede interpretar de esta escalera de fracciones intercaladas: que si lleváramos esta desigualdad al infinito, entonces, a la izquierda, tendríamos en progresión todas las infinitas fracciones menores que raíz(2), y a la derecha todas las infinitas mayores; siendo precisamente raíz(2) el punto atómico al infinito de estos dos conjuntos de fracciones.

 

A partir de esta idea, y los posteriores trabajos de Cantor, los matemáticos pusieron sobre la mesa la hipótesis del continuo; que dice: ¿realmente la recta real está llena de puntos, o habría vacíos?

La recta real y el continuo

Con las cortaduras de Dedekind parecía demostrarse que la recta real está constituida íntegramente por puntos/números ordenados de forma inmediatamente consecutiva uno tras otro: cada cortadura sería un punto de la recta, y cada punto un número -los racionales serían números concretos, mientras los irracionales, como raíz(2), serían números que andan escondidos entre los racionales y que sólo podemos alcanzar la llevar los racionales al infinito. Así pues, con las cortaduras de Dedekind se justifica que la recta real sea continua.

Ahora bien, llegó Cantor, que interpretaba el infinito ya no como un límite, sino como un alcanzar un estadio final que reflejaría todo lo finito. Bajo esta manera de interpretar el infinito desarrolló, primero, su famoso teorema para determinar el tamaño de todos los conjuntos potencia, incluso el de los conjuntos infinitos. Y ante el curioso resultado obtenido se puso a comparar los tamaños de distintos conjuntos infinitos, justificando con su método que el conjunto de los infinitos racionales era de un tamaño inferior que el conjunto de los infinitos irracionales. A partir de aquí Cantor construyó una jerarquía de infinitos infinitos.

En efecto, Cantor justificó que si bien habría infinitos números irracionales e infinitos números racionales, el conjunto de los infinitos irracionales ha de ser de un grado mayor que el de los racionales; que serían infinitos en grado 0. En otras palabras, Cantor presenta la existencia de infinitos con distintos tamaños, unos con un grado de infinitud mayor que otros, y donde el conjunto de los números racionales representarían el grado básico, o cero, de infinitud; mientras el conjunto de los irracionales, en principio, representaría el grado 1 de infinitud ¡Siempre y cuando la recta real fuera continua! 

Esta es la hipótesis del continuo: si existiera un conjunto infinito de números distintos a los racionales y a los irracionales que fuera mayor que los racionales pero menor que los irracionales, entonces, los infinitos irracionales pasarían a ser de grado 2, por decirlo de forma fácil, y ello conllevaría que la recta real no sería continua: contendría espacios vacíos. 

En cierta forma, pues, Cantor pone en duda el trabajo de Dedekind, que dejaba claro que la recta real era continua y sólo estaría formada por racionales en lo concreto; y por irracionales al infinito. Y, ¿por qué lo pone en duda? Porque Cantor trabaja bajo la ilusión de una idea del infinito muy peculiar. Una idea que haría revolver de sus tumbas a Platón, Eudoxo, Euclides o Arquímides, pero que fascinó a los matemáticos del s.XX y XXI.

Esbozo breve sobre lo infinito

No hay nada más antigriego que ese idealismo germánico del s.XIX promocionado por Hegel y que conquistó parte de la Europa moderna, según el cual se podría trascender lo finito a caballo del infinito hasta alcanzar las entidades metafísicas: acaso los números en sí mismos como puntos o entidades atomizadas y aisladas de todo.  

Es cierto, que siendo joven Platón nos presentó por primera vez la metafísica con su mundo de las ideas como entidades en sí mismas que se encontraban tan lejos de nuestra mundanidad concreta, relativizada y limitada por multitud de circunstancias, que resultaban inalcanzables sin la ayuda la la "manía" divina. Sin embargo, en sus diálogos eminentemente más matemáticos y maduros, como el Parménides, el Sofista, el Teeteto o el Timeo, Platón parece replantear de raíz esa primera dialéctica trascendental, tachándola de ignorancia juvenil.

Ahora bien, la evidencia más fuerte que nos lleva a pensar que Platón dejó de creer por completo en la trascendencia quizás nos la encontremos al analizar las ideas matemáticas de sus discípulos, Eudoxo y Euclides, ¡por no decir Aristóteles!, quienes, ya niegan sin tapujos que el infinito sea un salto trascendental al vacío sideral: al mundo de las cosas en sí. No, el infinito no sería un salto que nos permitiese ir de lo particular a lo universal, de lo aparente a lo esencial, de lo imperfecto a lo perfecto, de lo condicionado a lo incondicionado y libre ¡Y mucho menos sería una cantidad! 

¿Fue el propio Platón quien descubrió otra forma de entender lo infinito o acaso la aprendió de otros y, entonces, la usó para replantear todo su pensamiento? Es difícil saberlo, pero a partir de Platón y sus trabajos de madurez, el infinito deja de concebirse como algo a alcanzar entre la inmensa mayoría de matemáticos griegos ¡Ya no se concibe como un estadio al que llegar mediante un salto inmortal definitivo! 

A partir de ese momento, primera mitad del s IV ac, el infinito deviene, sencillamente, una forma de tratar las ideas ¡Un poder! El poder acercarte o alejarte de una idea tanto como se quiera; el poder crecer o empequeñecerse tanto como se quiera; el poder romper o recomponer una idea tantas veces como se quiera ¡Y nada más! 

En definitiva, a criterio de los antiguos platónicos el infinito sería, en exclusivo, una potencialidad, jamás una realidad; como sí los parece ser para Cantor y Hilbert. Y no me escondo: me sorprende que se hayan tomado en serio los trabajos de Cantor sobre el infinito, dado que niegan la noción matemática de "límite al infinito" heredera directa, precisamente, de los antiguos al definirse como pura potencialidad: un poder acercarse a algo tanto como se quiera, y nada más. 

Y me sorprende aún más cuando Cohen, a mediados del s.XX, dejó patente que la hipótesis del continuo resulta completamente trivial. ¿No pone eso ya de manifiesto que el propio trabajo de Cantor no nos dice nada esencial de las matemáticas y sólo presenta una interpretación entre otras posibles? 

Mejorando la escalera de Eudoxo: la superfracción.

Honestamente, no quería extenderme tanto con este post, pero una cosa me ha llevado a la otra y, ahora mismo, me parece adecuado contar algo que me quería guardar un tiempo más. Así pues, lo dejo y ya está. 

Es curioso como funciona la mente porque cuanto acabo de escribir viene a coalición de ciertos "juegos" matemáticos que llevo realizando estos días por mera curiosidad sin haberme preocupado por los intríngulis que acabo de escribir. Es decir, lo que voy a contar es fruto, sólo, de pasar el tiempo buscando distintas formas de representar un número cuadrado, para luego jugar a buscar formas distintas para resolver raíces. No había ninguna pretensión más que un pasatiempo. Y sólo ahora que he encontrado, sin más, algo quizás interesante me doy cuenta de todo lo que he apuntado a vuelapluma en este post.

Lo primero: tanteando distintas formas de resolver raíces he encontrado una escalera alternativa a la de Eudoxo para raíz(2). Vale decir que desconocía este trabajo del griego, hecho que me ha permitido entrar un poco más a fondo en su pensamiento al alertar que él ya había descubierto algo similar hace 2.500 años. Y sí, un tipo muy interesante el discípulo de Platón.

Mi escalera es esta:

Y si recordamos la de Eudoxo es la siguiente:

A simple vista parecen de algún modo inversas: los denominadores de mi escalera son los numeradores de la de Eudoxo. Y ambas "persiguen" el valor de raíz(2) mediante una aproximación alternada de valores. 

Además, se observa como ambas escalas se pueden construir mediante una misma fracción algebraica generatriz; ésta:

Ahora bien, por lo que he podido leer no parece que Eudoxo, ni otros como Rafael Bombelli, que según parece también trató los trabajos de Eudoxo, hayan hecho ya mucho más al respecto. Pero me parece a mí que sí es posible hacer algo más. De hecho, parece posible hacer dos cosas más:

1) Generalizar esta fracción algebraica para todas las raíces cuadradas.

2)Encontrar una superfracción algebraica general capaz de definir todas las raíces cuadradas.

1: Para generalizar esta fracción algebraica sobre todas las raíces cuadradas simplemente hay que partir del método de Bombelli para generar fracciones continuas sobre raíces cuadradas y convertir cada paso en una fracción, tal que así:

2)Para hallar una superfracción general basta con desarrollar algebraicamente lo anterior de tal forma:

Pongamos 2 ejemplos tomando la superfacción a s = 7:

OBSERVACIONES:

Lo primero que salta a la vista es que definimos la raíz cuadrada de un número no cuadrado como el límite al infinito de la superfracción. 

Ya hemos comentado como el límite al infinito matemático es una noción en esencia platónica y significa potencialidad. Con lo cual, el límite de la superfracción cuando "s" tiende a infinito significa que "s" puede crecer tanto como se quiera, de manera que resulta la mar de fácil pensar en modo platónico total y deducir, de ello, que la fracción puede dar valores tan próximos a raíz(2) como se quiera. Aunque, eso sí, el límite para nada significa que "s" tenga que llegar a un punto infinito donde la fracción adquiriría, entonces ya de golpe, un valor final metafísico y de por sí: el propio valor de raíz(2).

Excepto las mentas más lógicas, la mayoría suele interpretar el límite matemático a lo platónico. Pero quizás aquí sería interesante pensarlo de forma algo distinta; a saber: que al tender "s" a valores cada vez mayores el propio valor de raíz(2) se va haciendo más preciso ¡Va tomando cuerpo y creciendo! Pues, quizás, valga la pena presuponer que no preexiste un valor de raíz(2). Es decir, quizás sea interesante partir de una visión algo más constructivista o bien, operativista.  

En los trabajos de Dedekind se aprecia sin dificultad como el alemán hace una interpretación matemática basada, estrictamente, en esta idea platónica de límite cuando apunta que un número irracional vendría a ser el límite al infinito de un conjunto de fracciones. En otras palabras, como platónico interpreta este límite como un aproximarse más y más hacia un punto concreto y con valor propio ya preexistente, al que llama cortadura. ¿Acaso no es eso vendernos como real algo que, matemáticamente hablando, sólo sería una pura potencialidad?

En cualquier caso, a nivel matemático definir los irracionales como límites al infinito de conjuntos de racionales parece ser perfectamente coherente y evidente con solo observar las fracciones continuas, la escalera de Eudoxo o la superfracción aquí presentada. En este sentido no habría ningún problema en concebirlos, ya no como puntos con un valor prefijado y concreto de antemano a los que aproximarse, sino como puras potencialidades.

Ir al límite

Cada cual lee y comprende las cosas a su manera. Las nociones matemáticas no son ninguna excepción, aunque haya un control férreo en intentar establecer consensos amplios, claros y firmes para definir sus conceptos de forma que sean aceptados para todos los matemáticos y así intentar evitar lo inevitable: que en las matemáticas surjan destellos arbitrarios y discutibles, dando la imponente sensación de mostrarnos la divina certeza que esconderían las cosas.

Lo reconozco, a mi parecer la visión de Cantor sobre los infinitos no me sabe mal. De hecho me resulta fascinante y quizás útil en ciertos ámbitos; por el ejemplo el computacional. Simplemente destaco que no es la única. Además, me extraña que se haya tomado en serio durante un siglo largo, como ya he comentado, cuando abandona impunemente la noción de límite en la interpretación que hace del infinito para, luego, interpretarlo empleando métodos finitistas; como por ejemplo la diagonalización. 

En tal sentido, me parece que Cantor trata el infinito más bien como un lógico, es decir un mecánico del pensamiento, y no como un matemático, cuando nos lo presenta como si fuera una entidad coherente, precisa y bien estructurada; en vez de tomarlo como pura potencialidad.

En tal sentido, tratar "el límite al infinito" como pura potencialidad nos permite pensar y definir los "números irracionales", ya no como números reales, es decir, como supuestos puntos sutilísisimos escondidos en la recta real entre los racionales, sino como valores potencialmente emergentes de entre los racionales, los cuales a su vez serían valores potencialmente emergentes de entre los reducibles a la unidad, es decir, los números divisibles de forma exacta. Éstos, entonces, ya sí serían los únicos números reales por estar perfectamente definidos.

En fin, seguramente sea inevitable tener distintas formas de interpretar lo infinito, y aunque quizás la de límite sea de las más potentes no es la única posible, como muestra Cantor. Es más, quizás incluso serían posibles otras formas aún inauditas de interpretarlo, tal y como de algún modo parecen vislumbrarse entre algunos trabajos de Euler, Riemman o Ramanujan. 

Crítica a los números

Acabamos de ver como Dedekind se basa en un prejuicio principal ya muy antiguo: que las raíces son números, que los números son puntos aislados y con valor propio, y por consiguiente deben de ser visualizados como átomos constitutivos de la recta imaginaria que se llama "real" y que mediante nuestras operaciones al límite podemos aproximarnos a ellos tanto como queramos. 

A mí parecer, no estamos ante puntos ni tan siquiera ante valores prefijados; simplemente estamos ante puras operaciones. Operaciones que no nos han caído del cielo, sino que las hemos creado nosotros, perfeccionándolas, en la medida que nos han sido frutíferas y necesarias, inquietantes, incluso atractivas.  

Entiendo que no somos conscientes de que, cuando decimos "raíz(2)", no estamos anunciando ningún número, sino dando una orden para llevar a cabo un tipo de operación muy concreta. Y en este caso, son operaciones de cierta complejidad que, para hallar un valor fijo, no podemos reducirlas a operaciones más simples como una suma o una resta ¡Ni tan siquiera la podemos reducir a una simple división irreducible equivalente! Este pensamiento me ha llevado a las siguiente reflexión:

Los números son definidos por operaciones, nunca por supuestos valores intrínsecos y esenciales.

Ya en algún otro post había tanteado por encima la siguiente idea:

 

Los números son operaciones y toman valor como operaciones. Sé lo que vale 3 cuando sé que representa ciertas operaciones posibles. Por ejemplo al definir la siguiente operación: 4 - 1 = 3 = 2+1, queda claro y sin duda alguna que 3 es un valor una unidad menor que 4, y una unidad mayor que 2. 

Son las operaciones, pues, que determinan el valor y la magnitud, el orden y la naturaleza de lo que llamamos números. De hecho, cabría pensar que los números no son más que una operación. 

Preguntarse: ¿qué número sigue de forma inmediata al número 3? Es una pregunta sin sentido, a no ser que establezcamos una operación que la defina de forma precisa y clara, como hemos hecho arriba al decir que el 4 sigue de forma inmediata a 3, al tener la acción "inmediata" aquí mismo definida mediante la noción de unidad. Si no está definida una operación de orden no hay forma de saber cuál es el número que sigue a 3 de forma inmediata. Tan siquiera pensarlo ya resulta, de hecho, completamente absurdo.

Es cierto que siempre podemos introducir nuevas operaciones y redefinir este "inmediato" considerando que entre 4 y 3 habrán otros números. De hecho, potencialmente podríamos definir que habría una infinidad al estipular que podríamos sacar tantos como quisiéramos. Pero para pensar eso hay que generar una operación para definirlo, acaso una operación de límite, y sólo a través de ella tomaría sentido lo que decimos. 

Axiomas para determinar los números naturales como operaciones

 

Impulsado por la curiosidad despertada al jugar con estas ideas, raras, selectas y profundamente filosóficas, estos días he perdido un poco el tiempo desarrollando algunos axiomas para fundamentar la aritmética. Son axiomas algo distintos a los famosos de Peano (ver aquí), que parten de la idea de que ya preexiste un número natural llamado "unidad de los naturales". Pero Peano no definen las propiedades de este primer número natural llamado "unidad de los naturales". Se limita a decir que es un número natural (y vete a saber qué significa eso) y que no es sucesor de ningún otro número natural: 

Dado que esta "unidad de los naturales" no está casi definida en Peano, entonces no queda claro si estamos hablando del 1 o el 0; además de presentar otras muchas oscuridades. Los axiomas de Peano saben rudimentarios. Sin embargo, vale destacar como este sistema axiomático ha sido usado por los lógico-matemáticos durante 150 años como pilar sobre el que justificar gran parte de sus trabajos de axiomatización matemática. Sí, lo rudimentario es siempre fácilmente manejable si funciona un poco, pues no es muy complicado.

Dicho esto me sabe preciso añadir algo más. El intento de axiomatizar la aritmética viene ya de muy lejos: en el Parménides Platón presenta una axiomatización de la aritmética empleando un lenguaje "filosófico" como ejemplo, precisamente, de la importancia de axiomatizar el conocimiento para acceder a la certeza. En efecto, la axiomatización matemática ha sido una gran contribución platónica; al menos así se aprecia en el trabajo que nos ha llegado de su discípulo Euclides. 

Esquema sobre el Parménides de Platón sobre las hipótesis de lo Uno

Todo seguido, cuelgo una axiomatización muy sui géneris basada en la idea de que un número natural es una operación muy concreta, además de básica, y de como a partir de ella se desarrollan las demás operaciones que llamamos números -hasta las raíces. Ver axiomatización aquí. 

Lo más simple es siempre lo más difícil de definir.

Aquí termino el post, dejando una idea que servirá para empezar otro día: no es fácil definir qué es un número natural y cómo de tal definición, luego, se puede lograr definir gran parte de la matemática como un juego de operaciones.  Y no es fácil porque para definir los números naturales es preciso definir, antes, "qué es la unidad natural", lo común a todos los naturales y por tanto, a lo que todos ellos pueden ser reducidos.

Y así mismo sucede también en geometría. Lo más difícil de definir ha sido el punto, hermano gemelo de la unidad y del número para los matemáticos durante los últimos siglos. Y la forma que tenemos ahora de definirlo es empleando aún un grado importante de indefinición. Por tal motivo, he empezado a esbozar unos axiomas geométricos para definirlo de otra manera, pero ya veremos...