En el post VI y VII del infinito hemos visto como el teorema de Cantor no es cierto cuando se aplica el límite al infinito, porque la paradoja que sí aparece en cualquier conjunto finito A, se pospone "sine die" al llevar el teorema a dicho límite.
Hemos visto como no existe un conjunto infinito A; es decir, no hay un conjunto de infinitos elementos bien definido, con un tamaño comprensible y por consiguiente, sobre el cual podamos establecer relaciones lógicas como pretendía Cantor ¡No se puede concebir ninguna "cosa infinita" que pueda ser ordenada de una determinada manera!
En todo caso, podemos hablar de conjuntos indefinidos que muestran la propiedad de no cumplir los principios básicos de la lógica. Estos, en raíz, no son más que principios para determinar el ordenamiento y la relación entre las "cosas". Los más importantes son:
-El principio de razón suficiente.
-El principio de no contradicción
-El principio de identidad
-El principio del tercio excluido
-El principio de transitividad
-El principio de "el Todo es mayor que las partes".
De hecho, en seguida vimos ya como el mismo Cantor se dio cuenta que el principio "el Todo debe ser mayor que las partes" no se cumple al infinito, generando situaciones fascinantes, como la paradoja del hotel de Hilbert.
Por tanto, vimos que si al infinito no se cumplen los principios lógicos entonces ello conllevaba, al menos, 3 consecuencias a constatar:
1) Un conjunto infinito no tiene porqué ser idéntico a sí mismo, dado que no es una cosa o entidad.
2) Como no es una entidad, no mantiene ningún orden o relación determinada y fija, ni con otros infinitos ni, incluso, con entidades (cosas finitas, con tamaño y bien definidas).
3) Como un conjunto infinito no tiene porque respetar la transitividad, ni ningún orden, entonces al fijarnos en el caso concreto del conjunto de números naturales y el conjunto de los números reales, vemos que hablar de si uno es mayor que otro resulta trivial. Y si ello resulta trivial, entonces "la hipótesis del continuo" resulta trivial. Es decir, tal hipótesis puede ser cierta o falsa según queramos: podemos considerar que el conjunto de naturales es menor, igual o mayor que el de los reales a través de distintos procedimientos. Y como podemos leer aquí, desde hace 60 años sabemos que la hipótesis del continuo es trivial, pero no se ha entendido que eso se debe a que los conjuntos infinitos son ilógicos -no tienen porqué seguir ningún tipo de ordenamiento.
Cantor y el conjunto infinito de los números naturales
Como hemos visto en el post (VI), sobre el teorema de Cantor, el matemático consideró que para contar los elementos de un conjunto desde un punto de vista lógico había que poner sus elementos en relación inyectiva y ordenada con el conjunto de los números naturales. Entonces, se justifica que se puedan contar o enumerar sus elementos.
También vimos que para saber si el tamaño de dos conjuntos era el mismo teníamos que apreciar si era posible establecer una relación biyectiva entre sus elementos.
También vimos como Cantor presuponía, sin demostrarlo, que un conjunto infinito respeta el principio de identidad, siendo por tanto siempre idéntico a sí mismo. Por ello partía de la idea de que el conjunto de los números naturales se ponía inmediatamente, y sin más, en relación biyectiva consigo mismo. Por consiguiente, lo consideraba un conjunto infinito numerable o contable.
Aplicando esta lógica, al final terminamos por ver como Cantor mostró como el conjunto de los números pares, de los múltiplos de 3, 4, 5, 6, 7 o el conjunto de los primos también podían ponerse en relación biyectiva con el conjunto de números naturales. Se demostraba como todos estos conjuntos tenían el mismo tamaño y por tanto, eran conjuntos infinitos numerables.
Después de todo esto, ahora viene lo nuevo: Cantor hizo lo mismo con el conjunto de números racionales (las fracciones) ¡Y vio que podía establecer una relación biyectiva entre él y el conjunto de naturales!
Quedaba demostrado que el conjunto de los racionales también es un conjunto infinito contable:
Pero entonces intentó hacer lo mismo con el conjunto de los reales (los decimales), y mediante un método muy ingenioso llamado, diagonalización de Cantor, encontró que aplicándolo a la relación entre los números naturales y los reales, entonces aparecía una contradicción muy parecida a la que también aparecía ya en su teorema. Su conclusión, por supuesto, fue la misma: el conjunto de los números reales es de un tamaño mayor que el de los naturales y por tanto, es un conjunto infinito no numerable.
De aquí surgió la tesis cantoriana de que existen números transfinitos y, con ella, la hipótesis del continuo, la cual sedujo profundamente a un joven Hilbert; hasta el punto de considerarlo el problema matemático a resolver más importante del s.XX -curioso que luego sea trivial, y me parece que dice mucho de estos idealistas lógicos.
En definitiva, a continuación expondremos una revisión a la diagonalización de Cantor y a la idea de que el conjunto de números naturales es menor que el conjunto de números reales. En todo caso, aquí podéis leer un "paper" más técnico (hacer clik), pero siguiendo el post encontraréis una breve exposición divulgativa.
Diagonalización de Cantor
Suponemos el conjunto de todos los reales entre 0 y 1, formado por tantos elementos como queramos, como por ejemplo el 0.1, el 0.141592... (Pi menos 3) o bien 0.00345. Hacemos, pues, una lista con dos columnas: en una estarán los números naturales y en la otra los números reales de 0 a 1. Vamos a mirar si es posible establecer una relación biyectiva entre ambos:
Luego cantor nos dice: a este número real de la diagonal le cambiaremos todas sus cifras, por ejemplo sumando 1 a cada una de ellas. Así tendremos otro número real entre 0 y 1. En este caso obtenemos el 0.2548114
Cantor, entonces, observa que este número es imposible que esté en la lista, porqué si estuviera en la lista, entonces uno de sus decimales formaría parte del número que hemos sacado de la diagonal, y como luego hemos cambiado todos sus decimales resulta imposible que esté en la lista ¡Y si no está en la lista no tiene imagen en los naturales! Además, cabe observar como esta situación se irá repitiendo siempre igual aunque le vayamos añadiendo elementos a la lista: con la diagonalización construiremos un número real entre 0 y 1 que no tendremos en la lista y por tanto, carecerá de imagen en los naturales.
Este razonamiento es correcto. Pero luego Cantor hace sus típicos saltos mortales y da por hecho que así sucederá también para cualquier lista finita que tengamos, por más grande que sea ésta; y deduce sin más que también sucederá así si la lista "puede crecer tanto como queramos sin que tenga jamás un final".
Conclusión a la que llega el matemático: que siempre habrá, como mínimo, un número real que no puede ser emparejado con un natural, por consiguiente, el tamaño del conjunto de naturales es un infinito menor que el de los reales.
NOTA: Dejando de lado de que si la lista puede crecer tanto como queramos sin llegar nunca a un valor final entonces esta contradicción, por la misma noción de límite la infinito, se disuelve como se disuelven las paradojas de Zenón, ahora veremos como en realidad SÍ podemos crear una lista que contenga todos los reales entre 0 y 1 que queramos y emparejarlos con un número natural único.
El método del espejo
Llamamos "método del espejo" al siguiente método: cada número decimal entre 0 y 1 tiene una imagen especular en los números reales.
Por ejemplo:
-La imagen especular de 0.1000000... es el ...0000001 (el 1)
-La imagen especular del 0.141592.. es el ...295141
-La imagen especular del 0.00345000... sería el ...00054300 (el 54300).
Por tanto, si tenemos una lista con todos los reales de 0 a 1 y de todos los naturales que queramos, siempre los podemos poner en relación especular:
Y si a este número real diagonal le sumamos +1 a cada una de sus cifras, obteniendo este otro número real 0.310213... vemos como este número también tiene por imagen especular un número natural.
En resumen, mediante el método especular resulta imposible crear un número real entre 0 y 1 que no pueda tener por imagen especular única un número natural.
Con ello se "demuestra" que el conjunto de naturales puede ser del mismo tamaño que el conjunto de los reales en el intervalo 0 y 1. Pero es que hay más.
A través del método de espejo, e introduciendo algunas "cosillas" más como se muestra en el "paper" colgado (ver aquí), es posible demostrar como, no sólo podemos emparejar cualquier número real que queramos con un número natural, sino que lo podemos hacer con un número natural que será múltiplo de 2,3 y/o 5. En otras palabras, podemos demostrar que el conjunto de naturales puede ser de un tamaño mayor que el de los reales ¡Todo lo contrario que había "demostrado" Cantor!
Y llevando este método un poco más lejos podemos llegar a demostrar que el conjunto de todos los números complejos siempre se puede emparejar con un único número natural múltiplo de 2,3,5 y/o 7. de modo que se demostraría, entonces, que el conjunto de los naturales puede ser de un infinito mayor que el de los complejos.
Resumen
El trabajo de Cantor, con su teorema como fundamento, es correcto para cualquier conjunto finito, pero resulta incorrecto al límite en el infinito; del mismo modo que la paradoja de Aquiles y la tortuga, de Zenón, es cierta para cualquier intervalo finito de tiempo, por menor y ínfimo que sea éste ¡Pero no es cierta al infinito!
En cuanto al método de la diagonalización; es un método que falla más que una escopeta de feria, al llevarnos siempre a un absurdo y una contradicción. Sinceramente, me extraña que en 100 años no se haya alertado de ello. De hecho, lo absurdo del método se aprecia cuando lo aplicas para comparar el tamaño del conjunto de naturales consigo mismo; así se muestra en el paper (ver aquí).
Se deduce de todo esto, que el supuesto tamaño de un conjunto infinito depende del método empleado para relacionar los elementos de este conjunto con otro. Por ejemplo, se puede demostrar que el conjunto de naturales es de un tamaño mayor, igual o menor que el de los reales; sólo nos basta escoger un método apropiado para ello. Eso se debe a lo que ya hemos estado diciendo a lo largo de los post: que un conjunto infinito no es un conjunto, es decir, no tiene tamaño ni identidad, pues no cumple los principios lógicos; en fin, que no es ninguna cosa o entidad, sino un limite y un "movimiento hacia" interminable.
COSAS INTERESANTES A RESALTAR
Con todo, ¿qué hemos descubierto?
1) El infinito no es una entidad, no tiene ningún valor, ningún tamaño, ningún significado intrínseco. El infinito es un "moverse hacia", un aproximarse tanto como se quiera hacia... un límite.
3) Como el infinito no es ninguna entidad y la única manera de tratarlo es mediante límites y aproximaciones, siempre puede adquirir un valor a través de sumaciones; como las sumas parciales, las de Cesaro o Ramanujan . Las sumaciones no son más que distintos métodos de aproximación al límite.
2) Como el infinito carece de tamaño, entonces no es cierta la idea popular según la cual lo infinito, por definición, tiene que ser siempre mucho mayor que cualquier cosa finita.
3) Como el infinito no tiene entidad ni tamaño, entonces puede ser igual o distinto a sí mismo. De modo que al llevar al límite infinito a dos conjuntos cualquiera estos pueden ser iguales o distintos según el método con qué relacionemos sus elementos.
2) El infinito es un "torear" los principios de la lógica y, por ello, de cualquier forma de comparación y ordenamiento determinado.
3) Infinito y nada son dos nociones fuertemente emparentadas a través del principio de identidad, al actuar, precisamente, de forma antagónica dentro del propio principio. Como hemos visto por encima en post anteriores, y por poner un ejemplo, si la energía neta del universo es 0 (la diferencia entre energía positiva y negativa...ver aquí), de algún modo eso significa que determinar el valor de la energía positiva del universo es irrelevante y trivial; podríamos adjudicarle cualquier número finito y sin embargo, nada cambiaría. Pero por esta misma razón, entonces podemos afirmar que la energía del universo nunca será "infinita". Lo que sí podría ser infinito es el tiempo, pero éste es otro tema.
Sobre el infinito siempre hay muchas más cosas por decir e investigar, pero por el momento aparcaré el tema aquí.
3 comentarios:
Discúlpeme por entrar en tu blog, pero debes de saber que el tal Samu, el de su blog "Qué vida esta", es un falso total, se hace pasar por otros nick distintos pero él es el mismo. Y créeme, lo conozco de sobra.
Vaya tipejo, un nihilistO sin más.
Perdóneme de nuevo. Saludos.
Disculpado
En burbuja.info se comenta el teorema de Cantor, igual te interesa pasarte por allí a comentar alguna cosa.
https://www.burbuja.info/inmobiliaria/threads/matematicos-yo-os-invoco-a-ver-que-os-parece-esto-tened-paciencia-2-la-secuela.1559641/page-13
Locoderemate
Publicar un comentario